新课程标准实验教材,更加注重知识的应用与拓展. 本文将可直接利用轴对称性质(关于某条直线对称的两个图形,对应点的连线被对称轴垂直平分)解答的极具热点的“距离最短”问题采撷数例,并予以解析,供同学们学习鉴赏.
　　一、供水站应建在什么位置管道最短?
　　例1 如图1—1,A、B两村在一条小河l的同侧,今要在河边l的某一处建一供水站用管道直接向A、B两村供水,若要使供水站到A、B两村铺设的管道最短,供水站应建在什么位置?
　　解析:假设供水站应建在小河l旁的P处,要使供水站到A、B两村铺设的管道最短,也即是要使AP+BP的和最小,这是基本作图题. 可作出点A关于直线l的对称点M,连接BM,交l与点P(如图1—2),点P就是供水站应修建的位置.
　　因为根据对称性,AP+BP=MP+BP=BM,如果另选一点P,根据“两点之间线段最短”的原理可知PA+PB=PM+PB>BM,所以AP+BP最小.
　　二、蚂蚁如何爬行距离最短?
　　例2 如图2—1,在无盖的圆柱形桶外,一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B点,要使蚂蚁爬行的路径最短,蚂蚁应该如何爬行?
　　解析:将桶的侧面展开成长方形(如图2—2),由于点B在里面,作图不便,所以作点B关于DE的对称点B′,连接AB′,交DE于点C,即蚂蚁在桶外从点A爬行到点C后,再向桶内的点B爬去,就是最短路径.
　　三、饮水、放马在何处距离和最短?
　　例3 如图3所示,某人每天要将自己喂养的一匹马从住地A骑到河边(射线OM表示河流)饮水,然后再骑到草地(射线ON表示草地边界)放牧,傍晚回到住地. 假设放马人骑着马走的路都是直路,请你帮放马人设计出最短的放马路线. 标明饮水与放马的位置.
　　解析:作点A关于OM的对称点A,再作点A关于ON的对称点A,连接AA,交OM于点B,交ON于点C,则到B处饮水,到C处放马,所走的路程最短.即放马路线为A?邛B?邛C?邛A.
　　从以上几例不难看出:凡涉及几个定点到定直线上某点的距离和最短的问题时,均需考虑根据轴对称性质,以定直线为对称轴,作出定点的对称点,以其代替原来的点来解决问题.