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[摘 要] 主要研究对象为带有边值问题的非线性微分方程。在Adomian分解法的基础上，引入同伦渐进法将非线性问题转化为线性问题。引入再生核方法避免了施密特正交化过程，并且不考虑边值条件，再生核变得很简单，从而解决线性微分方程。
[关 键 词] 微分方程；非线性；再生核；两点边值
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）10-0184-02
非線性微分方程得到越来越多的关注，自然界中的很多现象可以被描述为带有边值问题的非线性微分方程。随着科学技术的发展，复杂边值使问题变得更实际并提高了相合性。一般而言，非线性边值问题的理论解是未知的，因此，研究有效的算法得到近似解尤为重要。学者们提出了不同的算法得到数值结果，常用的算法有差分法，变分法等。
再生核算法基于泛函分析中的Soblev空间理论的支撑。目前，对两点边值问题的求解相对比较成熟，本文在此基础上进一步研究非线性两点边值问题，考虑如下非线性微分方程：
v″+a（x）v′+N（v）=h（x），x∈[a，b]v（a）=α1，v（b）=α2（1）
其中a1（x），h（x）为连续函数，N是非线性项。
同轮摄动可将此非线性方程转化为线性方程。这里我们选择简化的再生核方法。与传统的再生核方法相比，我们通过泛函及广义函数理论，给出了再生核，我们给出了再生核的统一表达式，降低了再生核的复杂性。然后构造再生核空间的一个闭子空间Sn，使其满足边值条件。该方法也避免了正交化。该方法符合一致收敛性，而且更加简单有效。
一、同伦渐进法
对于方程（1），构造
G（u，q）=（1-q）（L（u）-h）+q（L（u）-h（t）+N（u））=0. （2）
其中L（u）=u″+a（x）+u′，整理可得
L（u）-h（t）+qN（v）=0 （3）
显然
G（u，0）=L（u）-h（x）=0
G（u，1）=L（u）-h（x）+N（u）=0 （4）
现假设
u（x，q）=u0（x）+u1（x）q+…+uk（x）qk+… （5）
是（3）的解，则当参数q由0渐进到1时，得到方程（1）的解，即
v（x）u■=（x，q）=u0（x）+u1（x）+…+uk（x）…
只需求出u0，u1，u2，…，uk，…再把（5）带入（2）可得线性方程组■u（x，q）
L（u0）=h（t），u0（a）=■，u0（b）=■；
L（u1）=-N（u0），u1（a）=■，u1（b）=■；
L（u2）=-N′（u0）u1，u2（a）=■，u1（b）=■；（6）
…
L（un）=-■■N■uiqi ，u2（a）=■，u1（b）=■
均为线性方程，下面再用简化的再生核方法求解这一系列方程。
二、简化的再生核方法
对于方程（6），具有统一的表达形式
Lui=hiui（a）=■，ui（b）=■ （7）
其中hi=-■■N■uiqi
下面介绍简化的再生核方法。令
fi（x）=LxiR（x，xi），i=1，2，…，n，
g1（x）=R（x，a），g1（x）=R（x，b）
由再生核性质知：f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）线性无关。
令Sn=span{f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）}，Pn：W32[a，b]→Sn为正交投影算子，则f1（x），f2（x）…fn（x），g1（x），g2（x）为Sn的一组基。
由泛函的相关定理，假设ui（x）是（7）的解，则Pnui是（7）的逼近解。由uin■Pnui∈Sn，故Vn可设为
uin=ai1f1+ai2f2+…+ainfn+bi1g1+bi2g2 （8）
定理2.1：设ui是（7）的解，则Pnui满足：
〈uin，fj〉=h（xj），j=1，2，…，n〈uin，g1〉=■〈uin，g2〉=■ （9）
证明：定理2.2在[a，b]上，uin一致收敛于ui。
接下来确定未知系数ai1，ai2，…ain，bi1，bi2。将式（8）代入式（9），得到线性方程组：
■aij〈fj，fi〉+bij〈fj，g1〉+bi2〈fj，g2〉=h（xi），i=1，2，…，n■aij〈fj，g1〉+bi1〈g1，g1〉+bi2〈g1，g2〉=■■aij〈fj，g1〉+bi1〈g2，g1〉+bi2〈g2，g2〉=■
可得
（ai1，ai2，…，ain，bi1，bi2）r=M-1bi，i=0，1，2，…，m。
进而得到ui近似解。故而，我们得到式（1）的近似解.
Um，n=■uin
三、结论
通过之前的理论分析可知，同伦渐进和简化的再生核方法成功地解决了非线性方程的问题。
参考文献：
[1]S.Abbas，D.Mehdi.The use of Sinc-collocation method for solving multi-point boundary value problems[J].Commun Nonlinear Sc.i Numer. Simulat，2012（17）593-601.
[2]Y. Lin， J. Lin，Numerical method for solving the nonlinear four-point boundary value problems[J].Commun Nonlinear Sc.i Numer. Simulat，2010（15） 3855-3864.
[3]S. Chen， W. Ni， C. Wang，Positive solution of fourth order ordinary differential equation with four-point boundary conditions[J]. APPL. MATH. LETT. 2006（19）： 161-168.
[4]C. Bai， D. Yang， H. Zhu，Existence of solutions for fourth order differential equation with four-point boundary conditions[J]. APPL. MATH. LETT. 2007（20）： 1131-1136.
[5]A. Ravi Kanth， K. Aruna， Solution of singular two-point boundary value problems using differential transformation method[J].PHYS. LETT. A. 2008（372） 4671-4673.
[6]Y. Zhong，S. Chen， C. Wang， Existence results for a fourth-order ordinary differential equation with a four-point boundary condition[J]. APPL. MATH. LEET. 2008（21）：465-470.
[关 键 词] 微分方程；非线性；再生核；两点边值
[中图分类号] G642 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）10-0184-02
非線性微分方程得到越来越多的关注，自然界中的很多现象可以被描述为带有边值问题的非线性微分方程。随着科学技术的发展，复杂边值使问题变得更实际并提高了相合性。一般而言，非线性边值问题的理论解是未知的，因此，研究有效的算法得到近似解尤为重要。学者们提出了不同的算法得到数值结果，常用的算法有差分法，变分法等。
再生核算法基于泛函分析中的Soblev空间理论的支撑。目前，对两点边值问题的求解相对比较成熟，本文在此基础上进一步研究非线性两点边值问题，考虑如下非线性微分方程：
v″+a（x）v′+N（v）=h（x），x∈[a，b]v（a）=α1，v（b）=α2（1）
其中a1（x），h（x）为连续函数，N是非线性项。
同轮摄动可将此非线性方程转化为线性方程。这里我们选择简化的再生核方法。与传统的再生核方法相比，我们通过泛函及广义函数理论，给出了再生核，我们给出了再生核的统一表达式，降低了再生核的复杂性。然后构造再生核空间的一个闭子空间Sn，使其满足边值条件。该方法也避免了正交化。该方法符合一致收敛性，而且更加简单有效。
一、同伦渐进法
对于方程（1），构造
G（u，q）=（1-q）（L（u）-h）+q（L（u）-h（t）+N（u））=0. （2）
其中L（u）=u″+a（x）+u′，整理可得
L（u）-h（t）+qN（v）=0 （3）
显然
G（u，0）=L（u）-h（x）=0
G（u，1）=L（u）-h（x）+N（u）=0 （4）
现假设
u（x，q）=u0（x）+u1（x）q+…+uk（x）qk+… （5）
是（3）的解，则当参数q由0渐进到1时，得到方程（1）的解，即
v（x）u■=（x，q）=u0（x）+u1（x）+…+uk（x）…
只需求出u0，u1，u2，…，uk，…再把（5）带入（2）可得线性方程组■u（x，q）
L（u0）=h（t），u0（a）=■，u0（b）=■；
L（u1）=-N（u0），u1（a）=■，u1（b）=■；
L（u2）=-N′（u0）u1，u2（a）=■，u1（b）=■；（6）
…
L（un）=-■■N■uiqi ，u2（a）=■，u1（b）=■
均为线性方程，下面再用简化的再生核方法求解这一系列方程。
二、简化的再生核方法
对于方程（6），具有统一的表达形式
Lui=hiui（a）=■，ui（b）=■ （7）
其中hi=-■■N■uiqi
下面介绍简化的再生核方法。令
fi（x）=LxiR（x，xi），i=1，2，…，n，
g1（x）=R（x，a），g1（x）=R（x，b）
由再生核性质知：f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）线性无关。
令Sn=span{f1（x），f2（x），…，fn（x），g1（x），g2（x）}，Pn：W32[a，b]→Sn为正交投影算子，则f1（x），f2（x）…fn（x），g1（x），g2（x）为Sn的一组基。
由泛函的相关定理，假设ui（x）是（7）的解，则Pnui是（7）的逼近解。由uin■Pnui∈Sn，故Vn可设为
uin=ai1f1+ai2f2+…+ainfn+bi1g1+bi2g2 （8）
定理2.1：设ui是（7）的解，则Pnui满足：
〈uin，fj〉=h（xj），j=1，2，…，n〈uin，g1〉=■〈uin，g2〉=■ （9）
证明：定理2.2在[a，b]上，uin一致收敛于ui。
接下来确定未知系数ai1，ai2，…ain，bi1，bi2。将式（8）代入式（9），得到线性方程组：
■aij〈fj，fi〉+bij〈fj，g1〉+bi2〈fj，g2〉=h（xi），i=1，2，…，n■aij〈fj，g1〉+bi1〈g1，g1〉+bi2〈g1，g2〉=■■aij〈fj，g1〉+bi1〈g2，g1〉+bi2〈g2，g2〉=■
可得
（ai1，ai2，…，ain，bi1，bi2）r=M-1bi，i=0，1，2，…，m。
进而得到ui近似解。故而，我们得到式（1）的近似解.
Um，n=■uin
三、结论
通过之前的理论分析可知，同伦渐进和简化的再生核方法成功地解决了非线性方程的问题。
参考文献：
[1]S.Abbas，D.Mehdi.The use of Sinc-collocation method for solving multi-point boundary value problems[J].Commun Nonlinear Sc.i Numer. Simulat，2012（17）593-601.
[2]Y. Lin， J. Lin，Numerical method for solving the nonlinear four-point boundary value problems[J].Commun Nonlinear Sc.i Numer. Simulat，2010（15） 3855-3864.
[3]S. Chen， W. Ni， C. Wang，Positive solution of fourth order ordinary differential equation with four-point boundary conditions[J]. APPL. MATH. LETT. 2006（19）： 161-168.
[4]C. Bai， D. Yang， H. Zhu，Existence of solutions for fourth order differential equation with four-point boundary conditions[J]. APPL. MATH. LETT. 2007（20）： 1131-1136.
[5]A. Ravi Kanth， K. Aruna， Solution of singular two-point boundary value problems using differential transformation method[J].PHYS. LETT. A. 2008（372） 4671-4673.
[6]Y. Zhong，S. Chen， C. Wang， Existence results for a fourth-order ordinary differential equation with a four-point boundary condition[J]. APPL. MATH. LEET. 2008（21）：465-470.