本文主要研究异维环分支问题，连接非双曲奇点的异宿环分支问题及时间尺度上p-Laplacian动力方程的三点边值问题。全文内容分为四章。第一章主要介绍了本论文的研究背景、意义及主要工作。由文献[34]可知，具有异维环的系统是很常见的，而且异维环的存在性往往隐含着动力学行为的极端复杂性。因此，研究异维环的分支问题不仅有着广泛的应用背景，而且有着重要的理论价值。本文第二章采用文献[69，71]首先引入并经文献[28-31]等改进的方法(即在异宿轨道附近建立局部活动坐标系，构造新坐标系下的Poincaré映射，并导出分支方程的方法)，分别研究了三维空间和四维空间中的异维环在满足通有条件下的分支问题，给出了异维环保存及同宿环、周期轨存在的条件与分支曲面。值得提出的是，本文还得到了关于保存的异维环与分支出的周期轨共存的结果，从而揭示了与非异维的异宿环在分支性态方面的差别。众所周知，在研究非异维的异宿环分支问题时，当且仅当未扰动的异宿环满足一些非通有条件(如轨道翻转，倾斜翻转等条件)时，保存的异宿环与分支出的周期轨才可能共存。事实上，在已有的文献中，大部分同宿、异宿轨道分支问题都是考虑连接一个或两个双曲奇点的。我们知道，非双曲奇点的结构不稳定性会导致奇点分支(如鞍结点分支，超临界分支，草叉分支等)的产生，从而使连接非双曲奇点的轨道分支问题的难度大大增加。因此，对于此类问题的讨论还相对较少。文献[37]和[38]分别研究了连接一个非双曲奇点的通有和非通有同宿轨道的保存问题及分支出周期轨的情况。在此基础上，本文第三章研究了连接一个双曲鞍点和一个非双曲奇点的异宿环分支问题，并假设非双曲奇点具有超临界分支特征。利用在异宿轨道附近建立局部活动坐标系，构造Poincaré映射，从而导出分支方程的方法对伴随超临界分支的通有、非通有异宿环的保存问题，同宿环、周期轨的存在性及分支出异宿轨道的情况进行了讨论，并且揭示了伴随超临界分支的通有异宿环和非通有异宿环在分支样式上的差异。与已有文献相比，本文所采用的研究分支问题的方法适用范围更广，而且所得的分支方程有较强的可计算性。时间尺度上的动力方程是近年来兴起的一个新的数学分支，随着其理论的发展及p-Laplacian微分(差分)方程的备受关注，时间尺度上p-Laplacian动力方程的边值问题引起了越来越多的学者的兴趣。本文第四章借助于非线性泛函分析的有关理论，利用Avery和Peterson[80]引入的一个新不动点定理和文献[92]中的一个不动点定理讨论了时间尺度上一类p-Laplacian动力方程的三点边值问题，给出了该边值问题至少存在三个解的判定定理，并举例说明了定理的可行性。该问题的讨论避免了对连续的和离散的p-Laplacian动力方程的三点边值问题的重复性研究。