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笔者2016年6月在贵刊发表了题为《浅探电流表内阻的测量方法》的文章，旨在引导学生立足教材，举一反三，运用所学原理与方法控制实验条件，达成实验目标.这种探索过程蕴含着对重要的物理方法、物理思想的比较与思维碰撞，是培养学生创新思维能力的重要途径之一.基于此，笔者将自己多年来总结和归纳的测电压表内阻的方法借贵刊分享给读者.
1 伏安法
原理 电路如图1所示，设电压表和电流表的示数分别为U、I，用r表示是电压表V的内阻.则有r=UI.
误差分析 从原理上讲，没有误差.但由于电压表的满度电流（电压表满偏时对应的电流）很小，会造成电流表偏转很小，从而产生很大的读数误差.
改进 在电压表上并联一个定值电阻或电阻箱，作为分流电阻，从而使电流表有较大的示数，如图2所示.设电压表和电流表的示数分别为U、I，定值电阻或电阻箱的阻值为R，则有
r=UIR-UR.
2 串伏法
原理 电路如图3所示，设电压表V和电压表V1的示数分别为U、U1，内阻分别用r和r1表示，则有r=UU1r1.
对器材的要求 要求已知电压表V1的内阻，另外，两表满度电流相近.
创新点拨 由于已知电压表V′的内阻，故电压表V′相当于一只电流表，如图4所示.
3 并伏法
原理 电路如图5所示，设电压表V和电压表V1的示数分别为U、U1，R是电阻箱的阻值，电压表V的内阻用r表示，则有
r=UU1-UR.
对器材的要求 要求电压表V′比V的量程稍大或差不多.
创新点拨 由于能求出加在电阻箱上的电压，故能求出通过它的电流，电阻箱在这里相当于一个电流表.如图6所示.
例题 量程为3 V的电压表，其内阻约为3 kΩ，现要求测出该电压表内阻的值，并有尽可能高的测量精确度，现有下列器材
请选用给定的一些器材，设计两种易于操作的实验方案，画出实验电路，简要说明需要测量的物理量并写出测量结果的表达式.
复习与解
方案Ⅰ 由于待测电压表的满度电流约为3 V/3 kΩ=1.0 mA，故可以选择伏安法，电路如图7所示.
闭合电键，调节R2，使电压表V和电流表A1示数均较大，读出它们的示数分别计作U和I，则电压表内阻为r=UI.
方案Ⅱ 由于电源内阻很小，而电压表内阻约为3 kΩ，所以把电压表串联一个电阻接到电源上，电源的路端电压可认为等于电源的电动势，这种方法相当于前面讲到的并伏法，电路如图8所示.
闭合电键，调节R4，使电压表V示数较大，读出其示数为U，读出电阻箱的阻值R4，则电压表的内阻为r=UE2-UR4.
练习 现有器材如下：电池E：电动势3 V，内阻约1 Ω；电压表V1：量程30 V，内阻约为30 kΩ；电压表V2：量程3 V，内阻约为3 kΩ；电压表V3：量程2.5 V，内阻约为2.5 kΩ；电阻箱R1：最大阻值9999.9 Ω，阻值最小改变量为0.1 Ω；滑动变阻器R2：最大阻值为50 Ω；电键S，导线若干.
（1）用如图9所示的电路，测定其中某只电压表的内阻.实验中，要读出电阻箱的阻值R1，两只电压表的示数U、U′，请用所测物理量写出所测电压表内阻的表示式rg=________________________________________.
（2）在题中所给的三只电压表中，能用如图所示电路较准确地测出其内阻的电压表是________________________________________.
参考答案 （1）因为R1与电压表串联，电流相等，故有U′-UR1=Urg，即rg=UU′-UR1.
（2）本实验采用并伏法测电压表内阻，要求待测电压表V的量程，不能比电压表V′的量程大得太多，否则会造成电压表V′示数过小.故能较准确测出内阻的电压表是：电压表V2和电压表V3.
通过对电流表、电压表内阻的测量的方法的探究，我们不难得到几点启示：
启示一：在已知电压表内阻时，电压表可以当电流表用，如串伏法测电压表的内阻时，电压表等同于电流表；已知电流表内阻时，电流表可当电压表用，如并安法测电流表内阻时，电流表等同于电压表.
启示二：在已知电阻箱或定值电阻的电压时，电阻箱或定值电阻可以当电流表使用，如并伏法测电压表的内阻；在已知电阻箱或定值电阻的电流时，电阻箱或定值电阻可以当电压表使用，如串安法测电流表内阻.
启示三：伏安法是创新的基础.
1 伏安法
原理 电路如图1所示，设电压表和电流表的示数分别为U、I，用r表示是电压表V的内阻.则有r=UI.
误差分析 从原理上讲，没有误差.但由于电压表的满度电流（电压表满偏时对应的电流）很小，会造成电流表偏转很小，从而产生很大的读数误差.
改进 在电压表上并联一个定值电阻或电阻箱，作为分流电阻，从而使电流表有较大的示数，如图2所示.设电压表和电流表的示数分别为U、I，定值电阻或电阻箱的阻值为R，则有
r=UIR-UR.
2 串伏法
原理 电路如图3所示，设电压表V和电压表V1的示数分别为U、U1，内阻分别用r和r1表示，则有r=UU1r1.
对器材的要求 要求已知电压表V1的内阻，另外，两表满度电流相近.
创新点拨 由于已知电压表V′的内阻，故电压表V′相当于一只电流表，如图4所示.
3 并伏法
原理 电路如图5所示，设电压表V和电压表V1的示数分别为U、U1，R是电阻箱的阻值，电压表V的内阻用r表示，则有
r=UU1-UR.
对器材的要求 要求电压表V′比V的量程稍大或差不多.
创新点拨 由于能求出加在电阻箱上的电压，故能求出通过它的电流，电阻箱在这里相当于一个电流表.如图6所示.
例题 量程为3 V的电压表，其内阻约为3 kΩ，现要求测出该电压表内阻的值，并有尽可能高的测量精确度，现有下列器材
请选用给定的一些器材，设计两种易于操作的实验方案，画出实验电路，简要说明需要测量的物理量并写出测量结果的表达式.
复习与解
方案Ⅰ 由于待测电压表的满度电流约为3 V/3 kΩ=1.0 mA，故可以选择伏安法，电路如图7所示.
闭合电键，调节R2，使电压表V和电流表A1示数均较大，读出它们的示数分别计作U和I，则电压表内阻为r=UI.
方案Ⅱ 由于电源内阻很小，而电压表内阻约为3 kΩ，所以把电压表串联一个电阻接到电源上，电源的路端电压可认为等于电源的电动势，这种方法相当于前面讲到的并伏法，电路如图8所示.
闭合电键，调节R4，使电压表V示数较大，读出其示数为U，读出电阻箱的阻值R4，则电压表的内阻为r=UE2-UR4.
练习 现有器材如下：电池E：电动势3 V，内阻约1 Ω；电压表V1：量程30 V，内阻约为30 kΩ；电压表V2：量程3 V，内阻约为3 kΩ；电压表V3：量程2.5 V，内阻约为2.5 kΩ；电阻箱R1：最大阻值9999.9 Ω，阻值最小改变量为0.1 Ω；滑动变阻器R2：最大阻值为50 Ω；电键S，导线若干.
（1）用如图9所示的电路，测定其中某只电压表的内阻.实验中，要读出电阻箱的阻值R1，两只电压表的示数U、U′，请用所测物理量写出所测电压表内阻的表示式rg=________________________________________.
（2）在题中所给的三只电压表中，能用如图所示电路较准确地测出其内阻的电压表是________________________________________.
参考答案 （1）因为R1与电压表串联，电流相等，故有U′-UR1=Urg，即rg=UU′-UR1.
（2）本实验采用并伏法测电压表内阻，要求待测电压表V的量程，不能比电压表V′的量程大得太多，否则会造成电压表V′示数过小.故能较准确测出内阻的电压表是：电压表V2和电压表V3.
通过对电流表、电压表内阻的测量的方法的探究，我们不难得到几点启示：
启示一：在已知电压表内阻时，电压表可以当电流表用，如串伏法测电压表的内阻时，电压表等同于电流表；已知电流表内阻时，电流表可当电压表用，如并安法测电流表内阻时，电流表等同于电压表.
启示二：在已知电阻箱或定值电阻的电压时，电阻箱或定值电阻可以当电流表使用，如并伏法测电压表的内阻；在已知电阻箱或定值电阻的电流时，电阻箱或定值电阻可以当电压表使用，如串安法测电流表内阻.
启示三：伏安法是创新的基础.