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在进行阶段复习时只有及时梳理思路，才能做到有的放矢.特别要强调解题后的反思，因为在这个过程中提炼出来的思想方法易于体会，易于接受．我们要从解题思路的探索、方法规律的概括过程中充分挖掘数学思想方法，拓展思维，领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题，从而培养能力，全面提高数学素养．
1．字母代数的思想
用字母表示数是代数的基本特征，它可以把数或数量关系简明地表示出来，也可以使得一些运算简便.“二次根式”中大量地运用了字母表示数，从概念到法则到运算，无处不体现字母代数的思想. 下面举一道运用此法使得运算简便的例子：
例1已知x=■(■-■)，求（x+■）2的值.
思路分析：直接代入求值很麻烦．
若令■=a，则x=
■(a-■). 整理得a2-2xa-
1= 0，解关于a的一元二次方程，得a=x+■(负号已舍去)，所以（x+■）2=a2=1997.
2．分类的思想
在处理一些含有字母的问题时，往往需要对字母的取值情况进行分类讨论(分类时考虑一定要全面，不能有遗漏,例如■，就需要对字母a的取值进行分类讨论.即：
■=a=a(a≥0)-a(a＜0).
又如，在对■分母有理化时，若采用分子分母都乘以分母的有理化的方法，就需要对x、y的取值情况进行分类讨论，即当x=y时，原式=0=■-■；当x≠y时，原式=■.
综合以上两种情况，有原式=■-■.
例2化简 ■-■.
思路分析：欲对原式进行化简，需讨论x－2和4－x的符号，这就需要讨论x与2和x与4的大小的问题，由于
■= x-2(x≥2)2-x(x<2) ；
■= 4-x(x≤4)x-4(x>4) .
可得■-■=
-2(x<2)2x-6(2≤x≤4)2(x>4).
3．等价转化思想
利用等价转化思想可以把那些不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决，在此仅举一例说明．
例3比较下列各组代数式的大小
(1)3■ 与2■；（2）8-■与3+■；（3）2■-1与■+1；（4）■+■和■+■；（5）■-■与■-■；（6）5-2■与3-2■.
思路分析：（1）3■=■，2■=■，所以3■ >2■.通过把根号外因式移到根号内，只需比较被开放数即可；
（2）两式作差与0比较，由于（8-■）-（3+■）=5-2■=■-■<0，所以8-■<3+■；
（3）如两式皆大于0，可作商之后与1比较，由于■=■，而7-
3■=2+■-■<2，所以2■-1<■+1；
( 4 )若两式皆大于0，可平方后再比较.因为（■+■）2=18+2■，（■+■）2=18+2■，所以■+■<■+■；
( 5 )采用倒数比较或分子有理化方法比较.■-■=■，■-■=■，所以■-■<■-■；
( 6 )可采用配方后比较.
5-2■=（■-■）2，3-2■=
（■-1）2，而■-■=■<■=■-1，所以 5-2■<3-2■.
4．整体的思想
对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应的措施，如做一些必要的运算变形、恒等变形、整体代入求值等．
例4 已知x=■(■+■)，y=■(■-■)，求x2-xy+y2的值.
思路分析：由已知可得x+y=■，xy=■.
所以x2-xy+y2=(x+y)2-3xy
=(■)2-3×■=■.
5．换元的思想方法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用. 对于一些复杂的根式运算，可以通过换元，将其转化为简单的有理式的运算．
例5化简：
■+ ■.
思路分析：令■-■=a， ■+■=b，则a+b=2■，ab=1.
原式=■+■=■＝4(x+1)－2＝4x+2．
6．方程的思想
在解决一些非方程问题时，我们可以根据题目特点，恰当地构造方程，并运用方程使问题得以解决.如本文中的例1就构造了一个关于字母a的一元二次方程.
例6化简
■■.
思路分析：设
x=■■，
则 x2=■·■=ab，
所以x=■，即原式=■.
7．配方的思想
配方法是代数式在恒等变形中常用的一种数学方法，根据a2±2ab＋b2＝(a±b)2，配方就是根据题目的条件特点，把代数式或它的一部分变形为a2±2ab＋b2的形式从而化成(a±b)2的形式．
例7 化简■.
思路分析：11=5+6=（■）2+
（■）2，而2■=2■·■.
所以■=
■=■=■+■.
应该指出的是，此处用到了待定系数法，其实质就是要找出a、b使a＋b＝11，a·b＝30．
★编辑/王一鸣
1．字母代数的思想
用字母表示数是代数的基本特征，它可以把数或数量关系简明地表示出来，也可以使得一些运算简便.“二次根式”中大量地运用了字母表示数，从概念到法则到运算，无处不体现字母代数的思想. 下面举一道运用此法使得运算简便的例子：
例1已知x=■(■-■)，求（x+■）2的值.
思路分析：直接代入求值很麻烦．
若令■=a，则x=
■(a-■). 整理得a2-2xa-
1= 0，解关于a的一元二次方程，得a=x+■(负号已舍去)，所以（x+■）2=a2=1997.
2．分类的思想
在处理一些含有字母的问题时，往往需要对字母的取值情况进行分类讨论(分类时考虑一定要全面，不能有遗漏,例如■，就需要对字母a的取值进行分类讨论.即：
■=a=a(a≥0)-a(a＜0).
又如，在对■分母有理化时，若采用分子分母都乘以分母的有理化的方法，就需要对x、y的取值情况进行分类讨论，即当x=y时，原式=0=■-■；当x≠y时，原式=■.
综合以上两种情况，有原式=■-■.
例2化简 ■-■.
思路分析：欲对原式进行化简，需讨论x－2和4－x的符号，这就需要讨论x与2和x与4的大小的问题，由于
■= x-2(x≥2)2-x(x<2) ；
■= 4-x(x≤4)x-4(x>4) .
可得■-■=
-2(x<2)2x-6(2≤x≤4)2(x>4).
3．等价转化思想
利用等价转化思想可以把那些不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决，在此仅举一例说明．
例3比较下列各组代数式的大小
(1)3■ 与2■；（2）8-■与3+■；（3）2■-1与■+1；（4）■+■和■+■；（5）■-■与■-■；（6）5-2■与3-2■.
思路分析：（1）3■=■，2■=■，所以3■ >2■.通过把根号外因式移到根号内，只需比较被开放数即可；
（2）两式作差与0比较，由于（8-■）-（3+■）=5-2■=■-■<0，所以8-■<3+■；
（3）如两式皆大于0，可作商之后与1比较，由于■=■，而7-
3■=2+■-■<2，所以2■-1<■+1；
( 4 )若两式皆大于0，可平方后再比较.因为（■+■）2=18+2■，（■+■）2=18+2■，所以■+■<■+■；
( 5 )采用倒数比较或分子有理化方法比较.■-■=■，■-■=■，所以■-■<■-■；
( 6 )可采用配方后比较.
5-2■=（■-■）2，3-2■=
（■-1）2，而■-■=■<■=■-1，所以 5-2■<3-2■.
4．整体的思想
对一些有关二次根式的代数式求值问题，我们不能孤立地看待已知与已知、已知与未知，而应从整体的角度去分析已知与已知、已知与未知的关系，然后采取相应的措施，如做一些必要的运算变形、恒等变形、整体代入求值等．
例4 已知x=■(■+■)，y=■(■-■)，求x2-xy+y2的值.
思路分析：由已知可得x+y=■，xy=■.
所以x2-xy+y2=(x+y)2-3xy
=(■)2-3×■=■.
5．换元的思想方法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用. 对于一些复杂的根式运算，可以通过换元，将其转化为简单的有理式的运算．
例5化简：
■+ ■.
思路分析：令■-■=a， ■+■=b，则a+b=2■，ab=1.
原式=■+■=■＝4(x+1)－2＝4x+2．
6．方程的思想
在解决一些非方程问题时，我们可以根据题目特点，恰当地构造方程，并运用方程使问题得以解决.如本文中的例1就构造了一个关于字母a的一元二次方程.
例6化简
■■.
思路分析：设
x=■■，
则 x2=■·■=ab，
所以x=■，即原式=■.
7．配方的思想
配方法是代数式在恒等变形中常用的一种数学方法，根据a2±2ab＋b2＝(a±b)2，配方就是根据题目的条件特点，把代数式或它的一部分变形为a2±2ab＋b2的形式从而化成(a±b)2的形式．
例7 化简■.
思路分析：11=5+6=（■）2+
（■）2，而2■=2■·■.
所以■=
■=■=■+■.
应该指出的是，此处用到了待定系数法，其实质就是要找出a、b使a＋b＝11，a·b＝30．
★编辑/王一鸣