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学生数学能力很大一部分体现在学生的解题能力方面，这也是教师追求的目标之一。本文从以下几个方面，谈谈对学生解题意识的培养。
一、调控意识
过椭圆■+■左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|=2|F1B|，求该椭圆的离心率。
■
解：设AF1=2m，则BF1=m，AF2=2a-2m，BF2=2a-m，在△AF1F2中，由余弦定理得（2a-2m）2=(2m)2+(2c)2-2×2m×2c×cos60°，即a2-2am=c2-mc （1）
在△BF1F2中，由余弦定理得(2a-m)2=m2+(2c)2-2×m×2c×cos120°，即4a2-4am=4c2+2mc （2）
由(2)-(1)×4得4am=6mc，即■=■.
评注：本题若采用常规设出直线方程后与椭圆方程联立方程组，消去，由纵坐标关系虽能解出离心率，但是计算涉及字母，非常繁琐。教师要引导学生，调整解题思路，从原始定义出发，想到椭圆的右焦点，构造两个三角形，利用余弦定理得到两个方程，直接求出离心率，解法新颖独特。
二、目标意识
已知F1，F2为椭圆■+■=1的左右焦点，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，交椭圆右准线于C点，设O为坐标原点，且■+■=2■，求△OAC的面积。
■
解：从要求的目标是△OAC的面积，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则OAC的面积为■|OF1|×|y1-y2|因此，可设直线AB的方程为x=ny-1以便消去x，由方程组■+■=1，x=ny-1，得
（3n2+4）y2-6ny-9=0，由根与系数关系得y1+y2=■，y1y2=■，又因为■+■=2■，所以B为AC的中点，过A，B两点分别作左准线的垂线AE，BD，则|AE|=2|BD|，所以|AF1|=2|BF1|，所以y1=-2y2代入y1+y2=■，y1y2=■中得y2=-■，2y22=■，可得n2=■，所以△OAC的面积为■|OF1|×|y1-y2|=■■=■■=6■=■.
评注：本题采用常规思路虽然简洁，但是计算却是非常繁琐，若能从所求目标入手，设出直线方程既回避对斜率的讨论，又直观找出两点纵坐标间的数量关系，为顺利求出面积打下伏笔。因此教师要引导学生从所求结果分析，树立强烈的目标意识。
三、数形结合意识
已知向量■≠■，|■|=1满足：对任意t∈R，恒有|■-t■|≥|■-■|，则（ ）
A、■⊥■ B、■⊥（■-■）
C、■⊥（■-■） D、（■+■）⊥（■-■）
解析：如图，设■=■，■=■，则■=■-■，向量t■对应的点P在直线OB上，■=■-t■，当AB⊥OB时，点A到直线AB的距离最短，所以，要使对任意t∈R恒成立，必须满足■⊥(■-■)，故选答案C。
评注：本题若采用两边平方，易得：
当t≥1时，■·■≤■，所以■·■≤1 （1）
当t≤1时，■·■≥■，所以■·■≥1（2），再由（1）（2）运用两边夹的思想（这对学生来说却是很难想到的）得■·■=1，所以（■-■）·■=■·■-■=1-1=0，所以■⊥(■-■)。显然教师若能引导学生，利用数形结合的方法去解决不要求严密的解题过程的选择题，达到真正省时的目的。
四、直觉意识
已知函数f(x)=-■x2+x，问：是否存在实数m，n,当x的取值范围是[m,n]时，y的取值范围是[2m,2n]？
解析：因为f(x)=-■(x-1)2+■≤■,对称轴为x=1,所以2n≤■,n≤■,所以[m,n]∈(-∞，1),所以f(x)在[m,n]内单调递增,于是由f(m)=-■m2+m=2m，f(n)=-■n2+n=2n,得m=0或m=-2,n=0或n=-2，所以存在m=-2,n=0符合要求。
评注：本题可看作是定轴动区间上的二次函数的值域，常规方法是根据二次函数的对称轴与动区间的关系，利用函数的单调性进行分类讨论求出值域，再探求m，n的存在性。教师可引导学生运用直觉,大胆猜测，注意到x∈[m,n]，y∈[2m,2n]，似乎有m对应2m,n对应2n，凭此直觉，猜测f(x)在[m,n]内单调递增，利用值域的隐含条件，找出关系，减少讨论。
五、转化意识
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()。
A.18对B.24对
C.30对D.36对
解析：本题突出对求异面直线对数方法的考查。具有较强的技巧性，要求学生具有等价转化思想，因为在最简单的几何体——任何四面体中都有三对异面直线。因此本题实质上是考察符合条件的正四面体个数，我们把正四面体的四个顶点，来自三棱柱的上下底面的六个点中选出四个有C■■-3=12个，所以异面直线有24对，故选答案B。
评注：如果用列举法很容易遗漏，或者重复计算而导致出错。教师若能引导学生利用任何四面体中都有三对异面直线进行等价转化，只要求出正四面体个数即可。
六、整体意识
设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a2·a5·a8·…a29的值为（）
A.210B.215 C.216 D.220
解析：设a2·a5·a8·…a29=B，a1·a4·a7·…a28=A，a3·a6·a9·…a30=C,则B2=AC，所以B3=230，即B=210答案为A。
评注：本题利用整体思想，联想到所缺项，达到多思少算、简洁美观的目的。这在不等式证明中经常使用。如证■×■×■×…×■>■，可设A=■×■×■×…×■，B=■×■×■×■，则A>B，A2>AB=■，所以A>■，同样可以证明■×■×■×…×■>■，来培养学生的整体意识。
七、构造意识
半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（）。
A.arccos(-■) B.arccos(-■)
C.arccos(-■) D.arccos(-4)
解析：如图将正四面体ABCD放置在正方体AE中，O为正方体AE的中心，则A与B两点间的球面距离为矩形ABEF的外接圆中，弦AB所对的劣弧长，又因为OA=OB=1，所以即为∠AOB弧度数，AB=■，cos∠AOB=■=-■，所以A与B两点间的球面距离为arccos(-■)。
评注：本题将正四面体放置在正方体中，从而得到它们具有相同的外接球，增加图形的直观性。
八、类比意识
已知G是△ABC的重心，过点G任意作一直线交AB于D，交AC于E，若■=x■，■=y■，求证：■+■=3。
对于上述问题不仅是向量共线知识的应用，而且典型的定点定值问题，不能到此为止，而要引导学生认真思考一下，能否把它类比推广到空间，引导学生编题，易得命题：
已知G是四面体P-ABC的重心，过点G任意作一平面交PA于D，交PB于E，交PC于F，若■=x■，■=y■，■=z■，问■+■+■是否为定值呢？
评注：把一些平面结论推广到空间，往往得到一些类似的结论，这是近年高考命题的新特点，它能考查学生的空间想象和合情推理能力。
九、创新意识
在参加足球比赛的12支足球队中有2支强队甲、乙。先任意将这12支足球队分成A、B两组，每组6支队进行比赛，问这2支强队分在同一个组的概率是多少？
■
解析：本题可按强队甲、乙在A组或在B组进行分类而求，但是若利用表格不但可以减少运算量，而且使解答更简捷直观。
12支足球队分成两组，每组6支队，看成6个空位（如图），强队甲先站在其中一组的一个空位上，不妨在第1组，这组还剩5个空位，这时强队乙在余下的11个空位上任选一个有11种选法，但是要与强队甲在同一组，只有5个空位可选，因此P=■.
评注：教师要在课堂教学中，常采用讨论式、启发式教学，让学生在讨论过程中进行思维的交流碰撞，从而有效地培养学生的创新意识。
一、调控意识
过椭圆■+■左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A，B两点，若|F1A|=2|F1B|，求该椭圆的离心率。
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解：设AF1=2m，则BF1=m，AF2=2a-2m，BF2=2a-m，在△AF1F2中，由余弦定理得（2a-2m）2=(2m)2+(2c)2-2×2m×2c×cos60°，即a2-2am=c2-mc （1）
在△BF1F2中，由余弦定理得(2a-m)2=m2+(2c)2-2×m×2c×cos120°，即4a2-4am=4c2+2mc （2）
由(2)-(1)×4得4am=6mc，即■=■.
评注：本题若采用常规设出直线方程后与椭圆方程联立方程组，消去，由纵坐标关系虽能解出离心率，但是计算涉及字母，非常繁琐。教师要引导学生，调整解题思路，从原始定义出发，想到椭圆的右焦点，构造两个三角形，利用余弦定理得到两个方程，直接求出离心率，解法新颖独特。
二、目标意识
已知F1，F2为椭圆■+■=1的左右焦点，过椭圆左焦点F1的直线交椭圆于A，B两点，交椭圆右准线于C点，设O为坐标原点，且■+■=2■，求△OAC的面积。
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解：从要求的目标是△OAC的面积，若设A（x1，y1），B（x2，y2），则OAC的面积为■|OF1|×|y1-y2|因此，可设直线AB的方程为x=ny-1以便消去x，由方程组■+■=1，x=ny-1，得
（3n2+4）y2-6ny-9=0，由根与系数关系得y1+y2=■，y1y2=■，又因为■+■=2■，所以B为AC的中点，过A，B两点分别作左准线的垂线AE，BD，则|AE|=2|BD|，所以|AF1|=2|BF1|，所以y1=-2y2代入y1+y2=■，y1y2=■中得y2=-■，2y22=■，可得n2=■，所以△OAC的面积为■|OF1|×|y1-y2|=■■=■■=6■=■.
评注：本题采用常规思路虽然简洁，但是计算却是非常繁琐，若能从所求目标入手，设出直线方程既回避对斜率的讨论，又直观找出两点纵坐标间的数量关系，为顺利求出面积打下伏笔。因此教师要引导学生从所求结果分析，树立强烈的目标意识。
三、数形结合意识
已知向量■≠■，|■|=1满足：对任意t∈R，恒有|■-t■|≥|■-■|，则（ ）
A、■⊥■ B、■⊥（■-■）
C、■⊥（■-■） D、（■+■）⊥（■-■）
解析：如图，设■=■，■=■，则■=■-■，向量t■对应的点P在直线OB上，■=■-t■，当AB⊥OB时，点A到直线AB的距离最短，所以，要使对任意t∈R恒成立，必须满足■⊥(■-■)，故选答案C。
评注：本题若采用两边平方，易得：
当t≥1时，■·■≤■，所以■·■≤1 （1）
当t≤1时，■·■≥■，所以■·■≥1（2），再由（1）（2）运用两边夹的思想（这对学生来说却是很难想到的）得■·■=1，所以（■-■）·■=■·■-■=1-1=0，所以■⊥(■-■)。显然教师若能引导学生，利用数形结合的方法去解决不要求严密的解题过程的选择题，达到真正省时的目的。
四、直觉意识
已知函数f(x)=-■x2+x，问：是否存在实数m，n,当x的取值范围是[m,n]时，y的取值范围是[2m,2n]？
解析：因为f(x)=-■(x-1)2+■≤■,对称轴为x=1,所以2n≤■,n≤■,所以[m,n]∈(-∞，1),所以f(x)在[m,n]内单调递增,于是由f(m)=-■m2+m=2m，f(n)=-■n2+n=2n,得m=0或m=-2,n=0或n=-2，所以存在m=-2,n=0符合要求。
评注：本题可看作是定轴动区间上的二次函数的值域，常规方法是根据二次函数的对称轴与动区间的关系，利用函数的单调性进行分类讨论求出值域，再探求m，n的存在性。教师可引导学生运用直觉,大胆猜测，注意到x∈[m,n]，y∈[2m,2n]，似乎有m对应2m,n对应2n，凭此直觉，猜测f(x)在[m,n]内单调递增，利用值域的隐含条件，找出关系，减少讨论。
五、转化意识
过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()。
A.18对B.24对
C.30对D.36对
解析：本题突出对求异面直线对数方法的考查。具有较强的技巧性，要求学生具有等价转化思想，因为在最简单的几何体——任何四面体中都有三对异面直线。因此本题实质上是考察符合条件的正四面体个数，我们把正四面体的四个顶点，来自三棱柱的上下底面的六个点中选出四个有C■■-3=12个，所以异面直线有24对，故选答案B。
评注：如果用列举法很容易遗漏，或者重复计算而导致出错。教师若能引导学生利用任何四面体中都有三对异面直线进行等价转化，只要求出正四面体个数即可。
六、整体意识
设{an}是由正数组成的等比数列，公比q=2，且a1·a2·a3·…·a30=230，那么a2·a5·a8·…a29的值为（）
A.210B.215 C.216 D.220
解析：设a2·a5·a8·…a29=B，a1·a4·a7·…a28=A，a3·a6·a9·…a30=C,则B2=AC，所以B3=230，即B=210答案为A。
评注：本题利用整体思想，联想到所缺项，达到多思少算、简洁美观的目的。这在不等式证明中经常使用。如证■×■×■×…×■>■，可设A=■×■×■×…×■，B=■×■×■×■，则A>B，A2>AB=■，所以A>■，同样可以证明■×■×■×…×■>■，来培养学生的整体意识。
七、构造意识
半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（）。
A.arccos(-■) B.arccos(-■)
C.arccos(-■) D.arccos(-4)
解析：如图将正四面体ABCD放置在正方体AE中，O为正方体AE的中心，则A与B两点间的球面距离为矩形ABEF的外接圆中，弦AB所对的劣弧长，又因为OA=OB=1，所以即为∠AOB弧度数，AB=■，cos∠AOB=■=-■，所以A与B两点间的球面距离为arccos(-■)。
评注：本题将正四面体放置在正方体中，从而得到它们具有相同的外接球，增加图形的直观性。
八、类比意识
已知G是△ABC的重心，过点G任意作一直线交AB于D，交AC于E，若■=x■，■=y■，求证：■+■=3。
对于上述问题不仅是向量共线知识的应用，而且典型的定点定值问题，不能到此为止，而要引导学生认真思考一下，能否把它类比推广到空间，引导学生编题，易得命题：
已知G是四面体P-ABC的重心，过点G任意作一平面交PA于D，交PB于E，交PC于F，若■=x■，■=y■，■=z■，问■+■+■是否为定值呢？
评注：把一些平面结论推广到空间，往往得到一些类似的结论，这是近年高考命题的新特点，它能考查学生的空间想象和合情推理能力。
九、创新意识
在参加足球比赛的12支足球队中有2支强队甲、乙。先任意将这12支足球队分成A、B两组，每组6支队进行比赛，问这2支强队分在同一个组的概率是多少？
■
解析：本题可按强队甲、乙在A组或在B组进行分类而求，但是若利用表格不但可以减少运算量，而且使解答更简捷直观。
12支足球队分成两组，每组6支队，看成6个空位（如图），强队甲先站在其中一组的一个空位上，不妨在第1组，这组还剩5个空位，这时强队乙在余下的11个空位上任选一个有11种选法，但是要与强队甲在同一组，只有5个空位可选，因此P=■.
评注：教师要在课堂教学中，常采用讨论式、启发式教学，让学生在讨论过程中进行思维的交流碰撞，从而有效地培养学生的创新意识。