人教版义务教育课程标准实验版教科书九年级上册第二十五章《概率初步》25.3用频率估计概率课后习题如下：投针实验：（1）在一个水平面上画一组间距为d=4cm的平行线，将一根长度为l=3cm的针任意投掷在这个平面上。针可能与某一直线相交，也可能与任一直线不想交。根据记录在下表中的投针实验，估计针与任一直线相交的概率。
　　（2）在投针试验中，如果间距d=4cm，针长l=3cm时，针与任一直线相交的概率为p，则当d不变，l减小时，概率p如何变化？当l不变，d减小时，概率p又如何变化？（在实验过程中始终保持l<d）
　　这道题的第一小问显然是个实验题，可以动手做实验，然后填表。第二小问其实也容易想到当d不变，l减小时，概率p减小;当l不变，d减小时，概率p增大。随着实验的次数加，m/n会越来越稳定于一个值。显然这个值就是本实验的概率p。这是道典型的用频率估计概率的实验，下面对此题进行更进一步的探讨。如右图所示：
　　假设l与直线恰好相交，此时l的中点到直线的距离设为x，l与直线相交的夹角为θ，显然x= sinθ，要想l与直线相交，则必有0≤θ≤π，且0≤x≤ sinθ。
　　下面求针与直线相交的概率，如下图所示：
　　这个问题就转化为B区域的面积与A区域的面积的比
　　故而由：p= = 可知：
　　 = 得到这一公式（ = ），
　　进而可以推出π= 。
　　这说明我们的投针实验可以求出圆周率π的近視值。我们知道我国早在南北朝著名的数学家祖冲之利用割圆术求得圆周率，但是从这道习题也能推出π的值，只要做的实验多一些，π的值就更加精确。
　　实际上利用概率实验求圆周率的例子不只有投针实验，很多概率实验都能推出π的值，例如课本实验与探究的一道题，为半径为1的圆及其外切正方形。随机地往正方形内投一把米，求出落在圆内的概率。
　　（1）填下表，求出概率p
　　落在圆内的米数（m） 落在正方形内的米（n） 频率（ ）
　　（2）要求出p可转化为求圆的面积与正方形的面积之比，
　　即 = = ，所以p= = ，
　　所以 = 故π= 。
　　这样利用这个实验也能求出π的值。当然为了提高对π的估计精度，撒的米粒要尽可能地多一些，这个实验改为等边三角形的内切圆也可以求出π的值。
　　课内时间利用率的高低直接关系到学生学习的效果，集中注意力认真听讲是学生在数学课上接受信息、吸取知识的最根本保证。
　　上课时，坐得稳，静心听老师讲课。学生听讲时要边听边想边记忆，抓住要点。不仅要认真听老师的讲解，还要认真听同学们的发言，并能听出别人发言中的问题。
　　会看：主要是培养学生的观察能力和观察习惯。教学中要提供充分的观察材料吸引学生看。教师的板书、演示等要准确，鲜明，能引起学生观察的兴趣。在课堂练习中要多设计一些能引起观察兴趣旨在训练观察能力的题目。
　　会想：这里的想就是会发现，会寻找规律，通过启发学生对数学问题的观察、分析、综合、抽象和概括，归纳出一般性结论，使知识达到条理化、系统化。我们教学中改变教师讲、学生听的方式，启发学生发散思维，积极探索。除了解模仿性题组外，还通过探索性、变式性、综合性、发现性、发展性等题组进行猜想的练习，形成“试算——归纳——猜想——论证”的学习模式。还应重视“一题多解”、“一题多变”、“一图多用”的教学，拓展学生的思路。通过引导学生发现规律，指导学生在数学学习中学会和运用“引出问题——形成猜想——演绎结论——知识运用”等科学思维方式，养成“发现”规律的科学思维习惯。
　　会说：语言是思维的结果，课堂上要学生尽量多说，就能促进学生多想;要会想，想得出，想得好，就得认真听，细心看。教师抓了会说，就能促进其它三会。因此要十分重视学生口答能力的培养和训练。
　　会记：上课做笔记并不是简单地将教师的板书进行抄写，而是要求学生对听课中得到的知识进行整理，它包括教师的思维方法和学生本人思考的过程和成果以及所存在的疑难。语言是思维的载体，做笔记的过程是语言操作过程，也是大脑积极思考的过程，能培养人的思维能力。做笔记还能使听课的注意力更加集中，课堂学习效率更高。教师可用课内督促、课外检查的办法培养学生这一习惯。其中还需要教师经常性地讲评和个别指导。学生持之以恒，就能习以为常。
　　可见，课本上的一些习题是值得去深入研究的，有时候我们会得到更多的惊喜。由此建议各位老师备课的时候要认真研究课后习题。