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【摘要】线性代数虽然是基础性课程，但因为其课程内容、定义、定理及公式等等都过于抽象，就要求授课教师要多多采用不同的切实有效的教学方法进行课堂教学.不同的思维方式的运用，在线性代数的教学中能收到不一样的效果，尤其是逆向思维能力的运用，能使学生对线性代数知识的理解更加深刻.本文着重阐释了逆向思维在线性代数教学中的重要性和培养方法.
【关键词】逆向思维；线性代数；矩阵；行列式；线性方程组
思维区别于客观物质，形成于人脑中，可以具体反映事物的本质和事物规律性.我们在日常的思维运用上，可以采用不同的思维技巧，其中有归纳思维、演绎思维、侧向思维、求异思维（也叫发散思维）、求证思维、横向思维、逆向思维、推理思维、交叉思维、跳跃思维、直觉思维等.而大多数的思维方式和技巧都可以运用到线性代数的学习和解题中.本文以逆向思维方式为例，谈谈逆向思维能力在线性代数的教学中如何应用.
一、线性代数及逆向思维定义
线性代数主要研究行列式、矩阵、线性变换、线性方程组和二次型.线性代数作为理工科的一门基础课程，日益受到重视.在当前大学理工科类的课程中，一般大一就会开设线性代数课程，其教学中一般采用类比思维、发散性思维、任务驱动性思维、归纳性思维及逆向思维等思维方法进行教学，经过实践的检验，不同的思维方式能使学生提高不同方面的能力，同时在教学效果上也是有一定差异性的.[1]
逆向思维，简单说，就是从事物的反面来思考问题，看看会得到什么样的结果.经过多年的教学实践，证明逆向思维在线性代数的教学中的作用不可小看，其有一定的教学意义.第一，逆向思维简单地理解，就是针对某一问题，逆向地对问题进行思考，这种独特的思维方式是数学研究的一个重要内容，其在数学研究和教学中都有着不可忽视的地位和作用，是数学教学，特别是高等数学教学不可缺少的教学内容之一.第二，经过多年的研究实践证明，逆向思维在高等数学，尤其是线性代数的教育中，对于学生逻辑思维能力以及学生解题思路都有很大的要求，逆向思维的应用能很好地满足学生对于逻辑思维能力和解题思路的需求，是学生进行学习和研究不可缺少的必备能力.第三，逆向思维是要求学生在正向思维后，根据已知条件求解后，在通过得到的结论反过来，往回推演，以检验自己的结论是否正确.这种思维方式，在对知识的理解和掌握上更加准确，基本概念更加简练，基本理论更加系统，基本方法更加实用，解题的思路更加清晰.[2]
二、逆向思维在线性代数课堂教学实践中的运用
（一）矩阵
矩阵是线性代数的重要知识点，其重要性表现在其贯穿整个线性代数的教学过程中，表明，矩阵是线性代数教学的重中之重.在矩阵知识点教学过程中，如果利用逆向思维教学思想，并以串珍珠项链的形式进行讲？？.“黑白珍珠项链”即相关知识点：矩阵不可逆、矩阵奇异、行列式为零、矩阵不满秩、矩阵的秩为矩阵的阶数、矩阵的列向量组线性无关、矩阵的行向量组线性无关、矩阵可以表示为初等矩阵的乘积、矩阵与单位矩阵等价、齐次线性方程组只有零解、非齐次线性方程组有唯一解、矩阵的任一特征值不为零.通过珍珠项链的形式，把相关知识点进行串联，把学过的知识点进行归纳，并通过举例来论证其在矩阵教学中的位置和作用，通过这样的教学方式，可以大大培养学生的逆向思维能力.
（二）向量组
向量是线性代数的一个重要内容，向量是特殊的矩阵，既然是矩阵就有矩阵的共性，但其也有其独特的性质，特别是在向量组的线性相关性上，对初学者来说，是最难理解的一个知识点之一.这主要是因为其抽象概念很多，没接触过的初学者看这些概念如读天书，而且，这些抽象概念間的互相关系复杂，定理也是很多，很难一下就记住理解.基于这个实际情况，在线性代数的教学中，大多数教师都通过借用逆向思维的教学方法，把向量组的相关性和无关性摆出来，对着讲解，并结合前面矩阵的可逆与否知识串联起来讲，能有效提高学生对相关概念理解的精准度.[3]
（三）线性方程组
线性方程组在线性代数的具体教学中，进行了相应的系统化和理论化的处理，并给出了线性方程组的多种完善的理论解法，如，克莱姆法则、高斯消元法、基础解系法等.在线性方程组的具体讲解中借用逆向思维的数学思想，把齐次线性方程组的基础解系理解为系数矩阵属于零特征值的特征向量问题，结合教学实际举例讲解，能达到方便求解的目的.
三、以实例阐释在线性代数教学中培养学生的逆向思维能力
（一）线性代数定义的可逆性，是线性代数知识的一个特点.对于初学者来说，难度都是非常的大.而在线性代数的解题中，定义法又是经常用到的解题法之一，由于线性代数定义的抽象特点，使得很多学生不习惯、不知道，甚至不会把定义进行逆向的思考，从而造成这种有效的解题思维方法被忽视.实际上，数学中的定义很多都是可逆的，其正确的解也是唯一的，重要的是逆向运用定义，会使解题更加简单明了.因此，在线性代数的教学中，教师要在授课过程中着重锻炼学生的逆向思维能力，这种不仅可以使学生对概念深刻理解，还能增强学生对数学的学习兴趣，从而扩展学生解题的方法，提高其解题的灵活性.例如，利用逆向伴随矩阵的定义求代数余子式.
（二）利用定义、公理的可逆性，培养学生的逆向思维能力.线性代数的定义非常抽象，但其可逆性也是可以运用的，而线性代数的定理、公式相对于定义，则通俗易懂、简单明了，其可逆性也是经常被运用，只是学生在解题习惯上习惯于正向运用定义、定理、公式.但一旦逆向运用会发现，解题变得轻松简单，而且会获得一种新的解题方式.
（三）线性代数是工程、理工科的基础学科，其中有些问题本身就是反问题，在实际的课堂教学中，教师可以利用这些反问题来好好培养学生的逆向思维能力.如，可逆矩阵的反问题、线性方程组的反问题、特征值特征向量的反问题等.
（四）通过反例来论证正向命题的正确性，也是培养学生逆向思维能力的一个好方法.数学这门学科本身就是奥妙多多、内涵深厚的学科，其中有的问题用不同的解法能得到意想不到的结果.而我们初高中学习的真命题、假命题的推论，就类似于逆向思维的解题方法.也就是说，把问题反过来进行思考推论，如果能推论出已知条件的存在，那么就证明解是正确的.如果要想证明这个命题是假的，只要反过来往回推论，而往回推的过程，只要能举出一个反例就可以了，也就是说要证明一个命题是真的，需要一些证明，而如果要说明这个命题是假的，只要能举出一个反例，就可以推翻这个命题的正确性.在线性代数的课堂教学中，教师可以通过引导学生构造反例，来证明原命题的真伪.而这种构造反例的论证方法就是逆向思维的运用，而且在构造反例过程中，可以调动学生所有的数学知识和经验，充分利用数学思维的各种思维技巧，也能在最大限度上充分发挥逆向思维在线性代数解题上的作用.[4] （五）反证法在线性代数解题中经常被使用，它是通过对已知条件进行某种假设，通过对这种假设的推论，得出与已知条件不符的结论，从而证明题设的对错.而这种思维方式正是逆向思维方式的运用，通过这样的解题过程，也能大大提高学生的逆向思维能力.数学中的反证法是逆向思维解题法中具有代表性的一种方法，通过对学生反证法论证题目的训练，让学生对命题的解从未知到已知，不仅学习到了新的解题方法，而且在一定程度上学生的逆向思维能力得到了培养和提高.
四、在线性代数教学中逆向思维能力培养的意义
（一）重视和培养学生的逆向思维能力，可以有效帮助学生更加深刻地理解线性代数的知识，可以帮助线性代数的初学者完善相关的知识链接和储备，最重要的是学生的解题灵活性和解题思路得到了拓宽.
（二）重视和培养学生的逆向思维能力，能在一定程度上简化线性代数某些问题的解题难度，对线性代数的初学者来说，不至于打击其对线性代数学习的积极性.同时，也可避免学生对线性代数学习的畏懼感，一切变得简单了，学习兴趣也上来了.
（三）重视和培养学生逆向思维能力，不仅仅能够在学习方面帮助到学生，而且逆向思维能力对于学生的思考方式也有一定的改善，辐射到其他学科的学习上，逆向思维能力的提升和逆向思维方式的运用，也可以对其他学科的学习起到一定的提升作用.
五、结束语
线性代数是高等院校理工科的基础课之一，它的重要性是不言而喻的，而学习线性代数的困难程度也是不容忽视的.线性代数课程内容本身的抽象性，定理、公式相互关系的复杂性等都是初学者面临的问题，如何突破这些内容抽象难懂所带来的困难，关键在于授课教师的授课方法.线性代数的教学，可以运用多种思维方式解决多种不同的问题，而逆向思维方式被认为是简单的，并最容易接受的解题思维方式.因此，在线性代数的教学中，对学生进行逆向思维方式的培养，成了授课教师的一个重要教学内容.现实生活中，学生在学习中，对于逆向思维的把握，对于学生的学习有很大的帮助，不仅提高了学生解题的速度，还扩展了学生的思路范围，这种能力辐射到学生的各学科的相应学习中，对学生的整体学习水平的提高都有一个极大的促进作用.
【参考文献】
[1]陈平炎.线性代数课程教学改革的探索与实践[J].高等教育，2012（5）：125-130.
[2]蓝月欢.数学教学中数学思想方法的渗透[J].中山大学学报论丛，2013（8）：67-70.
[3]李永乐.线性代数辅导讲义[M].西安：西安交通大学出版社，2015：166-170.
[4]任樟辉.数学思维理论[M].南宁：广西教育出版社，2014：216-217.
【关键词】逆向思维；线性代数；矩阵；行列式；线性方程组
思维区别于客观物质，形成于人脑中，可以具体反映事物的本质和事物规律性.我们在日常的思维运用上，可以采用不同的思维技巧，其中有归纳思维、演绎思维、侧向思维、求异思维（也叫发散思维）、求证思维、横向思维、逆向思维、推理思维、交叉思维、跳跃思维、直觉思维等.而大多数的思维方式和技巧都可以运用到线性代数的学习和解题中.本文以逆向思维方式为例，谈谈逆向思维能力在线性代数的教学中如何应用.
一、线性代数及逆向思维定义
线性代数主要研究行列式、矩阵、线性变换、线性方程组和二次型.线性代数作为理工科的一门基础课程，日益受到重视.在当前大学理工科类的课程中，一般大一就会开设线性代数课程，其教学中一般采用类比思维、发散性思维、任务驱动性思维、归纳性思维及逆向思维等思维方法进行教学，经过实践的检验，不同的思维方式能使学生提高不同方面的能力，同时在教学效果上也是有一定差异性的.[1]
逆向思维，简单说，就是从事物的反面来思考问题，看看会得到什么样的结果.经过多年的教学实践，证明逆向思维在线性代数的教学中的作用不可小看，其有一定的教学意义.第一，逆向思维简单地理解，就是针对某一问题，逆向地对问题进行思考，这种独特的思维方式是数学研究的一个重要内容，其在数学研究和教学中都有着不可忽视的地位和作用，是数学教学，特别是高等数学教学不可缺少的教学内容之一.第二，经过多年的研究实践证明，逆向思维在高等数学，尤其是线性代数的教育中，对于学生逻辑思维能力以及学生解题思路都有很大的要求，逆向思维的应用能很好地满足学生对于逻辑思维能力和解题思路的需求，是学生进行学习和研究不可缺少的必备能力.第三，逆向思维是要求学生在正向思维后，根据已知条件求解后，在通过得到的结论反过来，往回推演，以检验自己的结论是否正确.这种思维方式，在对知识的理解和掌握上更加准确，基本概念更加简练，基本理论更加系统，基本方法更加实用，解题的思路更加清晰.[2]
二、逆向思维在线性代数课堂教学实践中的运用
（一）矩阵
矩阵是线性代数的重要知识点，其重要性表现在其贯穿整个线性代数的教学过程中，表明，矩阵是线性代数教学的重中之重.在矩阵知识点教学过程中，如果利用逆向思维教学思想，并以串珍珠项链的形式进行讲？？.“黑白珍珠项链”即相关知识点：矩阵不可逆、矩阵奇异、行列式为零、矩阵不满秩、矩阵的秩为矩阵的阶数、矩阵的列向量组线性无关、矩阵的行向量组线性无关、矩阵可以表示为初等矩阵的乘积、矩阵与单位矩阵等价、齐次线性方程组只有零解、非齐次线性方程组有唯一解、矩阵的任一特征值不为零.通过珍珠项链的形式，把相关知识点进行串联，把学过的知识点进行归纳，并通过举例来论证其在矩阵教学中的位置和作用，通过这样的教学方式，可以大大培养学生的逆向思维能力.
（二）向量组
向量是线性代数的一个重要内容，向量是特殊的矩阵，既然是矩阵就有矩阵的共性，但其也有其独特的性质，特别是在向量组的线性相关性上，对初学者来说，是最难理解的一个知识点之一.这主要是因为其抽象概念很多，没接触过的初学者看这些概念如读天书，而且，这些抽象概念間的互相关系复杂，定理也是很多，很难一下就记住理解.基于这个实际情况，在线性代数的教学中，大多数教师都通过借用逆向思维的教学方法，把向量组的相关性和无关性摆出来，对着讲解，并结合前面矩阵的可逆与否知识串联起来讲，能有效提高学生对相关概念理解的精准度.[3]
（三）线性方程组
线性方程组在线性代数的具体教学中，进行了相应的系统化和理论化的处理，并给出了线性方程组的多种完善的理论解法，如，克莱姆法则、高斯消元法、基础解系法等.在线性方程组的具体讲解中借用逆向思维的数学思想，把齐次线性方程组的基础解系理解为系数矩阵属于零特征值的特征向量问题，结合教学实际举例讲解，能达到方便求解的目的.
三、以实例阐释在线性代数教学中培养学生的逆向思维能力
（一）线性代数定义的可逆性，是线性代数知识的一个特点.对于初学者来说，难度都是非常的大.而在线性代数的解题中，定义法又是经常用到的解题法之一，由于线性代数定义的抽象特点，使得很多学生不习惯、不知道，甚至不会把定义进行逆向的思考，从而造成这种有效的解题思维方法被忽视.实际上，数学中的定义很多都是可逆的，其正确的解也是唯一的，重要的是逆向运用定义，会使解题更加简单明了.因此，在线性代数的教学中，教师要在授课过程中着重锻炼学生的逆向思维能力，这种不仅可以使学生对概念深刻理解，还能增强学生对数学的学习兴趣，从而扩展学生解题的方法，提高其解题的灵活性.例如，利用逆向伴随矩阵的定义求代数余子式.
（二）利用定义、公理的可逆性，培养学生的逆向思维能力.线性代数的定义非常抽象，但其可逆性也是可以运用的，而线性代数的定理、公式相对于定义，则通俗易懂、简单明了，其可逆性也是经常被运用，只是学生在解题习惯上习惯于正向运用定义、定理、公式.但一旦逆向运用会发现，解题变得轻松简单，而且会获得一种新的解题方式.
（三）线性代数是工程、理工科的基础学科，其中有些问题本身就是反问题，在实际的课堂教学中，教师可以利用这些反问题来好好培养学生的逆向思维能力.如，可逆矩阵的反问题、线性方程组的反问题、特征值特征向量的反问题等.
（四）通过反例来论证正向命题的正确性，也是培养学生逆向思维能力的一个好方法.数学这门学科本身就是奥妙多多、内涵深厚的学科，其中有的问题用不同的解法能得到意想不到的结果.而我们初高中学习的真命题、假命题的推论，就类似于逆向思维的解题方法.也就是说，把问题反过来进行思考推论，如果能推论出已知条件的存在，那么就证明解是正确的.如果要想证明这个命题是假的，只要反过来往回推论，而往回推的过程，只要能举出一个反例就可以了，也就是说要证明一个命题是真的，需要一些证明，而如果要说明这个命题是假的，只要能举出一个反例，就可以推翻这个命题的正确性.在线性代数的课堂教学中，教师可以通过引导学生构造反例，来证明原命题的真伪.而这种构造反例的论证方法就是逆向思维的运用，而且在构造反例过程中，可以调动学生所有的数学知识和经验，充分利用数学思维的各种思维技巧，也能在最大限度上充分发挥逆向思维在线性代数解题上的作用.[4] （五）反证法在线性代数解题中经常被使用，它是通过对已知条件进行某种假设，通过对这种假设的推论，得出与已知条件不符的结论，从而证明题设的对错.而这种思维方式正是逆向思维方式的运用，通过这样的解题过程，也能大大提高学生的逆向思维能力.数学中的反证法是逆向思维解题法中具有代表性的一种方法，通过对学生反证法论证题目的训练，让学生对命题的解从未知到已知，不仅学习到了新的解题方法，而且在一定程度上学生的逆向思维能力得到了培养和提高.
四、在线性代数教学中逆向思维能力培养的意义
（一）重视和培养学生的逆向思维能力，可以有效帮助学生更加深刻地理解线性代数的知识，可以帮助线性代数的初学者完善相关的知识链接和储备，最重要的是学生的解题灵活性和解题思路得到了拓宽.
（二）重视和培养学生的逆向思维能力，能在一定程度上简化线性代数某些问题的解题难度，对线性代数的初学者来说，不至于打击其对线性代数学习的积极性.同时，也可避免学生对线性代数学习的畏懼感，一切变得简单了，学习兴趣也上来了.
（三）重视和培养学生逆向思维能力，不仅仅能够在学习方面帮助到学生，而且逆向思维能力对于学生的思考方式也有一定的改善，辐射到其他学科的学习上，逆向思维能力的提升和逆向思维方式的运用，也可以对其他学科的学习起到一定的提升作用.
五、结束语
线性代数是高等院校理工科的基础课之一，它的重要性是不言而喻的，而学习线性代数的困难程度也是不容忽视的.线性代数课程内容本身的抽象性，定理、公式相互关系的复杂性等都是初学者面临的问题，如何突破这些内容抽象难懂所带来的困难，关键在于授课教师的授课方法.线性代数的教学，可以运用多种思维方式解决多种不同的问题，而逆向思维方式被认为是简单的，并最容易接受的解题思维方式.因此，在线性代数的教学中，对学生进行逆向思维方式的培养，成了授课教师的一个重要教学内容.现实生活中，学生在学习中，对于逆向思维的把握，对于学生的学习有很大的帮助，不仅提高了学生解题的速度，还扩展了学生的思路范围，这种能力辐射到学生的各学科的相应学习中，对学生的整体学习水平的提高都有一个极大的促进作用.
【参考文献】
[1]陈平炎.线性代数课程教学改革的探索与实践[J].高等教育，2012（5）：125-130.
[2]蓝月欢.数学教学中数学思想方法的渗透[J].中山大学学报论丛，2013（8）：67-70.
[3]李永乐.线性代数辅导讲义[M].西安：西安交通大学出版社，2015：166-170.
[4]任樟辉.数学思维理论[M].南宁：广西教育出版社，2014：216-217.