论文部分内容阅读
数学直觉思维是对抽象的数学对象的一种直接领悟和洞察,是在具备一定的数学素养和数学知识积累过程中形成的一种思维能力,它有着直接性、快速性、跳跃性、个体性、坚信感、偶然性、非逻辑性、创造性、或然性等特点.我认为数学课堂教学不但离不开学生数学直觉思维的培养,而且更需要用好数学直觉思维去解决数学问题,这样才会使课堂教学更显效.为此,笔者在教学实践中,对数学直觉思维的运用作了些探索.
一、数学美感,激发直觉思维动力,数学课堂兴趣盎然
数学直觉的本质就是某种“美的意识”或“美感”.数学美充满了整个数学领域,而这些数学美是引起数学直觉的动力,是产生数学直觉的重要条件.我们在教学实践中应充分展现数学美、挖掘数学美或创造数学美,引导学生按照美的规律去想象、去判断.
例1已知函数f(x)=,那么f (1)+ f (2)+ f ()+ f (3)+ f ()+ f (4)+ f ()=.
分析:本题如果逐个代入求值,显然比较麻烦且费时较多,但如果凭直觉发现,本题有着和谐的对称美,且2×=3×=4×=1,就会意识到采取自变量的互补配对策略,f (2)+ f ()、 f (3)+ f ()、 f (4)+ f ()的结果应该相同.
由 f (2)=, f ()= f (2)+ f ()=1,计算并发现一般规律f (x)+ f ()=1,从而得出答案是3.
数学中有很多问题有着和谐的对称美,解题时若能挖掘与利用这种关系,往往会有意想不到的收获.在解某些数学问题时,针对其中的式子f (x)的特点,为其配凑一个合适的式子 f (),使得由f (x)和 f ()之间的运算产生一些有用的关系式,往往能促使问题向有利的方向转化,进而解决问题.
二、数形合璧,诱导直觉思维动机,数学解题如虎添翼
纵观多年数学高考试题,巧妙运用数形结合的思维方法解决一些抽象的数学问题,有着事半功倍的效果.由数思形,由数想形,利用图形的直观诱发直觉,对培养学生的数学直觉思维非常有帮助.提高了数形直观思维能力,学生在解答有关数或形的数学问题时就如虎添翼.
1. 数变形,眼中有数,心中有图
在学习数学抽象的概念时,若把它的属性用恰当的图形加以展示,相信会给学生带来直观、形象和清晰的视觉冲击,从而使学生的直觉思维能力得以提升和发挥.
例2如果实数x和y满足方程(x-2)2+y2=2,求的最大值.
分析:从整体上观察题设中的方程和所求式,可以发现:已知圆的方程,求几何意义为斜率的代数式的最大值.凭直觉可知,相切时取最大值.
不妨设点A(x,y)在圆(x-2)2+y2=2上,圆心为C(2,0),半径等于(如图1),则是点A与原点连线的斜率.当OA与⊙C相切,且切点A落在第一象限时,kOA有最大值,即有最大值.
因为CA=,OC=2,所以OA==.
所以()max=tan∠AOC=1.
在学习数学时,学生如果能做到眼中是数,心中有图形,那么必然会在观察图形的过程中增强学生的想象力,促使学生产生接近于实际的直觉猜想,提高直觉感知能力.在解题时,构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法,而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点.
2. 形化数,眼中有图,心中有数
在平面几何和空间几何中,我们也常常在“觅数”中找到捷径,即在观察图形时,既要定性也要定量.换言之,借助图形来完成某些题时,仅画图示“意”是不够的,还必须反映出图形中的数量关系.
例3圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有几个?
分析:由平面几何知,到定直线l:x+y+1=0的距离为的点的轨迹是平行l的两条直线.因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数.将圆方程变形为:(x+1)2+(y+2)2=8,知其圆心是C(-1,-2),半径r=2,而圆心到定直线l的距离为,由此判定平行于直线l且距离为的两条直线中,一条通过圆心C,另一条与圆C相切,所以这两条直线与圆C共有3个公共点(如右图2).
可见,数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,联想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.
三、经验积累,丰富直觉思维源泉,数学课堂百花齐放
数学直觉思维是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断,尽管有偶然性的特点,但并不是凭空臆想的,而是依靠过去的知识经验以及对有关知识本质的认识,从而从整体上把握问题的实质,进而分析问题,解决问题.因此,学生对数学知识的经验积累是培养直觉思维能力的基础.在日常教学中,我们不难发现,成绩好的学生在解数学题时,知道题意和条件后,解题思路马上在他们的脑海中涌现.为什么这些学生思维如此敏捷呢?原因是因为他们大脑中积累了比一般学生更多的知识,故快速反应的数学直觉就应运而生.
在教学直线与圆锥曲线的问题时,我举了一道常见的例题:
例4设直线l:y=kx-1与双曲线x2-3y2=1交于A,B两点,以AB为直径的圆恰好过原点,求k的值.
分析:通过对问题的分析后,很多学生马上想到OA⊥OB,这一初中知识为解此题提供了直觉的源泉,紧接着学生的思维便活跃起来,顺理成章地便设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=0.这一形式的出现使学生意识到,只需将直线方程和双曲线方程联立成方程组,消去y和x再运用韦达定理代入上式即可.仔细观察又可以转化为:y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1,所以只需消去y,由上可以得到关于k的方程,从而解出k的值.
量的积累是质的飞跃的前提,丰富的数学知识的积累是产生直觉思维的源泉,没有对圆的性质等相关知识的正确把握,则不可能有此题的直觉判断.
四、鼓励猜想,培养直觉思维信心,数学课堂充满创新
直觉思维是一种瞬间思维,它是逻辑的凝结、简缩和跃进,而其过程往往是不清晰的,但将这些思维环节展开时,可以看到不少是发散思维、类比、归纳和联想的结果,因此教学中要全面介绍形象思维、逻辑思维和直觉思维,使学生能从整体上把握问题.
例5在一次数学测试后,一位学生对一道求值题的解答引起了在场几位教师的争论.
函数f (x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f (xy)= f (x)+ f (y),f (4)=1.
(1)求f (16)的值; (2)证明:f (xn)=nf (x)(n∈N+).
解:看到f (xy)= f (x)+ f (y),凭直觉马上想到了f (x)=logax,而f (4)=1,所以,f (16)=log416=2,f (xn)=log4 xn=nlog4 x=nf(x).
教师甲:该同学采用投机取巧的办法,没有采用赋值法的步骤来求解,考查不出该生对用赋值法求解抽象函数问题的掌握情况,因此不能给分,否则会造成不良后果.
教师乙:虽然该学生没有采用赋值法的步骤来解题,但毕竟看出了抽象函数所对应的一个具体函数,因此可以给一定的分数,给予鼓励.
教师丙:该生解法过程完整,应给满分.
教师甲:禁止采用投机取巧,强调按课本要求的格式完成.
教师乙:鼓励按照采用赋值法的步骤来解题的同时,适当观察抽象函数对应的函数模型,最后应按照课本要求完成解题格式.
教师丙:强调直觉,只要能把问题解决并且理由充足即可.
教学中,教师没有必要强迫学生的思考方式、表达形式一定要如自己所想.相反,应该把直觉思维在课堂中明确地提出,制定相应的活动策略.当遇到学生的奇思妙想时,不要轻易地说“不”,对于学生的大胆设想应给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,也许只有这样,才能呵护他们可贵的直觉思维,才会让我们的学生在获得知识的同时,变得更聪明.
“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话,其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽,只不过我们大家没有把它上升为一种思维观念.我们应该把直觉思维冠冕堂皇地在课堂教学中明确的提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征.
五、善于反思,弥补直觉思维“漏洞”,数学教学更加严谨
数学是一门严谨的学科.直觉是一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力,学生的数学直觉思维由于受心理因素和认知水平的限制而时常产生错误,因此养成反思的习惯,可以弥补学生思维的漏洞.
例6已知x+y=1,求证:xn+yn≥(n∈N+).
分析:看到本题学生会凭直觉毫不犹豫地想到数学归纳法.方法虽不错,但似乎缺少点什么.深入分析已知条件会有如下巧解:
设x=+t,y=-t,则有xn+yn=(+t)n+(-t)n=2[C 0n()n+C 2n()n-2t2+…]≥(n∈N+)
本题如果停留在经验的基础上不深入发现已知条件的特征,就得不到上述美妙的证法.
在解决数学问题的过程中,逻辑思维与直觉思维是相互补充、相互作用的,偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展,在数学教学中,培养学生辩证运用逻辑思维与直觉思维的自觉意识,是发展数学思维能力的一个重要方面.
直觉存在于逻辑方法运用过程的整体或局部.通常在我们接触问题之后,首先就有一个依靠直觉判断选择策略、制定计划的阶段,然后才能动用逻辑思维进行逻辑推理和集中思维以使认识逐步深入.而在局部的前进过程中思维受阻后,则仍需依靠直觉思维去重新探索、猜测和想象,使思维发散直至找到新的正确思路.在这个过程中,就主要倾向而言,直觉思维是数学发现的重要方法,而逻辑思维则是解决问题的基本方法.因此,在具体的数学思维过程中,我们应加强这两种思维方式辩证运用的自觉意识,特别是要重视直觉思维在解决问题时的指引方向和调整思路的重要作用.
责任编辑罗峰
一、数学美感,激发直觉思维动力,数学课堂兴趣盎然
数学直觉的本质就是某种“美的意识”或“美感”.数学美充满了整个数学领域,而这些数学美是引起数学直觉的动力,是产生数学直觉的重要条件.我们在教学实践中应充分展现数学美、挖掘数学美或创造数学美,引导学生按照美的规律去想象、去判断.
例1已知函数f(x)=,那么f (1)+ f (2)+ f ()+ f (3)+ f ()+ f (4)+ f ()=.
分析:本题如果逐个代入求值,显然比较麻烦且费时较多,但如果凭直觉发现,本题有着和谐的对称美,且2×=3×=4×=1,就会意识到采取自变量的互补配对策略,f (2)+ f ()、 f (3)+ f ()、 f (4)+ f ()的结果应该相同.
由 f (2)=, f ()= f (2)+ f ()=1,计算并发现一般规律f (x)+ f ()=1,从而得出答案是3.
数学中有很多问题有着和谐的对称美,解题时若能挖掘与利用这种关系,往往会有意想不到的收获.在解某些数学问题时,针对其中的式子f (x)的特点,为其配凑一个合适的式子 f (),使得由f (x)和 f ()之间的运算产生一些有用的关系式,往往能促使问题向有利的方向转化,进而解决问题.
二、数形合璧,诱导直觉思维动机,数学解题如虎添翼
纵观多年数学高考试题,巧妙运用数形结合的思维方法解决一些抽象的数学问题,有着事半功倍的效果.由数思形,由数想形,利用图形的直观诱发直觉,对培养学生的数学直觉思维非常有帮助.提高了数形直观思维能力,学生在解答有关数或形的数学问题时就如虎添翼.
1. 数变形,眼中有数,心中有图
在学习数学抽象的概念时,若把它的属性用恰当的图形加以展示,相信会给学生带来直观、形象和清晰的视觉冲击,从而使学生的直觉思维能力得以提升和发挥.
例2如果实数x和y满足方程(x-2)2+y2=2,求的最大值.
分析:从整体上观察题设中的方程和所求式,可以发现:已知圆的方程,求几何意义为斜率的代数式的最大值.凭直觉可知,相切时取最大值.
不妨设点A(x,y)在圆(x-2)2+y2=2上,圆心为C(2,0),半径等于(如图1),则是点A与原点连线的斜率.当OA与⊙C相切,且切点A落在第一象限时,kOA有最大值,即有最大值.
因为CA=,OC=2,所以OA==.
所以()max=tan∠AOC=1.
在学习数学时,学生如果能做到眼中是数,心中有图形,那么必然会在观察图形的过程中增强学生的想象力,促使学生产生接近于实际的直觉猜想,提高直觉感知能力.在解题时,构造出恰当的几何图形常常能得出令人拍案称奇的巧妙解法,而且数形结合也是诱导学生数学直觉思维动机的一个极好的切入点.
2. 形化数,眼中有图,心中有数
在平面几何和空间几何中,我们也常常在“觅数”中找到捷径,即在观察图形时,既要定性也要定量.换言之,借助图形来完成某些题时,仅画图示“意”是不够的,还必须反映出图形中的数量关系.
例3圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有几个?
分析:由平面几何知,到定直线l:x+y+1=0的距离为的点的轨迹是平行l的两条直线.因此问题就转化为判定这两条直线与已知圆的交点个数.将圆方程变形为:(x+1)2+(y+2)2=8,知其圆心是C(-1,-2),半径r=2,而圆心到定直线l的距离为,由此判定平行于直线l且距离为的两条直线中,一条通过圆心C,另一条与圆C相切,所以这两条直线与圆C共有3个公共点(如右图2).
可见,数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,联想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.
三、经验积累,丰富直觉思维源泉,数学课堂百花齐放
数学直觉思维是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断,尽管有偶然性的特点,但并不是凭空臆想的,而是依靠过去的知识经验以及对有关知识本质的认识,从而从整体上把握问题的实质,进而分析问题,解决问题.因此,学生对数学知识的经验积累是培养直觉思维能力的基础.在日常教学中,我们不难发现,成绩好的学生在解数学题时,知道题意和条件后,解题思路马上在他们的脑海中涌现.为什么这些学生思维如此敏捷呢?原因是因为他们大脑中积累了比一般学生更多的知识,故快速反应的数学直觉就应运而生.
在教学直线与圆锥曲线的问题时,我举了一道常见的例题:
例4设直线l:y=kx-1与双曲线x2-3y2=1交于A,B两点,以AB为直径的圆恰好过原点,求k的值.
分析:通过对问题的分析后,很多学生马上想到OA⊥OB,这一初中知识为解此题提供了直觉的源泉,紧接着学生的思维便活跃起来,顺理成章地便设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=0.这一形式的出现使学生意识到,只需将直线方程和双曲线方程联立成方程组,消去y和x再运用韦达定理代入上式即可.仔细观察又可以转化为:y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1,所以只需消去y,由上可以得到关于k的方程,从而解出k的值.
量的积累是质的飞跃的前提,丰富的数学知识的积累是产生直觉思维的源泉,没有对圆的性质等相关知识的正确把握,则不可能有此题的直觉判断.
四、鼓励猜想,培养直觉思维信心,数学课堂充满创新
直觉思维是一种瞬间思维,它是逻辑的凝结、简缩和跃进,而其过程往往是不清晰的,但将这些思维环节展开时,可以看到不少是发散思维、类比、归纳和联想的结果,因此教学中要全面介绍形象思维、逻辑思维和直觉思维,使学生能从整体上把握问题.
例5在一次数学测试后,一位学生对一道求值题的解答引起了在场几位教师的争论.
函数f (x)是定义在(0,+∞)上的单调函数,且f (xy)= f (x)+ f (y),f (4)=1.
(1)求f (16)的值; (2)证明:f (xn)=nf (x)(n∈N+).
解:看到f (xy)= f (x)+ f (y),凭直觉马上想到了f (x)=logax,而f (4)=1,所以,f (16)=log416=2,f (xn)=log4 xn=nlog4 x=nf(x).
教师甲:该同学采用投机取巧的办法,没有采用赋值法的步骤来求解,考查不出该生对用赋值法求解抽象函数问题的掌握情况,因此不能给分,否则会造成不良后果.
教师乙:虽然该学生没有采用赋值法的步骤来解题,但毕竟看出了抽象函数所对应的一个具体函数,因此可以给一定的分数,给予鼓励.
教师丙:该生解法过程完整,应给满分.
教师甲:禁止采用投机取巧,强调按课本要求的格式完成.
教师乙:鼓励按照采用赋值法的步骤来解题的同时,适当观察抽象函数对应的函数模型,最后应按照课本要求完成解题格式.
教师丙:强调直觉,只要能把问题解决并且理由充足即可.
教学中,教师没有必要强迫学生的思考方式、表达形式一定要如自己所想.相反,应该把直觉思维在课堂中明确地提出,制定相应的活动策略.当遇到学生的奇思妙想时,不要轻易地说“不”,对于学生的大胆设想应给予充分肯定,对其合理成分及时给予鼓励,爱护、扶植学生的自发性直觉思维,也许只有这样,才能呵护他们可贵的直觉思维,才会让我们的学生在获得知识的同时,变得更聪明.
“跟着感觉走”是教师经常讲的一句话,其实这句话里已蕴涵着直觉思维的萌芽,只不过我们大家没有把它上升为一种思维观念.我们应该把直觉思维冠冕堂皇地在课堂教学中明确的提出,制定相应的活动策略,从整体上分析问题的特征.
五、善于反思,弥补直觉思维“漏洞”,数学教学更加严谨
数学是一门严谨的学科.直觉是一种不经过分析、推理的认识过程而直接快速地进行判断的认识能力,学生的数学直觉思维由于受心理因素和认知水平的限制而时常产生错误,因此养成反思的习惯,可以弥补学生思维的漏洞.
例6已知x+y=1,求证:xn+yn≥(n∈N+).
分析:看到本题学生会凭直觉毫不犹豫地想到数学归纳法.方法虽不错,但似乎缺少点什么.深入分析已知条件会有如下巧解:
设x=+t,y=-t,则有xn+yn=(+t)n+(-t)n=2[C 0n()n+C 2n()n-2t2+…]≥(n∈N+)
本题如果停留在经验的基础上不深入发现已知条件的特征,就得不到上述美妙的证法.
在解决数学问题的过程中,逻辑思维与直觉思维是相互补充、相互作用的,偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展,在数学教学中,培养学生辩证运用逻辑思维与直觉思维的自觉意识,是发展数学思维能力的一个重要方面.
直觉存在于逻辑方法运用过程的整体或局部.通常在我们接触问题之后,首先就有一个依靠直觉判断选择策略、制定计划的阶段,然后才能动用逻辑思维进行逻辑推理和集中思维以使认识逐步深入.而在局部的前进过程中思维受阻后,则仍需依靠直觉思维去重新探索、猜测和想象,使思维发散直至找到新的正确思路.在这个过程中,就主要倾向而言,直觉思维是数学发现的重要方法,而逻辑思维则是解决问题的基本方法.因此,在具体的数学思维过程中,我们应加强这两种思维方式辩证运用的自觉意识,特别是要重视直觉思维在解决问题时的指引方向和调整思路的重要作用.
责任编辑罗峰