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【摘要】函数以变化为主线,呈现出独特的美.笔者从一元函数的角度出发,探讨由函数本身以及其延展出的极限、导数、微分、不定积分、定积分在变化的各个维度进行诠释时所释放出的美.本文为函数正名,为微积分的教学提供了精神上的支持.
【关键词】函数;美;变化
对很多人来说,函数的概念,是晦涩难懂的.这主要是因为它把人的思维上升到了一个新的台阶.函数应属高等教育范畴,是有别于初等函数的思维产物.作个比喻,两个人在一起交谈,对于这一现象,初等数学关注的是这两个人的独立个体——他们是做什么的?他们的家庭情况怎么样?年龄、性别、身材、体型怎么样?家里是哪里的?他们谈话的内容是什么?是这些显而易见的东西.而高等数学关注的则是他们之间的关系——为什么要在这里谈?是谁促成了他们之间的谈话?为什么要选择这个话题谈话?这次交谈会对他们自身,还有别人产生什么样的影响?初等数学关注的对象是看得到、摸得着的东西,高等数学研究的对象是与人们感受到的关系、影响之类的抽象东西有关.正因为如此,很多人刚接触函数时,无法从固有的思维模式摆脱出来,对函数的学习会产生很大的抵触情绪,会觉得函数这一概念纯粹是形而上的无病呻吟,学习、研究它纯粹是浪费生命、浪费资源.殊不知,函数之美是不可估量的,它所产生的能量也是无穷的.
众所周知,(一元)函数代表的是两个变量之间的对应关系.笔者认为,这种对应关系是从实际生活中提炼出来的.人与人之间,乃至宇宙万物都存在这千丝万缕的联系,正如“生物链”一样,这种联系、关系对于我们来说都非常重要,揭示出这种关系对我们看清问题的本质、分析问题、解决问题是至关重要的.而函数作为这种至关重要的抽象的数学语言形态,它用简洁的字母、数字、等号揭秘了那存在于工业、农业、服务业等各行各业中的让我们苦苦寻觅的实际存在的关系,为各个学科的发展作出了重要贡献,直接体现了数学的简洁美.
函数之美还体现在它那完美无瑕的解析式与函数图像的匹配.函数的解析式与图像之间的完美结合让我们着迷.一个解析式就对应一个独一无二的图像,一张图像又对应一个独一无二的解析式.这种特性让我们执着去追求两者之间的相互转化和对应.由函数解析式运算得出的f(x)与f(-x)的关系,可以得出函数的奇偶性.而f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)所对应的奇偶性可以直接表现在图像上的对称上来,f(-x)=f(x)与“图像关于y轴对称”相对应,f(-x)=-f(x)与“图像关于原点对称”相对应.两者之间的契合达到的完美程度让我们惊叹.
而两者之间的转化,蹭出多少火花来,又生出多少惊天动地的大事件来.极限作为函数研究的一个产物,如果仅从那晦涩的定义出发,是没有办法深深抓住人们的心的,微积分的研究和运算,对数学家和数学教师来说也没可能是顺畅的.因为那严格的证明就已经让人望而却步.幸而有图像的存在.因为有图像,人们能够感受到极限的存在.人们相信,那个唯一确定的极限值是存在的,人们更能够轻松找出那个极限值.譬如对于y=arctanx,当x无限增加时,我们从那关于原点对称的图像上,可以清晰地看出图像的走势.极限的美妙在于,我们从图像观察出来的和我们严格用文字、符号证明出来的完全一致.数学的严谨性由此可见一斑.
函数实质上是变量与变量之间的一种对应关系,依靠这种关系,它又生出多少美妙的子孙,这些子孙因自己独特的能力为人类解决了许多实际问题.对函数发展趋势的研究,使人们得出了极限的概念.极限以其身体的敏捷、轻盈和魅力无穷,把人们的思维、视野又引向了一个更加广阔的天地.从静态向动态的转变,是函数的一大突破,极限穿越了时空,把人类研究的视角转变过来.人们早已关注到变化的存在,早已想伸进变化去进行研究,但是长时间以来,一直无从下手.函数是以简洁的装扮和丰富的内涵,把人们带进了变化的领域,凡是不喜欢变化,害怕变化的人,都没办法接受函数,而把函数看作是一个怪物,函数本身蕴含的多种可能性,为研究变化提供了沃土.极限是个很好的产物,极限同时又成为研究变化的一个非常重要的工具.导数、定积分这些概念都是极限的子孙,这些子孙又成为人类研究世界、解决变化难题的工具.这些完全都基于极限的美轮美奂.极限与“无限接近”这种似乎具有数学特色的词语联系在一起,更具有了神秘性.就像人和人之间的关系,虽然看不见,但却实际存在一样.极限也是一种不能看到,但却能实际掌握的一种东西.极限之美,是一种中庸之道的美.极限渗透着人生的哲理,为人们抓住变化提供了一个非常重要的工具.以函数为研究对象的微积分就是以极限为工具进行研究的.
事物的变化总有一定的品质,譬如它的稳定性、它的变化率等.导数正是反映了事物变化的速率问题.y随x变化而变化的瞬时变化率,即是导数,它的产生源于实际问题,应用于实际问题,却又高于实际问题.初等数学只能研究匀速问题,而对变速问题的精确研究,还必须依靠高等数学的导数.没有试图包囊一切,只想要完美的契合.那种精神,只有数学才有.而在导数概念的研究过程中,数形结合、以形推动数的理解的贯彻更是彻底.导数的几何意义让人更加笃信这一点.增量Δx的给出,使得自变量x从x0变到x0 Δx,自变量的变化导致因变量y从f(x0)变到f(x0 Δx),因变量的增量Δy应运而生.对应的图像上面的点从M0变化到M.当|Δx|逐渐变小时,变化紧随其后.Δx、Δy逐渐发生变化.M点逐渐向M0点滑动,直线MM0的倾斜角逐渐减小(假设倾斜角为锐角时).这一切的一切,最终促成了作为数的ΔyΔx与作为形的直线MM0斜率的契合,而这一契合最终有了perfect ending,极限的介入使得变化最终定格于那一条确定直线,即割线的极限位置切线的斜率.无法言喻的美,值得我们喝彩的美,函数缔造的变化的王国在此得到了精彩的体现.变即是不变,不变即是变——对于函数来说,这恐怕是其意义最好的诠释了.
复合函数作为函数中最具特色的存在,对它的形式的剖析,对于其求导有着与生俱来的本事.复合函数可以比作是由层层叠叠包裹起来的洋葱,要想看透它,必须剥掉一层,再剥一层,直到不能再剥为止.每一层函数都是基本初等函数或简单函数.复合函数的求导法则严格契合复合函数的层叠特征,由内而外,层层求导,每求一层导,就像给里面点亮了一盏灯,逐渐呈现在我们面前,层层推进,直到看到真正的光明(指导数).这种过程就是我们人生的生活成长的过程.人活着其实也不过如此.
微分的概念更是奇妙,微分的概念来源于实际问题中对函数改变量的近似计算,但它却与函数的导数有着不解之缘.微分公式dy=AΔx中那个不依赖于Δx的常数A最后竟是一个导数值.当dy=AΔx最后归结为dy=f′(x)Δx,并得出dydx=f′(x)时,这种契合就更加绝妙了.
洛必达法则作为导数应用的一个重要方面,把导数与其源头极限联系起来,来源于极限,最后又用于极限,这从根本上符合了研究工作的精髓.
变化中求生存,这是微积分的根本.变速直线运动瞬时变化率的求解最终在导数那里找到了答案;而逆向思维形成了另一问题:变速直线运动的路程,又促成了定积分概念的形成.数学分析的基本方法,从量的方面研究事物运动变化,在这里得到集中体现.定积分的求法又促成了不定积分概念的形成.牛顿—莱布尼茨公式的诞生使得原函数成了求解定积分的关键.而已知导数或微分求原函数,正是微分学的逆问题.逆向思维实质上是人类思维的飞跃.思维飞跃的结果使数学历史上出现了很多奇迹.求导公式反转为基本积分表,复合函数的求导法则变身为凑微分法,函数乘积的微分公式变身为分部积分法.变身促成了函数史上的大革命,微分变积分,微分积分自此不分家.思维的飞跃同时成就了实际问题的解决.
函数的痴在于变,变中求生存,人类的生存又怎知不是如此?因为变,函数凸显出极具生命力的美.
【关键词】函数;美;变化
对很多人来说,函数的概念,是晦涩难懂的.这主要是因为它把人的思维上升到了一个新的台阶.函数应属高等教育范畴,是有别于初等函数的思维产物.作个比喻,两个人在一起交谈,对于这一现象,初等数学关注的是这两个人的独立个体——他们是做什么的?他们的家庭情况怎么样?年龄、性别、身材、体型怎么样?家里是哪里的?他们谈话的内容是什么?是这些显而易见的东西.而高等数学关注的则是他们之间的关系——为什么要在这里谈?是谁促成了他们之间的谈话?为什么要选择这个话题谈话?这次交谈会对他们自身,还有别人产生什么样的影响?初等数学关注的对象是看得到、摸得着的东西,高等数学研究的对象是与人们感受到的关系、影响之类的抽象东西有关.正因为如此,很多人刚接触函数时,无法从固有的思维模式摆脱出来,对函数的学习会产生很大的抵触情绪,会觉得函数这一概念纯粹是形而上的无病呻吟,学习、研究它纯粹是浪费生命、浪费资源.殊不知,函数之美是不可估量的,它所产生的能量也是无穷的.
众所周知,(一元)函数代表的是两个变量之间的对应关系.笔者认为,这种对应关系是从实际生活中提炼出来的.人与人之间,乃至宇宙万物都存在这千丝万缕的联系,正如“生物链”一样,这种联系、关系对于我们来说都非常重要,揭示出这种关系对我们看清问题的本质、分析问题、解决问题是至关重要的.而函数作为这种至关重要的抽象的数学语言形态,它用简洁的字母、数字、等号揭秘了那存在于工业、农业、服务业等各行各业中的让我们苦苦寻觅的实际存在的关系,为各个学科的发展作出了重要贡献,直接体现了数学的简洁美.
函数之美还体现在它那完美无瑕的解析式与函数图像的匹配.函数的解析式与图像之间的完美结合让我们着迷.一个解析式就对应一个独一无二的图像,一张图像又对应一个独一无二的解析式.这种特性让我们执着去追求两者之间的相互转化和对应.由函数解析式运算得出的f(x)与f(-x)的关系,可以得出函数的奇偶性.而f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)所对应的奇偶性可以直接表现在图像上的对称上来,f(-x)=f(x)与“图像关于y轴对称”相对应,f(-x)=-f(x)与“图像关于原点对称”相对应.两者之间的契合达到的完美程度让我们惊叹.
而两者之间的转化,蹭出多少火花来,又生出多少惊天动地的大事件来.极限作为函数研究的一个产物,如果仅从那晦涩的定义出发,是没有办法深深抓住人们的心的,微积分的研究和运算,对数学家和数学教师来说也没可能是顺畅的.因为那严格的证明就已经让人望而却步.幸而有图像的存在.因为有图像,人们能够感受到极限的存在.人们相信,那个唯一确定的极限值是存在的,人们更能够轻松找出那个极限值.譬如对于y=arctanx,当x无限增加时,我们从那关于原点对称的图像上,可以清晰地看出图像的走势.极限的美妙在于,我们从图像观察出来的和我们严格用文字、符号证明出来的完全一致.数学的严谨性由此可见一斑.
函数实质上是变量与变量之间的一种对应关系,依靠这种关系,它又生出多少美妙的子孙,这些子孙因自己独特的能力为人类解决了许多实际问题.对函数发展趋势的研究,使人们得出了极限的概念.极限以其身体的敏捷、轻盈和魅力无穷,把人们的思维、视野又引向了一个更加广阔的天地.从静态向动态的转变,是函数的一大突破,极限穿越了时空,把人类研究的视角转变过来.人们早已关注到变化的存在,早已想伸进变化去进行研究,但是长时间以来,一直无从下手.函数是以简洁的装扮和丰富的内涵,把人们带进了变化的领域,凡是不喜欢变化,害怕变化的人,都没办法接受函数,而把函数看作是一个怪物,函数本身蕴含的多种可能性,为研究变化提供了沃土.极限是个很好的产物,极限同时又成为研究变化的一个非常重要的工具.导数、定积分这些概念都是极限的子孙,这些子孙又成为人类研究世界、解决变化难题的工具.这些完全都基于极限的美轮美奂.极限与“无限接近”这种似乎具有数学特色的词语联系在一起,更具有了神秘性.就像人和人之间的关系,虽然看不见,但却实际存在一样.极限也是一种不能看到,但却能实际掌握的一种东西.极限之美,是一种中庸之道的美.极限渗透着人生的哲理,为人们抓住变化提供了一个非常重要的工具.以函数为研究对象的微积分就是以极限为工具进行研究的.
事物的变化总有一定的品质,譬如它的稳定性、它的变化率等.导数正是反映了事物变化的速率问题.y随x变化而变化的瞬时变化率,即是导数,它的产生源于实际问题,应用于实际问题,却又高于实际问题.初等数学只能研究匀速问题,而对变速问题的精确研究,还必须依靠高等数学的导数.没有试图包囊一切,只想要完美的契合.那种精神,只有数学才有.而在导数概念的研究过程中,数形结合、以形推动数的理解的贯彻更是彻底.导数的几何意义让人更加笃信这一点.增量Δx的给出,使得自变量x从x0变到x0 Δx,自变量的变化导致因变量y从f(x0)变到f(x0 Δx),因变量的增量Δy应运而生.对应的图像上面的点从M0变化到M.当|Δx|逐渐变小时,变化紧随其后.Δx、Δy逐渐发生变化.M点逐渐向M0点滑动,直线MM0的倾斜角逐渐减小(假设倾斜角为锐角时).这一切的一切,最终促成了作为数的ΔyΔx与作为形的直线MM0斜率的契合,而这一契合最终有了perfect ending,极限的介入使得变化最终定格于那一条确定直线,即割线的极限位置切线的斜率.无法言喻的美,值得我们喝彩的美,函数缔造的变化的王国在此得到了精彩的体现.变即是不变,不变即是变——对于函数来说,这恐怕是其意义最好的诠释了.
复合函数作为函数中最具特色的存在,对它的形式的剖析,对于其求导有着与生俱来的本事.复合函数可以比作是由层层叠叠包裹起来的洋葱,要想看透它,必须剥掉一层,再剥一层,直到不能再剥为止.每一层函数都是基本初等函数或简单函数.复合函数的求导法则严格契合复合函数的层叠特征,由内而外,层层求导,每求一层导,就像给里面点亮了一盏灯,逐渐呈现在我们面前,层层推进,直到看到真正的光明(指导数).这种过程就是我们人生的生活成长的过程.人活着其实也不过如此.
微分的概念更是奇妙,微分的概念来源于实际问题中对函数改变量的近似计算,但它却与函数的导数有着不解之缘.微分公式dy=AΔx中那个不依赖于Δx的常数A最后竟是一个导数值.当dy=AΔx最后归结为dy=f′(x)Δx,并得出dydx=f′(x)时,这种契合就更加绝妙了.
洛必达法则作为导数应用的一个重要方面,把导数与其源头极限联系起来,来源于极限,最后又用于极限,这从根本上符合了研究工作的精髓.
变化中求生存,这是微积分的根本.变速直线运动瞬时变化率的求解最终在导数那里找到了答案;而逆向思维形成了另一问题:变速直线运动的路程,又促成了定积分概念的形成.数学分析的基本方法,从量的方面研究事物运动变化,在这里得到集中体现.定积分的求法又促成了不定积分概念的形成.牛顿—莱布尼茨公式的诞生使得原函数成了求解定积分的关键.而已知导数或微分求原函数,正是微分学的逆问题.逆向思维实质上是人类思维的飞跃.思维飞跃的结果使数学历史上出现了很多奇迹.求导公式反转为基本积分表,复合函数的求导法则变身为凑微分法,函数乘积的微分公式变身为分部积分法.变身促成了函数史上的大革命,微分变积分,微分积分自此不分家.思维的飞跃同时成就了实际问题的解决.
函数的痴在于变,变中求生存,人类的生存又怎知不是如此?因为变,函数凸显出极具生命力的美.