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[摘要] 本文通过一道考研题的解法思考、知识点回顾和拓展提高,分析了解题后反思对提高线性代数解题能力的作用.探讨了解题后反思什么.
[关键词] 反思 向量 矩阵 秩
硕士研究生入学考试(数学)是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行考查的,命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的.纵观二十多年的考试题目,背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活.在考研复习中,如何尽快提高自己的解题能力呢?做完一道题后学会反思是一种有效的方法.
一、题目与解答
(以上是笔者在阅卷时看到学生给出的答案)
本题不少考生失分较多.考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理,理解不准确,基本解题方法没有掌握.
二、知识点回顾
面对问题,我们首先是设想它的解的一个轮廓,这个轮廓可能是模糊的,可能就连自己都难以意识到,但它却会出现在我们的行动中.如果能动员可能应用到本题因素,回忆矩阵秩的以下关系式:
复习中必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫,如果不打牢这个基础,其他一切都是空中楼阁.同时,应把学过的知识系统化、综合化,注意细致、透彻、灵活.不过,若就此停留,对题目的理解还不够.思考相关因素添加到问题的构思中来,问题就会变得更加丰富.
三、拓展与提高
问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间的本质的联系,它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发,得到其它结论?对于本题,我们考虑“线性相关”的反面“线性无关”就有问题:
这种对数学问题进行推广、引申,不仅可以培养我们的创造性思维,还可以促使我们随时根据变化的条件积极思考,寻找解决问题的方法,从而培养思维的灵活性.上述思考获得新题,既包含矩阵的秩内容,又涵盖矩阵可对角化判定问题(线性代数课程的基本问题之一).
如果我们能经常这样思考问题,就能在不断的知识联系和知识整合中,丰富我们的认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣.
四、解题后反思
反思是重要的思维活动,它是思维活动的核心和动力(弗赖登塔尔).解题是培养数学思维能力的一个重要环节,解题本身不是学习的目的,而只是一种训练手段.学习中,如果缺乏解题反思,往往印象很浅,思维的深刻性及批判性得不到发展.进行解题后的反思,会有益于我们总结经验,发现规律,形成技能技巧,从而把解题真正变成一种强有力的训练手段.现就解题后的反思,思什么?谈几点建议,供参考.
1.思疏漏。解题后要思考是否有疏漏和错误的地方,总结应该注意的方面.如:答案是否与题中隐含条件相抵触,是否混淆了概念,是否忽视了隐含条件,是否特殊代替一般,是否忽视特例,逻辑上是否有问题,运算是否正确,题目本身是否有误等.找出导致错误的原因,扫除或纠正思维中的盲点和错误,让自己从错误中悟理,借以发展思维能力,提高分析能力.本文例题解法三中,“若 A=BTB,则AX=0,BX=0同解”,“若A=BTB,则r(A)=r(B)”的结论需要在实数范围内才成立,这是需要注意的.
2.思联系。线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变.解题后,如能把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线,“并联”成知识网,则有利于提高分析和归纳的思维能力.本文例题关键概念是秩(矩阵、向量组、二次型),只有准确把握住“秩”的内涵,利用分块矩阵运算,再根据线性方程组理论解的理论以及矩阵的秩与向量组的秩的关系,熟练掌握“秩”的基本运算,才能迅速解题.现代认知理论认为:人们掌握和理解知识,就是将所接受的知识经过人脑加工编码,使新旧知识联系起来,从而认知新知识的内在联系,达到对知识的理解和掌握.复习时不断地归纳总结,搞清内在联系,融会贯通所学知识,接口与切入点多了,思路自然就开阔了.
3.思解法。对于同一道题,从不同的角度去分析研究,可能会得到不同的启示,从而引出多种不同的解法,当然,我们的目的不在于去凑几种解法,而是通过不同的观察侧面,使我们的思维触角伸向不同的方向,不同层次,发展发散思维能力.如本文例题用矩阵秩的结论得到解法一后,再想一想,除此以外,还可以利用分块矩阵表示矩阵A,通过线性方程组理论更精确的反映矩阵A和B的秩的关系,获得解法二和解法三,进一步获得当 α,β线性无关时,则又获得秩r(A)=2的结论.
4.思演变。解题后,反思题目能否变换引申,改变题目的条件,会导出什么新结论;保留题目的条件结论能否进一步加强;条件作类似的变换,结论能扩大到一般等等.如本文联系矩阵秩,线性方程组理论和矩阵特征值和特征向量定义,获得A矩阵相似于对角形矩阵的结论,像这样注重知识点的衔接与转换的思考,常常是我们发现新知识、认识新知识的突破口.
5.思规律。解题后,回想解题方法有无规律可循,从特殊题引申到一般题目的解答,有利于强化知识的应用,提高迁移水平.
总之,解题后反思能促进我们的理解从一个水平升到更高的水平,从新的角度,多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考.“如果没有了反思,他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”,“通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”(波利亚).学会解题后反思,对复习考研是大有裨益的.
参考文献:
[1]波利亚著,刘景麟等译.数学的发现—对解题的理解、研究和讲授[M].北京:科学出版社,2006,7.
[2]同济大学数学教研室.线性代数(第2版)[M].高等教育出版社,北京,1991,(8).
[3]樊恽,郑延履,刘合国.线性代数学习指导[M].科学出版社,北京,2003,(2).
[4]波利亚.怎样解题[M].北京:科学出版社,1982,(6).
本文系扬州大学线性代数精品课程建设项目、扬州大学教改项目资助。
[关键词] 反思 向量 矩阵 秩
硕士研究生入学考试(数学)是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行考查的,命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的.纵观二十多年的考试题目,背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活.在考研复习中,如何尽快提高自己的解题能力呢?做完一道题后学会反思是一种有效的方法.
一、题目与解答
(以上是笔者在阅卷时看到学生给出的答案)
本题不少考生失分较多.考生失分的一个重要原因就是对基本概念、基本定理,理解不准确,基本解题方法没有掌握.
二、知识点回顾
面对问题,我们首先是设想它的解的一个轮廓,这个轮廓可能是模糊的,可能就连自己都难以意识到,但它却会出现在我们的行动中.如果能动员可能应用到本题因素,回忆矩阵秩的以下关系式:
复习中必须在掌握和理解数学基本概念、基本定理、重要的数学结论等数学基本要素上下足工夫,如果不打牢这个基础,其他一切都是空中楼阁.同时,应把学过的知识系统化、综合化,注意细致、透彻、灵活.不过,若就此停留,对题目的理解还不够.思考相关因素添加到问题的构思中来,问题就会变得更加丰富.
三、拓展与提高
问题与问题之间不是孤立的,许多表面上看似无关的问题却有着内在的联系,解题不能就题论题,要寻找问题与问题之间的本质的联系,它和哪些问题有联系?能否受这个问题的启发,得到其它结论?对于本题,我们考虑“线性相关”的反面“线性无关”就有问题:
这种对数学问题进行推广、引申,不仅可以培养我们的创造性思维,还可以促使我们随时根据变化的条件积极思考,寻找解决问题的方法,从而培养思维的灵活性.上述思考获得新题,既包含矩阵的秩内容,又涵盖矩阵可对角化判定问题(线性代数课程的基本问题之一).
如果我们能经常这样思考问题,就能在不断的知识联系和知识整合中,丰富我们的认知结构中的内容,体验“创造”带来的乐趣.
四、解题后反思
反思是重要的思维活动,它是思维活动的核心和动力(弗赖登塔尔).解题是培养数学思维能力的一个重要环节,解题本身不是学习的目的,而只是一种训练手段.学习中,如果缺乏解题反思,往往印象很浅,思维的深刻性及批判性得不到发展.进行解题后的反思,会有益于我们总结经验,发现规律,形成技能技巧,从而把解题真正变成一种强有力的训练手段.现就解题后的反思,思什么?谈几点建议,供参考.
1.思疏漏。解题后要思考是否有疏漏和错误的地方,总结应该注意的方面.如:答案是否与题中隐含条件相抵触,是否混淆了概念,是否忽视了隐含条件,是否特殊代替一般,是否忽视特例,逻辑上是否有问题,运算是否正确,题目本身是否有误等.找出导致错误的原因,扫除或纠正思维中的盲点和错误,让自己从错误中悟理,借以发展思维能力,提高分析能力.本文例题解法三中,“若 A=BTB,则AX=0,BX=0同解”,“若A=BTB,则r(A)=r(B)”的结论需要在实数范围内才成立,这是需要注意的.
2.思联系。线性代数从内容上看纵横交错,前后联系紧密,环环相扣,相互渗透,因此解题方法灵活多变.解题后,如能把解题中所联系到的基础知识与各知识有机地“串联”成知识线,“并联”成知识网,则有利于提高分析和归纳的思维能力.本文例题关键概念是秩(矩阵、向量组、二次型),只有准确把握住“秩”的内涵,利用分块矩阵运算,再根据线性方程组理论解的理论以及矩阵的秩与向量组的秩的关系,熟练掌握“秩”的基本运算,才能迅速解题.现代认知理论认为:人们掌握和理解知识,就是将所接受的知识经过人脑加工编码,使新旧知识联系起来,从而认知新知识的内在联系,达到对知识的理解和掌握.复习时不断地归纳总结,搞清内在联系,融会贯通所学知识,接口与切入点多了,思路自然就开阔了.
3.思解法。对于同一道题,从不同的角度去分析研究,可能会得到不同的启示,从而引出多种不同的解法,当然,我们的目的不在于去凑几种解法,而是通过不同的观察侧面,使我们的思维触角伸向不同的方向,不同层次,发展发散思维能力.如本文例题用矩阵秩的结论得到解法一后,再想一想,除此以外,还可以利用分块矩阵表示矩阵A,通过线性方程组理论更精确的反映矩阵A和B的秩的关系,获得解法二和解法三,进一步获得当 α,β线性无关时,则又获得秩r(A)=2的结论.
4.思演变。解题后,反思题目能否变换引申,改变题目的条件,会导出什么新结论;保留题目的条件结论能否进一步加强;条件作类似的变换,结论能扩大到一般等等.如本文联系矩阵秩,线性方程组理论和矩阵特征值和特征向量定义,获得A矩阵相似于对角形矩阵的结论,像这样注重知识点的衔接与转换的思考,常常是我们发现新知识、认识新知识的突破口.
5.思规律。解题后,回想解题方法有无规律可循,从特殊题引申到一般题目的解答,有利于强化知识的应用,提高迁移水平.
总之,解题后反思能促进我们的理解从一个水平升到更高的水平,从新的角度,多层次、多侧面地对问题及解决问题的思维过程进行全面的考察、分析与思考.“如果没有了反思,他们就错过了解题的一次重要而有效益的方面”,“通过回顾所完成的解答,通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的路子,学生们可以巩固他们的知识和发展他们的解题能力”(波利亚).学会解题后反思,对复习考研是大有裨益的.
参考文献:
[1]波利亚著,刘景麟等译.数学的发现—对解题的理解、研究和讲授[M].北京:科学出版社,2006,7.
[2]同济大学数学教研室.线性代数(第2版)[M].高等教育出版社,北京,1991,(8).
[3]樊恽,郑延履,刘合国.线性代数学习指导[M].科学出版社,北京,2003,(2).
[4]波利亚.怎样解题[M].北京:科学出版社,1982,(6).
本文系扬州大学线性代数精品课程建设项目、扬州大学教改项目资助。