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《掷一掷》是人教版五年级上册的一节综合实践活动课。本课以游戏形式驱动学生在观察、猜想、试验、验证的过程中，综合利用所学知识探究掷骰子点数的可能性大小，使学生经历生活问题数学化的学习过程，帮助学生走出认知误区，发掘现象背后的数学本质。
一、深度体验，发掘现象背后的本质
“全喻数学”提倡数学理解的全视野。要达到理解上的全视野，就需要学生深度学习。郭元祥教授提出的“U型学习”很好地阐述了这个观点。
1.还原与下沉
本课安排在学生学习《可能性》之后。在此之前，学生接触的都是单一的随机事件。如课堂导入部分，在掷一个骰子的前提下，引导学生制订游戏规则，学生能直观地根据“两个队掷出点数的个数相等，可能性大小就相等”来理解规则内涵。例如，双方轮流掷骰子，掷到1、2、3蓝队赢，掷到4、5、6红队赢，两个队获胜的点数都是3个。到掷两个骰子时，学生凭借先前的活动经验，直接根据点数和的个数得出“点数和是2、3、4、10、11、12”的可能性比“点数和是5、6、7、8、9”的可能性大，错误地判断前者更有胜算。学生显然被表面现象所迷惑。
这时师生二人分别代表红队、蓝队进行对峙，各掷3次。掷出的结果无论是红队输，还是蓝队输，学生都会认为这是运气不好导致的，便有了“再多掷几次可能会赢”的想法。此时实验次数少，掷出的结果不足以冲击学生的思维，所以学生的兴趣点仅仅停留在游戏层面，还没有探究背后原因的学习需求。
2.体验与探究
游戏是学生都喜欢的，人人都想动手试一试。于是，笔者组织每个小组在2分钟内进行游戏，掷的次数由几次增加到20次左右，大多数小组掷出的结果都是红队赢。这时学生疑惑了，他们发现次数增加后的结果与自己原先的猜想并不一致，从而产生了认知冲突。
面对这样的结果，一部分学生已经在往点数和的组合情况上思考了。由于小组实验现象不是十分明显，还存在偶然性（有的是蓝队赢），所以需要更大的数据来支撑。笔者乘机借助scratch软件演示出掷1000次骰子的实验，解决了大量重复实验所需时间太长的问题。电脑显示的实验结果让学生震惊，使他们确信“红队赢”不是偶然现象，产生了要进一步探究游戏背后秘密的欲望。
3.反思与上浮
前述学习中，学生已经在每次掷2个骰子的活动中感受到了“组合”的情况，少数学生已经发现了这样的结果与点数和的组合情况有关。于是，笔者引导学生用枚举法探究点数和的组合情况，其结果让学生豁然开朗。学生发现每个点数和出现的组合种数不同导致了可能性大小不一样，他们感悟到“可能性的大小并非由点数和的个数决定”，这与先前掷单个骰子的情况有明显区别。
二、合作体验，提高解决问题的能力
“全喻数学”提倡数学建构的全体验，要求在实践探究中培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。基于此，笔者设计了以下环节，引导学生深入探究。
1.师生合作，探究激趣
在总结第二轮游戏的规则后，学生提出了自己的猜想。由于有了制订单个骰子游戏规则的基础认识，大部分学生毫不犹豫地猜测——蓝队获胜的可能性大。这里安排了师生合作的游戏，激发学生参与探究的积极性。
2.生生合作，初析问题
笔者组织全班学生以小组合作形式进行游戏，横向观察每个小组的结果，并用软件模拟掷1000次骰子的实验结果——红队赢。学生发现自己先前的猜测是错误的，继而开始分析现象背后的原因，思考点数和的组成情况。
3.探究本质，解决问题
学生通过小组合作探究点数和的组成情况，他们用枚举法有序地写出了每个点数和的组合算式，最后得出点数和为“7”的组合情况最多，“2”和“12”的组合情况最少。同时，越靠中间的点数和组成越多，相应的可能性就越大;越靠两边的点数和组成越少，相应的可能性就越小（如下图）。
数学综合实践活动课是培养和提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的有效途径。常规课更突出“学的过程”，综合实践活动课更突出“用的过程”。“用的过程”不仅是对知识学习成效的检验，也是对学生能力发展水平的检验。
三、不断反思，培养自主学习的能力
“全喻数学”提倡数学反思的全维度。学习的过程少不了反思。叶圣陶先生曾说“教是为了不教”，要培养学生自主学习的能力，就要培养学生不断反思的意识。
如前所述，在第一轮投掷两个骰子之前，学生依据经验设想并制订了游戏规则。他们一致认为蓝队会赢，原因是点数和的个数较多，这是停留在现象上的浅层思考。在经历了20次左右的实验后，学生发现实验结果与自己最初的想法相反，对自己最初的想法产生了质疑。在教师借助电脑软件演示掷1000次骰子实验后，学生确定自己最初的想法是错误的，并在教师的引导下开始回想刚刚掷骰子的过程，初步断定矛盾的结果与点数和的组成有关。学生继续朝着这个方向进行探究，在不断反思中发现了游戏背后的秘密。
这节课，笔者执教了4次，在电脑软件演示掷1000次骰子实验后，问“红队获胜的可能性大到底和什么有关？”只有几名学生能想到点数和的组成。笔者忧虑：如果没有学生想到这点该怎么教学？经过反思，笔者对这个环节有了进一步的认识：大部分学生对这个关键问题的思考深度不够，如果此时安排一次讨论，并让学生再次拿出2个骰子掷一掷，把每次掷出的具体情况记录下来，进一步体会点数和的组成情况，能使学生在深度体验中深入思考，这个问题便会迎刃而解。实践证明，这样的改进有效。
四、理性思考，達成数学文化的浸润
“全喻数学”提倡数学文化的全浸润。最初笔者对数学文化的理解是片面的，把数学史等同于数学文化，其实不然。张奠宙先生认为：“数学是人们观察世界的一种立场、观点和方法，具有很强的人文特征。在形式化了的数学背后，有生动活泼的思维过程、朴素无华的思想方法，乃至引人深思的人生故事……文化，总是潜藏于人们的心底，并自然而然地流露在举手投足之间、谈论说笑之中。数学文化的教学也是如此，要‘润物细无声’地融化在课堂教学的过程里。”
数学教学要“讲道理”，教会学生理性地思考，这是在教学中浸润数学文化的核心目标之一。本节课，学生经历了从对游戏规则坚定的初步判断到看到试验结果后的质疑和反思，再到用枚举法探究出点数和的各种组合后的豁然开朗——点数和的组合种数起决定作用。整个学习过程都是在用科学的态度验证自己的想法，用理性的思考完善自己的认知。
（作者单位：武汉市青山区钢花小学）
责任编辑 刘佳
一、深度体验，发掘现象背后的本质
“全喻数学”提倡数学理解的全视野。要达到理解上的全视野，就需要学生深度学习。郭元祥教授提出的“U型学习”很好地阐述了这个观点。
1.还原与下沉
本课安排在学生学习《可能性》之后。在此之前，学生接触的都是单一的随机事件。如课堂导入部分，在掷一个骰子的前提下，引导学生制订游戏规则，学生能直观地根据“两个队掷出点数的个数相等，可能性大小就相等”来理解规则内涵。例如，双方轮流掷骰子，掷到1、2、3蓝队赢，掷到4、5、6红队赢，两个队获胜的点数都是3个。到掷两个骰子时，学生凭借先前的活动经验，直接根据点数和的个数得出“点数和是2、3、4、10、11、12”的可能性比“点数和是5、6、7、8、9”的可能性大，错误地判断前者更有胜算。学生显然被表面现象所迷惑。
这时师生二人分别代表红队、蓝队进行对峙，各掷3次。掷出的结果无论是红队输，还是蓝队输，学生都会认为这是运气不好导致的，便有了“再多掷几次可能会赢”的想法。此时实验次数少，掷出的结果不足以冲击学生的思维，所以学生的兴趣点仅仅停留在游戏层面，还没有探究背后原因的学习需求。
2.体验与探究
游戏是学生都喜欢的，人人都想动手试一试。于是，笔者组织每个小组在2分钟内进行游戏，掷的次数由几次增加到20次左右，大多数小组掷出的结果都是红队赢。这时学生疑惑了，他们发现次数增加后的结果与自己原先的猜想并不一致，从而产生了认知冲突。
面对这样的结果，一部分学生已经在往点数和的组合情况上思考了。由于小组实验现象不是十分明显，还存在偶然性（有的是蓝队赢），所以需要更大的数据来支撑。笔者乘机借助scratch软件演示出掷1000次骰子的实验，解决了大量重复实验所需时间太长的问题。电脑显示的实验结果让学生震惊，使他们确信“红队赢”不是偶然现象，产生了要进一步探究游戏背后秘密的欲望。
3.反思与上浮
前述学习中，学生已经在每次掷2个骰子的活动中感受到了“组合”的情况，少数学生已经发现了这样的结果与点数和的组合情况有关。于是，笔者引导学生用枚举法探究点数和的组合情况，其结果让学生豁然开朗。学生发现每个点数和出现的组合种数不同导致了可能性大小不一样，他们感悟到“可能性的大小并非由点数和的个数决定”，这与先前掷单个骰子的情况有明显区别。
二、合作体验，提高解决问题的能力
“全喻数学”提倡数学建构的全体验，要求在实践探究中培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。基于此，笔者设计了以下环节，引导学生深入探究。
1.师生合作，探究激趣
在总结第二轮游戏的规则后，学生提出了自己的猜想。由于有了制订单个骰子游戏规则的基础认识，大部分学生毫不犹豫地猜测——蓝队获胜的可能性大。这里安排了师生合作的游戏，激发学生参与探究的积极性。
2.生生合作，初析问题
笔者组织全班学生以小组合作形式进行游戏，横向观察每个小组的结果，并用软件模拟掷1000次骰子的实验结果——红队赢。学生发现自己先前的猜测是错误的，继而开始分析现象背后的原因，思考点数和的组成情况。
3.探究本质，解决问题
学生通过小组合作探究点数和的组成情况，他们用枚举法有序地写出了每个点数和的组合算式，最后得出点数和为“7”的组合情况最多，“2”和“12”的组合情况最少。同时，越靠中间的点数和组成越多，相应的可能性就越大;越靠两边的点数和组成越少，相应的可能性就越小（如下图）。
数学综合实践活动课是培养和提高学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题能力的有效途径。常规课更突出“学的过程”，综合实践活动课更突出“用的过程”。“用的过程”不仅是对知识学习成效的检验，也是对学生能力发展水平的检验。
三、不断反思，培养自主学习的能力
“全喻数学”提倡数学反思的全维度。学习的过程少不了反思。叶圣陶先生曾说“教是为了不教”，要培养学生自主学习的能力，就要培养学生不断反思的意识。
如前所述，在第一轮投掷两个骰子之前，学生依据经验设想并制订了游戏规则。他们一致认为蓝队会赢，原因是点数和的个数较多，这是停留在现象上的浅层思考。在经历了20次左右的实验后，学生发现实验结果与自己最初的想法相反，对自己最初的想法产生了质疑。在教师借助电脑软件演示掷1000次骰子实验后，学生确定自己最初的想法是错误的，并在教师的引导下开始回想刚刚掷骰子的过程，初步断定矛盾的结果与点数和的组成有关。学生继续朝着这个方向进行探究，在不断反思中发现了游戏背后的秘密。
这节课，笔者执教了4次，在电脑软件演示掷1000次骰子实验后，问“红队获胜的可能性大到底和什么有关？”只有几名学生能想到点数和的组成。笔者忧虑：如果没有学生想到这点该怎么教学？经过反思，笔者对这个环节有了进一步的认识：大部分学生对这个关键问题的思考深度不够，如果此时安排一次讨论，并让学生再次拿出2个骰子掷一掷，把每次掷出的具体情况记录下来，进一步体会点数和的组成情况，能使学生在深度体验中深入思考，这个问题便会迎刃而解。实践证明，这样的改进有效。
四、理性思考，達成数学文化的浸润
“全喻数学”提倡数学文化的全浸润。最初笔者对数学文化的理解是片面的，把数学史等同于数学文化，其实不然。张奠宙先生认为：“数学是人们观察世界的一种立场、观点和方法，具有很强的人文特征。在形式化了的数学背后，有生动活泼的思维过程、朴素无华的思想方法，乃至引人深思的人生故事……文化，总是潜藏于人们的心底，并自然而然地流露在举手投足之间、谈论说笑之中。数学文化的教学也是如此，要‘润物细无声’地融化在课堂教学的过程里。”
数学教学要“讲道理”，教会学生理性地思考，这是在教学中浸润数学文化的核心目标之一。本节课，学生经历了从对游戏规则坚定的初步判断到看到试验结果后的质疑和反思，再到用枚举法探究出点数和的各种组合后的豁然开朗——点数和的组合种数起决定作用。整个学习过程都是在用科学的态度验证自己的想法，用理性的思考完善自己的认知。
（作者单位：武汉市青山区钢花小学）
责任编辑 刘佳