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在立体几何的线面关系中，线面垂直处于核心地位，它是证明线线垂直和面面垂直的纽带，也是计算角度、距离、面积、体积的重要环节，因此线面垂直的证明与应用对于学好立体几何有举足轻重的作用．
例1如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
求证：（Ⅰ）BC⊥平面PAB；（Ⅱ）AE⊥平面PBC；（Ⅲ）PC⊥平面AEF.
证明（Ⅰ）PA⊥平面ABC[⇒]
[PA⊥BCAB⊥BCPA⋂AB=A⇒BC⊥平面PAB.]
（Ⅱ）AE[⊂]平面PAB，由（Ⅰ）知
[AE⊥BCAE⊥PBPB⋂BC=B⇒AE⊥平面PBC.]
（Ⅲ）PC[⊂]平面PBC，由（Ⅱ）知
[PC⊥AEPC⊥AFAE⋂AF=A⇒PC⊥平面AEF.]
例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
（Ⅰ）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
（Ⅱ）当[a=4]时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.
（Ⅲ）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.
解析（Ⅰ）当[a=2]时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.
又∵PA⊥底面ABCD，BD[⊂]平面ABCD，
∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.
故当[a=2]时，BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）当[a=4]时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=90°，即DM⊥AM.
又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，
故当[a=4]时，BC边的中点M使PM⊥DM.
（Ⅲ）设M是BC边上符合题设的点M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.
例3正方形[ABCD]中，[AB=2]，[E]是[AB]边的中点，[F]是[BC]边上一点，将[△AED]及[△DCF]折起（如图），使[A、C]点重合于[A′]点.
（Ⅰ）证明：[A′D⊥EF]；
（Ⅱ）当[F]为[BC]的中点时，求[A′D]与平面[DEF]所成的角；
（Ⅲ）当[BF=14BC]时，求三棱锥[A′-EFD]的体积.
解析（Ⅰ）∵[A′D⊥A′E，A′D⊥A′F]，
∴[A′D]⊥平面[A′EF.∴A′D⊥EF].
（Ⅱ）取EF的中点G，连结[A′G、DG].
∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴[EF=2].
又∵[A′E=A′F=1]，
∴[∠EA′F=90°，A′G⊥EF]，得[A′G=22].
∵[A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′]，
∴[EF⊥平面A′DG.]
∴平面[DEF]⊥平面[A′DG.]
作[A′H⊥DG]于[H]，得[A′H]⊥平面[DEF]，
∴[∠A′DG为A′D与平面DEF]所成的角.
在Rt[△A′DG]中，[A′G=22]，[A′D=2]，
∴[∠A′DG=]arctan[24].
（Ⅲ）∵[A′D⊥平面A′EF]，
∴[A′D是三棱锥D—A′EF]的高.
又由[BE=1，BF=12]推出[EF=52]，
可得[SΔA′EF=54]，
[VA′－EFD=VD－A′EF]
[=13⋅SΔA′EF⋅A′D=13]·[54]·2=[56].
例4如图，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]⊥底面[ABCD]，侧棱[PA=PD＝2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD,AB⊥AD,][AD=2AB=2BC=2],[O]为[AD]中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.
解析（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，
所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面[PAD⋂]平面ABCD=AD, [PO⊂]平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，
BC∥AD，[AD=2AB=2BC,]
有OD∥BC且OD=BC，
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为[AD=2AB=2BC=2],在[Rt△AOB]中，[AB=1,][AO=1,]所以[OB＝2]，
在[Rt△POA]中，因为[AP＝2]，[AO＝1]，所以[OP＝1]，
在Rt[△PBO]中，
tan[∠PBO＝POBO=12=22,]
[∠PBO=arctan22.]
所以异面直线[PB与CD]所成的角是[arctan22].
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32].
设[QD＝x]，则[SΔDQC=12x].
由（Ⅱ）得[CD=OB=][2]，
在Rt[△POC]中， [PC=OC2+OP2=2,]
所以[PC=CD=DP], [SΔPCD=34⋅(2)2=32,]
由[VP-DQC=VQ-PCD],得[x=32]，
所以存在点[Q]满足题意，此时[AQQD=13].
例5已知[△BCD]中，[∠BCD=90°]，[BC=CD=1]，[AB]⊥平面[BCD]，[∠ADB=60°，E、F]分别是[AC、AD]上的动点，且[AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).]
（Ⅰ）求证：不论[λ]为何值，总有平面[BEF]⊥平面ABC；
（Ⅱ）当[λ]为何值时，平面[BEF]⊥平面[ACD]？
解析（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.
又[∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),]
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF[⊂]平面BEF,
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF.
又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴[BD=2,AB=2tan60∘=6,]
[∴AC=AB2+BC2=7.]
由[AB2=AE⋅AC],得[AE=67,∴λ=AEAC=67.] 故当[λ=67]时，平面[BEF]⊥平面[ACD].
例6如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，[∠ABC=60°],E、F分别是BC、PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为[62]，求二面角[E-AF-C]的余弦值.
解析（Ⅰ）由四边形[ABCD]为菱形，[∠ABC=60°]，可得[△ABC]为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE[⊂]平面ABCD，
所以PA⊥AE.
而PA[⊂]平面PAD，AD[⊂]平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.
又PD[⊂]平面PAD，所以AE⊥PD.
（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.
由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，
在Rt△EAH中，AE=[3]，
此时tan∠EHA=[AEAH=3AH=62,]因此AH=[2].
又AD=2，所以[∠ADH=45°]，
所以[PA=2].
因为PA⊥平面ABCD，PA[⊂]平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.
过O作OS⊥AF于S，连接ES，
则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=[32]，
AO=AE·cos30°=[32].
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，
SO=AO·sin45°=[324],
又[SE=EO2+SO2=34+98=304,]
在Rt△ESO中，cos∠ESO=[SOSE=324304=155,]
即所求二面角的余弦值为[155.]
例1如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.
求证：（Ⅰ）BC⊥平面PAB；（Ⅱ）AE⊥平面PBC；（Ⅲ）PC⊥平面AEF.
证明（Ⅰ）PA⊥平面ABC[⇒]
[PA⊥BCAB⊥BCPA⋂AB=A⇒BC⊥平面PAB.]
（Ⅱ）AE[⊂]平面PAB，由（Ⅰ）知
[AE⊥BCAE⊥PBPB⋂BC=B⇒AE⊥平面PBC.]
（Ⅲ）PC[⊂]平面PBC，由（Ⅱ）知
[PC⊥AEPC⊥AFAE⋂AF=A⇒PC⊥平面AEF.]
例2在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD.
（Ⅰ）当a为何值时，BD⊥平面PAC?试证明你的结论.
（Ⅱ）当[a=4]时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM.
（Ⅲ）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围.
解析（Ⅰ）当[a=2]时，ABCD为正方形，则BD⊥AC.
又∵PA⊥底面ABCD，BD[⊂]平面ABCD，
∴BD⊥PA.∴BD⊥平面PAC.
故当[a=2]时，BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）当[a=4]时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连结AM、DM、MN.
∵ABMN和DCMN都是正方形，
∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=90°，即DM⊥AM.
又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，
故当[a=4]时，BC边的中点M使PM⊥DM.
（Ⅲ）设M是BC边上符合题设的点M，
∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM.
因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求.
例3正方形[ABCD]中，[AB=2]，[E]是[AB]边的中点，[F]是[BC]边上一点，将[△AED]及[△DCF]折起（如图），使[A、C]点重合于[A′]点.
（Ⅰ）证明：[A′D⊥EF]；
（Ⅱ）当[F]为[BC]的中点时，求[A′D]与平面[DEF]所成的角；
（Ⅲ）当[BF=14BC]时，求三棱锥[A′-EFD]的体积.
解析（Ⅰ）∵[A′D⊥A′E，A′D⊥A′F]，
∴[A′D]⊥平面[A′EF.∴A′D⊥EF].
（Ⅱ）取EF的中点G，连结[A′G、DG].
∵BE=BF=1，∠EBF=90°，∴[EF=2].
又∵[A′E=A′F=1]，
∴[∠EA′F=90°，A′G⊥EF]，得[A′G=22].
∵[A′G⊥EF，A′D⊥EF，A′G∩A′D=A′]，
∴[EF⊥平面A′DG.]
∴平面[DEF]⊥平面[A′DG.]
作[A′H⊥DG]于[H]，得[A′H]⊥平面[DEF]，
∴[∠A′DG为A′D与平面DEF]所成的角.
在Rt[△A′DG]中，[A′G=22]，[A′D=2]，
∴[∠A′DG=]arctan[24].
（Ⅲ）∵[A′D⊥平面A′EF]，
∴[A′D是三棱锥D—A′EF]的高.
又由[BE=1，BF=12]推出[EF=52]，
可得[SΔA′EF=54]，
[VA′－EFD=VD－A′EF]
[=13⋅SΔA′EF⋅A′D=13]·[54]·2=[56].
例4如图，在四棱锥[P-ABCD]中，侧面[PAD]⊥底面[ABCD]，侧棱[PA=PD＝2]，底面[ABCD]为直角梯形，其中[BC∥AD,AB⊥AD,][AD=2AB=2BC=2],[O]为[AD]中点.
（Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小；
（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32]？若存在，求出[AQQD]的值；若不存在，请说明理由.
解析（Ⅰ）在△PAD中，PA=PD,O为AD中点，
所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD,平面[PAD⋂]平面ABCD=AD, [PO⊂]平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，
BC∥AD，[AD=2AB=2BC,]
有OD∥BC且OD=BC，
所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为[AD=2AB=2BC=2],在[Rt△AOB]中，[AB=1,][AO=1,]所以[OB＝2]，
在[Rt△POA]中，因为[AP＝2]，[AO＝1]，所以[OP＝1]，
在Rt[△PBO]中，
tan[∠PBO＝POBO=12=22,]
[∠PBO=arctan22.]
所以异面直线[PB与CD]所成的角是[arctan22].
（Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为[32].
设[QD＝x]，则[SΔDQC=12x].
由（Ⅱ）得[CD=OB=][2]，
在Rt[△POC]中， [PC=OC2+OP2=2,]
所以[PC=CD=DP], [SΔPCD=34⋅(2)2=32,]
由[VP-DQC=VQ-PCD],得[x=32]，
所以存在点[Q]满足题意，此时[AQQD=13].
例5已知[△BCD]中，[∠BCD=90°]，[BC=CD=1]，[AB]⊥平面[BCD]，[∠ADB=60°，E、F]分别是[AC、AD]上的动点，且[AEAC=AFAD=λ(0<λ<1).]
（Ⅰ）求证：不论[λ]为何值，总有平面[BEF]⊥平面ABC；
（Ⅱ）当[λ]为何值时，平面[BEF]⊥平面[ACD]？
解析（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD.
∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.
又[∵AEAC=AFAD=λ(0<λ<1),]
∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF[⊂]平面BEF,
∴不论λ为何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF.
又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴[BD=2,AB=2tan60∘=6,]
[∴AC=AB2+BC2=7.]
由[AB2=AE⋅AC],得[AE=67,∴λ=AEAC=67.] 故当[λ=67]时，平面[BEF]⊥平面[ACD].
例6如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，[∠ABC=60°],E、F分别是BC、PC的中点.
（Ⅰ）证明：AE⊥PD；
（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为[62]，求二面角[E-AF-C]的余弦值.
解析（Ⅰ）由四边形[ABCD]为菱形，[∠ABC=60°]，可得[△ABC]为正三角形.
因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.
又BC∥AD，因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD，AE[⊂]平面ABCD，
所以PA⊥AE.
而PA[⊂]平面PAD，AD[⊂]平面PAD，且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD.
又PD[⊂]平面PAD，所以AE⊥PD.
（Ⅱ）设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH、EH.
由（Ⅰ）知，AE⊥平面PAD，
则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.
所以当AH最短时，即当AH⊥PD时，∠EHA最大，
在Rt△EAH中，AE=[3]，
此时tan∠EHA=[AEAH=3AH=62,]因此AH=[2].
又AD=2，所以[∠ADH=45°]，
所以[PA=2].
因为PA⊥平面ABCD，PA[⊂]平面PAC，
所以平面PAC⊥平面ABCD.
过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC.
过O作OS⊥AF于S，连接ES，
则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，
在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=[32]，
AO=AE·cos30°=[32].
又F是PC的中点，在Rt△ASO中，
SO=AO·sin45°=[324],
又[SE=EO2+SO2=34+98=304,]
在Rt△ESO中，cos∠ESO=[SOSE=324304=155,]
即所求二面角的余弦值为[155.]