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在多年的高考复习实践中，笔者一直在探索“如何攻克高考复习中的难点——平面向量”，并且越发体会到其积极的教育教学意义。因为在深化普通高中课程改革的背景下，每个知识内容的学习都要服务于学科核心素养培养目标的有效落实，那么建立平面向量的教学与数学学科核心素养的内在联系，可以发挥数学学科在落实立德树人根本任务和发展素质教育中的独特价值。
一、认清难点，分析成因
（一）平面向量的教学被公认为难点
数学学科核心素养中涉及数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体。笔者发现运用“平面向量”的基础知识、基本方法解决问题，要求学生适度整合自身具备的六大核心素养，也正是由于这样的融合性对于教学而言便构成了难点。
（二）平面向量的复习被公认为难点
就解决平面向量问题需要的知识、方法、技能、素养而言，要求学生知识、方法综合性强，思维水平、数学素养程度高的特点。因此，在高三数学复习课中进行平面向量的复习，不仅需要考生明确复习中温故的基本意图（即熟识平面向量基础知识、基本方法），而且需要达到复习后知新的预设目的（即提升考生数学能力层次以及数学素养水平）。
在高考复习中，攻克“平面向量”这一难点所实施的教学，不仅可以帮助考生在考场上赢得分数和信心，而且可以契合数学学科的育人功能，发展学生必备的数学素养。
二、策略复习，精准克难
（一）回归教材，筑牢基础知识
高考复习中回归教材，理清知识发展脉络，有助于帮助考生运用平面向量解决数学问题。历年的高考真题、各区的模拟题目表述中用语严谨、考点清晰，而且分析出这类题目的共同特点是：从考查的内容到解决问题的思路，点点滴滴都是教材知识方法的再现和重组。
大量的平面向量问题是以学生熟悉的平面图形为载体，清晰地描述了向量之间的线性关系，从而提出问题。笔者建议，教师可以选择市区级学业测试中的题目作为复习例题，避免简单重复地机械训练，它们在形式和内容上都区别于课本中已有的例题、习题。这样，既可以让考生在新的背景下进行直观想象、数学抽象、推理运算的训练，又可以落实关于“用图形探索解决问题的思路，形成数形结合的思想”的课程理念。
此外，运用平面几何知识对于具有共线关系的向量直接表示，可以提高解题效率，赢得考场上宝贵的解题时间。因此，在复习课中，不仅需要依托基本内容训练考生熟练掌握通法，而且需要积极引导考生深入细致地分析图形中几何元素之间的关系，发展他们空间想象能力和抽象概括能力，提升其数学素养。
（二）研讨真题，熟识基本方法
研讨高考真题（指普通高等学校招生全国统一考试数学卷中的试题），把题目训练的意图和解决问题过程中呈现的思维特征附加上明确的标志，可以唤醒考生重新认识和掌握基本方法，促使他们主动选择、运用适切的方法解决问题。
1.一题多解，提供纵向对比，优化认知结构。
例如：在2016年天津卷中，平面向量问题是以等边三角形中位线为基础图形建立的数学模型，学生在解决问题时，由于个体所熟识的基础知识、基本方法存在的差异，就会萌生不一样的解题思路，分别选择定义法、基底法、坐标法进行求解。这样，教师在复习课中，不仅需要训练考生熟练地将几何图形与实数的巧妙结合，即通过对数的关系与空间形式的抽象，实现数学抽象素养的有效培养，而且需要帮助考生不断地甄别这三种方法各自的优长，明确这三种思路的意义，熟练地进行各种方法之间的转换与变通。运用发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，进行探索，形成论证思路，进行数学推理，从而在复习课中以知识为载体，帮助考生形成直观想象。
2.多题一解，着眼横向关联，搭建互通解题平台。
近年来，许多平面向量问题在呈现方式上都明确了图形中已知的角、已知的向量数量积关系，要求考生会求得其中的参量。
例如：2013、2014、2017年天津卷中，像这种共性突出的题目复现，为教学提供了多题一解的复习素材。在教學中，教师注重帮助考生能够把几何语言转换成代数语言，运用函数与方程的数学思想，可以深化数学思维的训练，同时以高考真题为复习背景，创设适宜的情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，可以帮助考生识破考题真相，抓住重点，了解知识关联，搭建合理的解题平台，实现准确、快捷的解题目的。这种在事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征的过程也正是数学抽象素养的再提升。
（三）突显核心，提升数学素养
在高考复习中，教师要突出平面向量复习的载体功能，体现数学学科的核心素养。通过系统的复习训练和知识方法应用的过程，逐步形成、发展和优化考生的数学思维品质和关键能力，积累从形到数、再从数到形的活动经验，养成以简驭繁思考问题的习惯，训练考生熟练地使用数学语言表达问题，提高科学地运用数学方法解决问题的素养。
从题目图形的呈现方式和问题解决的路径选择上都显得格外灵活有趣、综合复杂，解决此题需要考生数学地抽象出本质特征，形成理性的思维，准确地理解题意，清晰地表达解决过程，在有序多级的解题系统中解决问题。
三、素养导向，系统落实
面对新课程，数学教学改革在即。高考数学的评价不仅关注学生知识技能的掌握，而且关注数学核心素养的形成和发展。因为，数学核心素养的形成不仅是学生自主学习和教师教学活动的要求，而且是相应考试命题的依据。这样，教师在高考复习中就不该单纯地指向提高考生的学业成绩，而是应该把握高考复习的过程，在帮助学生提高数学素养上下功夫，从而帮助考生在完成高中数学课程学习后收获优秀的学业表现，更加有利于充分挖掘数学学科的育人价值，全面落实立德树人的根本任务。
数学核心素养体现在“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”四个方面，它们也是教与学过程中相互作用相互依赖的四个要素。笔者以上述的四个方面为主线，以复习高中数学平面向量为例，进行了攻克复习难点、落实数学核心素养的粗浅探索。
结合高中数学平面向量的复习策略的研究探讨，笔者建议教师在组织高考复习中要关注几个重点操作：一是精选关联情境。教师要在适当的情境下，引导学生识别、抽象出数学问题;二是耐心鼓励学生。教师要把问题交给学生的同时，交给学生解决问题的主动权，不做知识方法的代言人，要促成学生积极自主地构建相关数学知识之间的联系，选择和运用适切的数学方法解决问题;三是善于开放课堂。教师要有意识地把课堂还给学生，舍得把时间还给他们思考，把空间留给他们交流，为学生提供表达的平台，捕捉他们思维的火花，在不断试错纠错的打磨中使学生形成规范化思考问题的品质，学会精准地运用数学语言进行表达，在交流中主旨明确语言规范。
因此，在数学学科的高考复习中，以数学学科素养为复习导向，通过制定科学合理的高考复习质量要求，可以促进考生在不同复习内容中实现数学学科核心素养水平的达成;通过扎实牢靠的考前系统训练，帮助考生攻克难点，把知识技能的掌握与数学学科核心素养的达成进行有机结合。
（责任编辑徐德明）
一、认清难点，分析成因
（一）平面向量的教学被公认为难点
数学学科核心素养中涉及数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。这些数学学科核心素养既相对独立，又相互交融，是一个有机的整体。笔者发现运用“平面向量”的基础知识、基本方法解决问题，要求学生适度整合自身具备的六大核心素养，也正是由于这样的融合性对于教学而言便构成了难点。
（二）平面向量的复习被公认为难点
就解决平面向量问题需要的知识、方法、技能、素养而言，要求学生知识、方法综合性强，思维水平、数学素养程度高的特点。因此，在高三数学复习课中进行平面向量的复习，不仅需要考生明确复习中温故的基本意图（即熟识平面向量基础知识、基本方法），而且需要达到复习后知新的预设目的（即提升考生数学能力层次以及数学素养水平）。
在高考复习中，攻克“平面向量”这一难点所实施的教学，不仅可以帮助考生在考场上赢得分数和信心，而且可以契合数学学科的育人功能，发展学生必备的数学素养。
二、策略复习，精准克难
（一）回归教材，筑牢基础知识
高考复习中回归教材，理清知识发展脉络，有助于帮助考生运用平面向量解决数学问题。历年的高考真题、各区的模拟题目表述中用语严谨、考点清晰，而且分析出这类题目的共同特点是：从考查的内容到解决问题的思路，点点滴滴都是教材知识方法的再现和重组。
大量的平面向量问题是以学生熟悉的平面图形为载体，清晰地描述了向量之间的线性关系，从而提出问题。笔者建议，教师可以选择市区级学业测试中的题目作为复习例题，避免简单重复地机械训练，它们在形式和内容上都区别于课本中已有的例题、习题。这样，既可以让考生在新的背景下进行直观想象、数学抽象、推理运算的训练，又可以落实关于“用图形探索解决问题的思路，形成数形结合的思想”的课程理念。
此外，运用平面几何知识对于具有共线关系的向量直接表示，可以提高解题效率，赢得考场上宝贵的解题时间。因此，在复习课中，不仅需要依托基本内容训练考生熟练掌握通法，而且需要积极引导考生深入细致地分析图形中几何元素之间的关系，发展他们空间想象能力和抽象概括能力，提升其数学素养。
（二）研讨真题，熟识基本方法
研讨高考真题（指普通高等学校招生全国统一考试数学卷中的试题），把题目训练的意图和解决问题过程中呈现的思维特征附加上明确的标志，可以唤醒考生重新认识和掌握基本方法，促使他们主动选择、运用适切的方法解决问题。
1.一题多解，提供纵向对比，优化认知结构。
例如：在2016年天津卷中，平面向量问题是以等边三角形中位线为基础图形建立的数学模型，学生在解决问题时，由于个体所熟识的基础知识、基本方法存在的差异，就会萌生不一样的解题思路，分别选择定义法、基底法、坐标法进行求解。这样，教师在复习课中，不仅需要训练考生熟练地将几何图形与实数的巧妙结合，即通过对数的关系与空间形式的抽象，实现数学抽象素养的有效培养，而且需要帮助考生不断地甄别这三种方法各自的优长，明确这三种思路的意义，熟练地进行各种方法之间的转换与变通。运用发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，进行探索，形成论证思路，进行数学推理，从而在复习课中以知识为载体，帮助考生形成直观想象。
2.多题一解，着眼横向关联，搭建互通解题平台。
近年来，许多平面向量问题在呈现方式上都明确了图形中已知的角、已知的向量数量积关系，要求考生会求得其中的参量。
例如：2013、2014、2017年天津卷中，像这种共性突出的题目复现，为教学提供了多题一解的复习素材。在教學中，教师注重帮助考生能够把几何语言转换成代数语言，运用函数与方程的数学思想，可以深化数学思维的训练，同时以高考真题为复习背景，创设适宜的情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质，可以帮助考生识破考题真相，抓住重点，了解知识关联，搭建合理的解题平台，实现准确、快捷的解题目的。这种在事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，用数学语言予以表征的过程也正是数学抽象素养的再提升。
（三）突显核心，提升数学素养
在高考复习中，教师要突出平面向量复习的载体功能，体现数学学科的核心素养。通过系统的复习训练和知识方法应用的过程，逐步形成、发展和优化考生的数学思维品质和关键能力，积累从形到数、再从数到形的活动经验，养成以简驭繁思考问题的习惯，训练考生熟练地使用数学语言表达问题，提高科学地运用数学方法解决问题的素养。
从题目图形的呈现方式和问题解决的路径选择上都显得格外灵活有趣、综合复杂，解决此题需要考生数学地抽象出本质特征，形成理性的思维，准确地理解题意，清晰地表达解决过程，在有序多级的解题系统中解决问题。
三、素养导向，系统落实
面对新课程，数学教学改革在即。高考数学的评价不仅关注学生知识技能的掌握，而且关注数学核心素养的形成和发展。因为，数学核心素养的形成不仅是学生自主学习和教师教学活动的要求，而且是相应考试命题的依据。这样，教师在高考复习中就不该单纯地指向提高考生的学业成绩，而是应该把握高考复习的过程，在帮助学生提高数学素养上下功夫，从而帮助考生在完成高中数学课程学习后收获优秀的学业表现，更加有利于充分挖掘数学学科的育人价值，全面落实立德树人的根本任务。
数学核心素养体现在“情境与问题”“知识与技能”“思维与表达”“交流与反思”四个方面，它们也是教与学过程中相互作用相互依赖的四个要素。笔者以上述的四个方面为主线，以复习高中数学平面向量为例，进行了攻克复习难点、落实数学核心素养的粗浅探索。
结合高中数学平面向量的复习策略的研究探讨，笔者建议教师在组织高考复习中要关注几个重点操作：一是精选关联情境。教师要在适当的情境下，引导学生识别、抽象出数学问题;二是耐心鼓励学生。教师要把问题交给学生的同时，交给学生解决问题的主动权，不做知识方法的代言人，要促成学生积极自主地构建相关数学知识之间的联系，选择和运用适切的数学方法解决问题;三是善于开放课堂。教师要有意识地把课堂还给学生，舍得把时间还给他们思考，把空间留给他们交流，为学生提供表达的平台，捕捉他们思维的火花，在不断试错纠错的打磨中使学生形成规范化思考问题的品质，学会精准地运用数学语言进行表达，在交流中主旨明确语言规范。
因此，在数学学科的高考复习中，以数学学科素养为复习导向，通过制定科学合理的高考复习质量要求，可以促进考生在不同复习内容中实现数学学科核心素养水平的达成;通过扎实牢靠的考前系统训练，帮助考生攻克难点，把知识技能的掌握与数学学科核心素养的达成进行有机结合。
（责任编辑徐德明）