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有些数学问题，我们可以从其形式着手，通过充分的联想与适当的构造使其得以转化，从而用熟悉的知识与方法来解决新问题。如果在平时的教学中，我们能恰当、适时地进行这方面的训练，不仅可以培养学生思维的自由性、创新性，还可以提供多渠道的解题途径，更能提高学生学习数学的兴趣，激发学生探索、创新的欲望。下面笔者通过一些例题来谈谈在这方面的认识。
例1.已知a、b、c∈R ，且a b c=1，求证abc ■≥27■。
分析：把所证的等式构造成abc ■≥27 ■,从而联想到函数f(x)=x ■(x∈(0，1)),由于f’(x)=1-■=■＜0,故f(x)在(0:1)上递减。又因为abc≤(■)3=■，所以f(abc)≥f(■)，即abc ■≥27 ■，问题得证。
例2.已知x2 y2=9，a2 b2=16:(x，y，a，b∈R)，求ax by的最值。
分析：此类问题通常可用圆的参数方程来解，但由ax by联想到向量的数量积，构造m=(x，y)，n=(a，b):则mn=ax by，由ax by=mn≤mn=■ ■=12，可知-12≤ax by≤12，故ax by的最小值是-12，最大值是12。
例3.解方程：■-■=3x 2。
分析：把方程构造成：■ (-■)=2■，从而联想等差数列，设公差为d，则有：
■=■-d(1)-■2=■ d(2)
由(1)2-(2)2得：-2(3x 2)=-2(3x 2)d，得d=1或x=-■。把d=1代入（1）式得x=■(2±2■)，是增根，舍去。而x=-■符合要求，所以原方程的根为x=-■。
例4.已知x∈R，求
■ ■的最小值。
分析：
方法一：构造■=■:
■=■，从而联想到两点之间的距离，原问题可理解为求点p(x，o)到点A(2，3)与点B(6，1)之间的距离之和的最小值，很明显作点A(2，3)关于x轴的对称点A’(2:-3)，则A’B=■=4■，由PA PB=PA’ PB≥A’B=4■，可知
■ ■≥4■，因此，原式的最小值为4■。
方法二：构造■=■，■=■，从而联想到向量的模，可设a=(x-2，3):b=(6-x，1)，由a b≥a b=4■，可知■ ■≥4■。
例5.已知x，y，z∈R ，且■ ■ ■=2，求■ ■ ■的最大值。
分析：由■ ■ ■=2易得■ ■ ■=1，根据欲求式子的形式，可联想到随机变量的方差，设随机变量的分布列为
x■y■ z■ ■ ■则Ex=■ ■ ■，Ex2=■ ■ ■=2，根据Dx=Ex2-(Ex)2≥0，得2-(Ex)2≥0，即Ex≤■，故■ ■ ■≤■，因此，原式的最大值为■。
例6.已知x，y满足(x-2)2 (y-3)2=1。
（1）求■的取值范围。
（2）求3x-4y-14的最大值与最小值。
分析：（1）构造■=■，联想到两点所在的直线斜率公式，它表示点P(x，y)与点Q(-3，-1)所在的直线斜率，而点P在圆(x-2)2 (y-3)2=1上任意移动，很明显，当直线PQ与圆相切时，两直线的斜率分别取最大值与最小值。设直线PQ的方程为y 1=k(x 3)，即kx-y 3k-1=0，圆心（2，3）到直线PQ的距离为1，即■=1，求得k=±■，于是■的取值范围是
■，■■。
（2）构造3x-4y-14=5■，从而联想到点到直线的距离，原问题转化为求圆(x-2)2 (y-3)2=1的点到直线3x-4y-14=0的距离的最大值与最小值，而圆心（2，3）到直线3x-4y-14=0的距离d=■=■=4，所以圆上的点到直线的最大距离为d r=4 1=5，最小距离为d-r=4-1=3，因此3x-4y-14的最大值为25，最小值为15。
从上述诸例可见，根据问题的形式，联想所学过的知识与方法，灵活巧妙地进行构造，是从形似转化为神似的关键。
（作者单位：江西省萍乡市莲花中学）
例1.已知a、b、c∈R ，且a b c=1，求证abc ■≥27■。
分析：把所证的等式构造成abc ■≥27 ■,从而联想到函数f(x)=x ■(x∈(0，1)),由于f’(x)=1-■=■＜0,故f(x)在(0:1)上递减。又因为abc≤(■)3=■，所以f(abc)≥f(■)，即abc ■≥27 ■，问题得证。
例2.已知x2 y2=9，a2 b2=16:(x，y，a，b∈R)，求ax by的最值。
分析：此类问题通常可用圆的参数方程来解，但由ax by联想到向量的数量积，构造m=(x，y)，n=(a，b):则mn=ax by，由ax by=mn≤mn=■ ■=12，可知-12≤ax by≤12，故ax by的最小值是-12，最大值是12。
例3.解方程：■-■=3x 2。
分析：把方程构造成：■ (-■)=2■，从而联想等差数列，设公差为d，则有：
■=■-d(1)-■2=■ d(2)
由(1)2-(2)2得：-2(3x 2)=-2(3x 2)d，得d=1或x=-■。把d=1代入（1）式得x=■(2±2■)，是增根，舍去。而x=-■符合要求，所以原方程的根为x=-■。
例4.已知x∈R，求
■ ■的最小值。
分析：
方法一：构造■=■:
■=■，从而联想到两点之间的距离，原问题可理解为求点p(x，o)到点A(2，3)与点B(6，1)之间的距离之和的最小值，很明显作点A(2，3)关于x轴的对称点A’(2:-3)，则A’B=■=4■，由PA PB=PA’ PB≥A’B=4■，可知
■ ■≥4■，因此，原式的最小值为4■。
方法二：构造■=■，■=■，从而联想到向量的模，可设a=(x-2，3):b=(6-x，1)，由a b≥a b=4■，可知■ ■≥4■。
例5.已知x，y，z∈R ，且■ ■ ■=2，求■ ■ ■的最大值。
分析：由■ ■ ■=2易得■ ■ ■=1，根据欲求式子的形式，可联想到随机变量的方差，设随机变量的分布列为
x■y■ z■ ■ ■则Ex=■ ■ ■，Ex2=■ ■ ■=2，根据Dx=Ex2-(Ex)2≥0，得2-(Ex)2≥0，即Ex≤■，故■ ■ ■≤■，因此，原式的最大值为■。
例6.已知x，y满足(x-2)2 (y-3)2=1。
（1）求■的取值范围。
（2）求3x-4y-14的最大值与最小值。
分析：（1）构造■=■，联想到两点所在的直线斜率公式，它表示点P(x，y)与点Q(-3，-1)所在的直线斜率，而点P在圆(x-2)2 (y-3)2=1上任意移动，很明显，当直线PQ与圆相切时，两直线的斜率分别取最大值与最小值。设直线PQ的方程为y 1=k(x 3)，即kx-y 3k-1=0，圆心（2，3）到直线PQ的距离为1，即■=1，求得k=±■，于是■的取值范围是
■，■■。
（2）构造3x-4y-14=5■，从而联想到点到直线的距离，原问题转化为求圆(x-2)2 (y-3)2=1的点到直线3x-4y-14=0的距离的最大值与最小值，而圆心（2，3）到直线3x-4y-14=0的距离d=■=■=4，所以圆上的点到直线的最大距离为d r=4 1=5，最小距离为d-r=4-1=3，因此3x-4y-14的最大值为25，最小值为15。
从上述诸例可见，根据问题的形式，联想所学过的知识与方法，灵活巧妙地进行构造，是从形似转化为神似的关键。
（作者单位：江西省萍乡市莲花中学）