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[摘要]本文针对一类属性值为区间数、精确数、语言值的混合多属性群决策问题，基于个体对方案评价属性的差异，提出了基于评价属性差异的混合多属性群决策。首先，应用转换函数，将区间数、精确数、三角模糊数、语言值转换为二元语义的评价信息。接着，针对每个决策者的评价矩阵，找出各决策者的理想方案，利用TOPSIS方法求得每个方案与理想方案的相对贴近度，将决策者的偏好向量集结为群体的偏好向量。然后，根据群体的偏好向量对方案进行排序。最后，给出了一个实例论证该研究问题的实际意义和理论价值。
[关键词]混合多属性；TOPSIS；理想解；群决策
1.引言
随着现代社会的快速发展，社会经济活动的各类决策问题越来越复杂，这导致了在决策时会考虑问题的多个方面，从而促进了多属性（准则）决策理论和方法的迅速发展。在决策过程中，由于问题比较复杂，再加上决策者的知识、经验不足，单个决策很难做出正确的选择。为了减少错误，很多决策问题需要多位决策者共同参与，制定出群体一致满意的方案。因此，多属性群体共识的研究成为决策科学中的一个重要的研究领域。
在实际决策过程中，由于问题的复杂性，许多问题既有定性的属性，又有定量的属性，再加上人类思维的模糊性和不确定性，决策者很难用精确的实数来表示评价信息。对混合多属性群体决策问题的研究已经取得了很大的进展：刘培德研究了混合多属性决策问题，并提出了将区间数、精确实数、三角模糊数等转换为二元语义的新方法，并给出了算例说明方法的有效性[3]；夏勇其等学者研究了精确数、区间数和模糊数指标相结合的混合多属性决策问题，提出了一种基于理想点的多属性决策模型，给出具体的决策方法和过程[4]；徐泽水研究了属性完全未知的多属性决策问题，利用一些方法获得属性的权重信息，建立一个优化模型的基础上的理想点的属性值，属性权重可确定[7]；梁昌勇等研究了一种属性权重未知的混合型多属性决策模型，把区间数和模糊数转化成精确数得到规范的决策矩阵，建立了具有柔性的客观权重模型，把客观权重和主观权重线性合成为综合权重[9]。
在关于多属性群体决策的大量研究成果中，所有的决策者在评价属性（准则）上已经达成了共识，即在既定的共同属性集下对方案进行评价。然而，在现实决策问题中，考虑到每个决策者都有各自的性格特征，会考虑到各自的利益，在评价标准方面存在差异。因此，本文提出了基于评价属性差异的混合多属性群决策。
2.问题描述与基本定义
假设决策方案有m个，记为X={x1，x2，…，xm}（m≥2）；决策者的集合为DM={dm1，dm2， …，dmt}（t≥2），决策者的权重集合为。设分别表示决策者的评价属性集，属性权重未知。对于决策者dmk而言，方案xi在属性j下的评价值为，矩阵称为评价矩阵。
定义1若为语言评价集，实数为语言评价信息集S经过集结得到的实数，其中g+1为语言评价信息集S中元素的个数，则β可由如下函数△表示为二元语义信息。
其中，round（.） 为四舍五入取整算子，sj是最接近β的语言评价，αi表示符号转移值。在实际应用中5≤g≤15，本文中取g=8，（（0，0，0.125），（0，0.125，0.25），（0.125，0.25，0.375），（0.25，0.375，0.5），（0.375，0.5，0.625），（0.5，0.625，0.75），（0.625，0.75，0.875），（0.75，0.875，1），（0.875，1，1）），S所表示的语言评价集合为：{绝对差，极差，非常差，差，一般，好，非常好，极好，绝对好}。
定义2设（Si，αi）是一个二元语义，其中si为S中第i个元素，，则存在一个逆函数△-1，使其转换为相应的数值：
定义3设为任意的两个二元语义的评价信息，则两者之间的距离为：
定义4R+表示大于等于零的实数，称闭区间α=[αL，αU]为区间数，其中αL，αU∈R+，且αL≤αU，αL，αU分别表示区间数的左端点、右端点，当αL=αU时区间数α为精确实数。
定义5设表示一个三角模糊数，其隶属函数为
其中，它们表示模糊的程度，并且越大，模糊程度越强。
定义6设I表示精确实数，区间数，三角模糊数，通过下面的公式可以将I转换为二元语义信息：
其中分别表示I和Si的隶属度函数。
定义7设表示的是数I（精确实数，区间数，三角模糊数），通过下面的公式可以将转换为二元语义的代表数量：
3.决策方法
本文应用Yoon和Hwang提出的TOPSIS方法，得到个体对方案的偏好，再利用集结算子得到群体的偏好。TOPSIS方法假设每个属性的效用是单调的，构造两个虚拟的方案X+和X-分别表示正理想方案与负理想方案，正理想方案的解由所有可能的最优属性值构成，负理想方案的解由所有可能的最差属性值构成。计算每个方案与正理想方案、负理想方案在n维空间的欧式距离，同时考虑到正理想解与负理想解的距离来判断方案的优劣。对决策者dmk而言，方案的选择过程的具体求解步骤如下：
步骤1：利用转换函数将评价信息转换二元语义的评价信息。
步骤2：确定正理想方案与负理想方案的解。在决策者的评价矩阵中，令两个假设的方案Xk+，Xk-表示正理想方案与负理想方案，则正理想方案和负理想方案的解可以表示如下：
正理想方案的解：
负理想方案的解：
步骤3：计算每个方案与正理想方案与负理想方案的距离。对于决策者dmk而言，方案xi与正理想方案Xk+的距离为
同样的，可以得到方案xi与负理想方案Xk-的距离为
步骤4：建立线性规划模型，求解每个属性的权重。对于每个方案，与正理想方案Xk+的距离越小，方案越优；与负理想方案Xk-的距离越大，方案越优。为此，对于方案xi而言，建立如下线性规划模型： 由于每个方案都是公平竞争，每个方案与正理想方案的距离均来自同一组权系数，因此，建立求解混合指标体系权系数的模型：
引入拉格朗日函数：
令，解得混合指标体系权系数：
步骤5：计算与理想解相对贴近度。由于所选择的与正理想解Euclid距离最小的方案到负理想解的距离也比其他方案到负理想解的距离小，这就很难判断所选择方案的优劣。因此，TOPSIS通过理想解的相对贴近度，同时考虑到理想解和负理想解的距离来判断方案的优劣。xi与Xk+的相对接近程度定义为：
步骤6：计算群体对方案k的偏好：
4.实例分析
在供应链管理中，供应商的选择是整个供应链的源头，在交货、产品质量、提前期、库存水平、产品设计等方面都影响着制造商的成功与否。因此，制造商在选择供应商的时候不仅仅考虑价格，而且更注重选择在优质服务、技术革新、市场前景等方面良好的供应商。在实际选择过程中，必须综合考虑供应商的所有主要因素。在本文中，主要考虑了采购部门、生产部门、技术部门、销售部门四个部门，每个部门派出一位决策者参与供应商的选择。决策者的权重集合。决策者dm的评价属性集合为；决策者dm的评价属性集合为；决策者dm的评价属性集合为；决策者dm的评价属性集合为。4位决策者各自的评价矩阵为：
步骤1：用公式（5）、（6）将4位决策者的评价信息转换为二元语义的评价信息。
步骤2：确定每个决策者正理想方案与负理想方案的解。
决策者dm1的正负理想解为：； 。同理，可得到决策者dm2，dm3，dm4的正负理想解。
步骤3：求解每个评价属性的权重。
步骤4：计算每个方案与正理想方案相对贴近度，并对方案排序。
步骤5：计算群体偏好。
，因此群体的方案排序：
5.结论
本文针对每个决策者给出各自的评价属性以及属性权重未知的混合型群决策问题，将混合型的评价值转换为二元语义的评价信息，提出了一种新的基于TOPSIS的群决策方法。首先，将评价信息转换为二元语义的评价值，用一种类型的值表达个体的偏好。接着，利用TOPSIS方法建立每个方案与理想方案加权距离的线性规划，求得每个决策者评价属性的权重。然后，根据每个方案与理想方案的相对贴近度对方案进行排序。最后，通过一个供应商的选择算例研究，证明了研究问题的研究意义和实际应用价值。
参考文献
[1]徐玖平，吴巍.多属性决策的理论与方法[M].清华大学出版社，2006.
[2]F.Herrera，L.Martinez.A2-tuple fuzzy linguistic represent model forcomputing with words[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2000，8（6）：746-752.
[3]P.D.Liu. A novel method for hybrid multiple attribute decision making[J].Knowledge-Based Systems ，2009，22 （5） ： 388-391.
[4]夏勇其，吴祈宗.一种混合型多属性决策问题的TOPSIS方法[J].系统工程学，2004，19（6）：630-635.
[5]Z.S.Xu，J.Chen.An interactive method for fuzzy multiple attribute group decision making[J]. Information Sciences， 2007， 177（1）：248-263.
[6]Z.S.Xu. An automatic approach to reaching consensus in multiple attribute group decision making[J]. Computers &IndustrialEngineering，2009，56（4）： 1369-1374.
[7]Z.S.Xu. A method for multiple attribute decision making with incomplete weight information in linguistic setting[J].Knowledge-Based Systems，2008，21（8）：837-841.
[8]Z.S.Xu. An interactive procedure for linguistic multiple attribute decision making with incomplete weight information [J]. Fuzzy Optimization Decision Making，2007，6（1）：17-27.
[9]梁昌勇，吴坚，陆文星.一种新的混合型多属性决策方法及在供应商选择中的应用[J].中国管理科学，2006，14（6）：71-77.
[10]F. Herrera，L. Martinez. An approach for combing linguistic and numerical information based on the 2-tuple fuzzy linguistic representation model in decision making[J].International Journal of Uncertainty， Fuzziness and Knowledge-Based Systems， 2000， 8（ 5） ：539-562.
[11]F. Herrera， L. Martinez， P.J. Sanchez. Managing non-Homogeneous information in group decision making[J].European Journal of Operational Research ，2005，166 （11）： 115-132.
作者简介
陈康（1989-），男，四川资阳人，硕士，四川大学商学院管理科学与工程，研究方向：管理科学。
[关键词]混合多属性；TOPSIS；理想解；群决策
1.引言
随着现代社会的快速发展，社会经济活动的各类决策问题越来越复杂，这导致了在决策时会考虑问题的多个方面，从而促进了多属性（准则）决策理论和方法的迅速发展。在决策过程中，由于问题比较复杂，再加上决策者的知识、经验不足，单个决策很难做出正确的选择。为了减少错误，很多决策问题需要多位决策者共同参与，制定出群体一致满意的方案。因此，多属性群体共识的研究成为决策科学中的一个重要的研究领域。
在实际决策过程中，由于问题的复杂性，许多问题既有定性的属性，又有定量的属性，再加上人类思维的模糊性和不确定性，决策者很难用精确的实数来表示评价信息。对混合多属性群体决策问题的研究已经取得了很大的进展：刘培德研究了混合多属性决策问题，并提出了将区间数、精确实数、三角模糊数等转换为二元语义的新方法，并给出了算例说明方法的有效性[3]；夏勇其等学者研究了精确数、区间数和模糊数指标相结合的混合多属性决策问题，提出了一种基于理想点的多属性决策模型，给出具体的决策方法和过程[4]；徐泽水研究了属性完全未知的多属性决策问题，利用一些方法获得属性的权重信息，建立一个优化模型的基础上的理想点的属性值，属性权重可确定[7]；梁昌勇等研究了一种属性权重未知的混合型多属性决策模型，把区间数和模糊数转化成精确数得到规范的决策矩阵，建立了具有柔性的客观权重模型，把客观权重和主观权重线性合成为综合权重[9]。
在关于多属性群体决策的大量研究成果中，所有的决策者在评价属性（准则）上已经达成了共识，即在既定的共同属性集下对方案进行评价。然而，在现实决策问题中，考虑到每个决策者都有各自的性格特征，会考虑到各自的利益，在评价标准方面存在差异。因此，本文提出了基于评价属性差异的混合多属性群决策。
2.问题描述与基本定义
假设决策方案有m个，记为X={x1，x2，…，xm}（m≥2）；决策者的集合为DM={dm1，dm2， …，dmt}（t≥2），决策者的权重集合为。设分别表示决策者的评价属性集，属性权重未知。对于决策者dmk而言，方案xi在属性j下的评价值为，矩阵称为评价矩阵。
定义1若为语言评价集，实数为语言评价信息集S经过集结得到的实数，其中g+1为语言评价信息集S中元素的个数，则β可由如下函数△表示为二元语义信息。
其中，round（.） 为四舍五入取整算子，sj是最接近β的语言评价，αi表示符号转移值。在实际应用中5≤g≤15，本文中取g=8，（（0，0，0.125），（0，0.125，0.25），（0.125，0.25，0.375），（0.25，0.375，0.5），（0.375，0.5，0.625），（0.5，0.625，0.75），（0.625，0.75，0.875），（0.75，0.875，1），（0.875，1，1）），S所表示的语言评价集合为：{绝对差，极差，非常差，差，一般，好，非常好，极好，绝对好}。
定义2设（Si，αi）是一个二元语义，其中si为S中第i个元素，，则存在一个逆函数△-1，使其转换为相应的数值：
定义3设为任意的两个二元语义的评价信息，则两者之间的距离为：
定义4R+表示大于等于零的实数，称闭区间α=[αL，αU]为区间数，其中αL，αU∈R+，且αL≤αU，αL，αU分别表示区间数的左端点、右端点，当αL=αU时区间数α为精确实数。
定义5设表示一个三角模糊数，其隶属函数为
其中，它们表示模糊的程度，并且越大，模糊程度越强。
定义6设I表示精确实数，区间数，三角模糊数，通过下面的公式可以将I转换为二元语义信息：
其中分别表示I和Si的隶属度函数。
定义7设表示的是数I（精确实数，区间数，三角模糊数），通过下面的公式可以将转换为二元语义的代表数量：
3.决策方法
本文应用Yoon和Hwang提出的TOPSIS方法，得到个体对方案的偏好，再利用集结算子得到群体的偏好。TOPSIS方法假设每个属性的效用是单调的，构造两个虚拟的方案X+和X-分别表示正理想方案与负理想方案，正理想方案的解由所有可能的最优属性值构成，负理想方案的解由所有可能的最差属性值构成。计算每个方案与正理想方案、负理想方案在n维空间的欧式距离，同时考虑到正理想解与负理想解的距离来判断方案的优劣。对决策者dmk而言，方案的选择过程的具体求解步骤如下：
步骤1：利用转换函数将评价信息转换二元语义的评价信息。
步骤2：确定正理想方案与负理想方案的解。在决策者的评价矩阵中，令两个假设的方案Xk+，Xk-表示正理想方案与负理想方案，则正理想方案和负理想方案的解可以表示如下：
正理想方案的解：
负理想方案的解：
步骤3：计算每个方案与正理想方案与负理想方案的距离。对于决策者dmk而言，方案xi与正理想方案Xk+的距离为
同样的，可以得到方案xi与负理想方案Xk-的距离为
步骤4：建立线性规划模型，求解每个属性的权重。对于每个方案，与正理想方案Xk+的距离越小，方案越优；与负理想方案Xk-的距离越大，方案越优。为此，对于方案xi而言，建立如下线性规划模型： 由于每个方案都是公平竞争，每个方案与正理想方案的距离均来自同一组权系数，因此，建立求解混合指标体系权系数的模型：
引入拉格朗日函数：
令，解得混合指标体系权系数：
步骤5：计算与理想解相对贴近度。由于所选择的与正理想解Euclid距离最小的方案到负理想解的距离也比其他方案到负理想解的距离小，这就很难判断所选择方案的优劣。因此，TOPSIS通过理想解的相对贴近度，同时考虑到理想解和负理想解的距离来判断方案的优劣。xi与Xk+的相对接近程度定义为：
步骤6：计算群体对方案k的偏好：
4.实例分析
在供应链管理中，供应商的选择是整个供应链的源头，在交货、产品质量、提前期、库存水平、产品设计等方面都影响着制造商的成功与否。因此，制造商在选择供应商的时候不仅仅考虑价格，而且更注重选择在优质服务、技术革新、市场前景等方面良好的供应商。在实际选择过程中，必须综合考虑供应商的所有主要因素。在本文中，主要考虑了采购部门、生产部门、技术部门、销售部门四个部门，每个部门派出一位决策者参与供应商的选择。决策者的权重集合。决策者dm的评价属性集合为；决策者dm的评价属性集合为；决策者dm的评价属性集合为；决策者dm的评价属性集合为。4位决策者各自的评价矩阵为：
步骤1：用公式（5）、（6）将4位决策者的评价信息转换为二元语义的评价信息。
步骤2：确定每个决策者正理想方案与负理想方案的解。
决策者dm1的正负理想解为：； 。同理，可得到决策者dm2，dm3，dm4的正负理想解。
步骤3：求解每个评价属性的权重。
步骤4：计算每个方案与正理想方案相对贴近度，并对方案排序。
步骤5：计算群体偏好。
，因此群体的方案排序：
5.结论
本文针对每个决策者给出各自的评价属性以及属性权重未知的混合型群决策问题，将混合型的评价值转换为二元语义的评价信息，提出了一种新的基于TOPSIS的群决策方法。首先，将评价信息转换为二元语义的评价值，用一种类型的值表达个体的偏好。接着，利用TOPSIS方法建立每个方案与理想方案加权距离的线性规划，求得每个决策者评价属性的权重。然后，根据每个方案与理想方案的相对贴近度对方案进行排序。最后，通过一个供应商的选择算例研究，证明了研究问题的研究意义和实际应用价值。
参考文献
[1]徐玖平，吴巍.多属性决策的理论与方法[M].清华大学出版社，2006.
[2]F.Herrera，L.Martinez.A2-tuple fuzzy linguistic represent model forcomputing with words[J].IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2000，8（6）：746-752.
[3]P.D.Liu. A novel method for hybrid multiple attribute decision making[J].Knowledge-Based Systems ，2009，22 （5） ： 388-391.
[4]夏勇其，吴祈宗.一种混合型多属性决策问题的TOPSIS方法[J].系统工程学，2004，19（6）：630-635.
[5]Z.S.Xu，J.Chen.An interactive method for fuzzy multiple attribute group decision making[J]. Information Sciences， 2007， 177（1）：248-263.
[6]Z.S.Xu. An automatic approach to reaching consensus in multiple attribute group decision making[J]. Computers &IndustrialEngineering，2009，56（4）： 1369-1374.
[7]Z.S.Xu. A method for multiple attribute decision making with incomplete weight information in linguistic setting[J].Knowledge-Based Systems，2008，21（8）：837-841.
[8]Z.S.Xu. An interactive procedure for linguistic multiple attribute decision making with incomplete weight information [J]. Fuzzy Optimization Decision Making，2007，6（1）：17-27.
[9]梁昌勇，吴坚，陆文星.一种新的混合型多属性决策方法及在供应商选择中的应用[J].中国管理科学，2006，14（6）：71-77.
[10]F. Herrera，L. Martinez. An approach for combing linguistic and numerical information based on the 2-tuple fuzzy linguistic representation model in decision making[J].International Journal of Uncertainty， Fuzziness and Knowledge-Based Systems， 2000， 8（ 5） ：539-562.
[11]F. Herrera， L. Martinez， P.J. Sanchez. Managing non-Homogeneous information in group decision making[J].European Journal of Operational Research ，2005，166 （11）： 115-132.
作者简介
陈康（1989-），男，四川资阳人，硕士，四川大学商学院管理科学与工程，研究方向：管理科学。