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摘 要 贝叶斯公式是概率论中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。本文从公式的引入、公式的理解、公式的应用三个方面对贝叶斯公式的教学设计进行探讨，并在教学中付诸实践，旨在充分调动学生学习的积极性，引导学生理解公式内涵，达到学以致用的目的。
关键词 贝叶斯公式 教学设计 教学实践
中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.05.025
Abstract Bayesian formula is a very important formula in probability theory， and it is also a difficult point in teaching. The formula of the introduction， instructional design formula of understanding， formula application of Bayesian formula are discussed from the and in teaching into practice， to fully mobilize the enthusiasm of students learning， guide students to understand the connotation of the formula， to apply their knowledge.
Key words Bayesian formula； teaching design； teaching practice
贝叶斯公式是“概率论与数理统计”课程中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。贝叶斯公式是英国学者托马斯·贝叶斯于17世纪最早发现的，之后法国数学家拉普拉斯再次总结，逐渐被人们熟知，并认识到这个公式的重要性。如今，贝叶斯公式已经在疾病诊断、市场预测、信号估计、产品检查等方面都有着重要的应用。
笔者近几年一直从事概率统计的教学工作，在教学中发现，学生学习这部分内容时常常存在畏难情绪，抱怨公式复杂难以理解，即便记住公式也不能灵活应用，针对教学中出现的这一情况，笔者不断总结自己多次教学中的优缺点，发现只有讲透公式的由来及应用背景，通过现实中的实例激发学生的学习兴趣，才能让学生更好地理解接受这部分内容。
1 关于贝叶斯公式的引入
贝叶斯公式是在学习了条件概率、乘法公式和全概率公式之后安排的教学内容。学习新内容之前，需要首先把这三个公式进行复习。
全概率公式解决“知因求果”的情况，遇到“执果探因”的情况又该如何解决？即已知结果事件发生的情况下，寻找导致发生的某个原因的可能性大小，求条件概率（∣）。我们可以从简单的实例出发，引导学生找到解决方法。
例1：有三个箱子都装有红球和绿球，甲箱装有4个红球6个绿球，乙箱装有6个红球4个绿球，丙箱装有5个红球5个绿球，任选一个箱子从中任取一球，结果为红球，问此球取自甲箱的概率是多少？
分析：用表示取出红球，用表示取自甲箱，表示取自乙箱，表示取自丙箱。、、相互独立，、、是样本空间的一个划分
这个例题简单明了，学生容易接受，推导过程也不复杂，绝大部分学生是可以理解的，例1所求的问题就是“执果探因”，利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式，得到（1）式，将（1）式一般化便可得到贝叶斯公式。
2 贝叶斯公式及对公式的理解
贝叶斯公式的证明较为容易，只需根据条件概率、乘法公式和全概率公式便可直接写出。这节的难点在于对贝叶斯公式的理解，在给出定理后，要详细说明定理应用时需要注意的几个方面：
方法一：若完成某项实验需要多个步骤，要求解的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。
如例1中，完成该事件需要两个步骤，步骤1：从三个箱子中任取一个；步骤2：从取出的箱子中任取一球。那么我们就可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即球取自甲箱、球取自乙箱、球取自丙箱。
方法二：如果事件能且只能在原因，，…下发生，且，，…两两互不相容，那么这些原因就是样本空间的一个划分。
例如：甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.6，飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中飞机必定击落，现飞机已经被击落，求飞机是被两人击中而被击落的概率。由于飞机被击落，必然是飞机被一人、二人或三人击中，那么我们就可以设表示飞机被（ = 1，2，3）人击中，则，，就构成了样本空间的一个划分。
第三，关于先验概率与后验概率。假定，，…是导致实验结果的原因，（）称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性大小，一般在实验前已确定。条件概率（∣）称为后验概率，②它反映了实验后，推断各种原因发生的可能性大小，体现了已有信息带来的知识更新，经常用来分析事件发生的原因，而贝叶斯公式就是用来计算后验概率的公式。
3 贝叶斯公式的应用
贝叶斯公式在生活中有着非常广泛的应用，教师在选取例题时要由易到难，贴近生活，让学生有兴趣思考，有意愿自己动手解决。
例2：（疾病诊断）某地区居民癌症发病率为千分之五，用某一试验检查是否患有癌症，患此病且检查结果呈阳性的概率为95%，而未得此病，检查结果却呈阳性的概率是4%。现有一人用此法检验，結果呈阳性，求此人真正患有癌症的概率。
解：设表示检查结果为阳性，表示被检查者患有癌症，表示被检查者没有患病，、构成样本空间的一个划分，所求为（∣）。由已知条件可得： 即若检查结果为阳性此人患癌的概率为10.66%。
分析：如果不做检查，抽查一人，患癌的概率为（） = 0.005；若经过检查，检查结果阳性，患癌的概率为（∣） = 0.1066。从0.005到0.1066增加了将近21倍，说明这种检查试验对于诊断癌症是有意义的。但是，即使检查结果是阳性，真正患癌的概率也只有10.66%，不必过于恐慌，要进行进一步的检测。
例3：（信用问题）某商业银行对创业人群提供小额贷款，某人承诺两年内还清贷款，否则视为不守承诺。假设我们对该人的信任度为0.7，可信的人不遵守承诺的概率为0.1，不可信的人不遵守承诺的概率为0.8。若此人两年内未还清贷款，求银行对此人的信任度为多少？
解：设表示此人不遵守承诺，表示此人可信，表示此人不可信，、构成样本空间的一个划分，所求为（∣）。由已知条件可得：
由此可见，一个人的信任度为0.7，若未及时还清贷款，不遵守承诺一次的情况下，信任度降为0.23，此人的信用程度大打折扣。
提出问题：如果此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准。若此人两年内又未还清贷款，求银行对此人的信任度变为多少？
即若此人两次不遵守承诺，信任度将降为0.036 。如此低的信任度，以后若还想贷款很可能会遭到银行的拒绝。此时提醒学生要珍视自己的信用记录，做一个诚实守信的人。
让学生继续思考：“狼来了”的故事家喻户晓，假如村民起初对小孩的信任度为0.8，我们认为可信的孩子说谎的可能性为0.1，不可信的孩子说谎的可能性为0.6，问孩子第三次喊“狼来了！”的时候村民对他的信任度怎样变化？此题的求解与例4完全类似，学生用新学的知识分析了熟悉的故事，学习兴趣倍增。
4 结语
在贝叶斯公式的教学中，为了解决教学中出现的问题，我们对于公式的讲解给出了新的尝试，除了将公式的证明及对公式的理解讲清楚之外，还将实例穿插于整个教学过程，让学生了解贝叶斯公式在现实生活中的许多应用，提醒学生要善于总结反思。通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用，取得了良好的教学效果。
注释
① 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版[M].）北京：高等教育出版社，2008.
② 涂平，汪昌瑞.概率論与数理统计[M].武汉：华中科技大学出版社，2008.
关键词 贝叶斯公式 教学设计 教学实践
中图分类号：G642 文献标识码：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2016.05.025
Abstract Bayesian formula is a very important formula in probability theory， and it is also a difficult point in teaching. The formula of the introduction， instructional design formula of understanding， formula application of Bayesian formula are discussed from the and in teaching into practice， to fully mobilize the enthusiasm of students learning， guide students to understand the connotation of the formula， to apply their knowledge.
Key words Bayesian formula； teaching design； teaching practice
贝叶斯公式是“概率论与数理统计”课程中非常重要的一个公式，是教学中的重点也是难点。贝叶斯公式是英国学者托马斯·贝叶斯于17世纪最早发现的，之后法国数学家拉普拉斯再次总结，逐渐被人们熟知，并认识到这个公式的重要性。如今，贝叶斯公式已经在疾病诊断、市场预测、信号估计、产品检查等方面都有着重要的应用。
笔者近几年一直从事概率统计的教学工作，在教学中发现，学生学习这部分内容时常常存在畏难情绪，抱怨公式复杂难以理解，即便记住公式也不能灵活应用，针对教学中出现的这一情况，笔者不断总结自己多次教学中的优缺点，发现只有讲透公式的由来及应用背景，通过现实中的实例激发学生的学习兴趣，才能让学生更好地理解接受这部分内容。
1 关于贝叶斯公式的引入
贝叶斯公式是在学习了条件概率、乘法公式和全概率公式之后安排的教学内容。学习新内容之前，需要首先把这三个公式进行复习。
全概率公式解决“知因求果”的情况，遇到“执果探因”的情况又该如何解决？即已知结果事件发生的情况下，寻找导致发生的某个原因的可能性大小，求条件概率（∣）。我们可以从简单的实例出发，引导学生找到解决方法。
例1：有三个箱子都装有红球和绿球，甲箱装有4个红球6个绿球，乙箱装有6个红球4个绿球，丙箱装有5个红球5个绿球，任选一个箱子从中任取一球，结果为红球，问此球取自甲箱的概率是多少？
分析：用表示取出红球，用表示取自甲箱，表示取自乙箱，表示取自丙箱。、、相互独立，、、是样本空间的一个划分
这个例题简单明了，学生容易接受，推导过程也不复杂，绝大部分学生是可以理解的，例1所求的问题就是“执果探因”，利用条件概率公式、乘法公式和全概率公式，得到（1）式，将（1）式一般化便可得到贝叶斯公式。
2 贝叶斯公式及对公式的理解
贝叶斯公式的证明较为容易，只需根据条件概率、乘法公式和全概率公式便可直接写出。这节的难点在于对贝叶斯公式的理解，在给出定理后，要详细说明定理应用时需要注意的几个方面：
方法一：若完成某项实验需要多个步骤，要求解的是某个步骤完成后某个事件发生的概率，则可以依据前面步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分。
如例1中，完成该事件需要两个步骤，步骤1：从三个箱子中任取一个；步骤2：从取出的箱子中任取一球。那么我们就可以根据第一个步骤完成后的所有可能结果对样本空间进行划分，即球取自甲箱、球取自乙箱、球取自丙箱。
方法二：如果事件能且只能在原因，，…下发生，且，，…两两互不相容，那么这些原因就是样本空间的一个划分。
例如：甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为0.4，0.5，0.6，飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而被击落的概率为0.6，若三人都击中飞机必定击落，现飞机已经被击落，求飞机是被两人击中而被击落的概率。由于飞机被击落，必然是飞机被一人、二人或三人击中，那么我们就可以设表示飞机被（ = 1，2，3）人击中，则，，就构成了样本空间的一个划分。
第三，关于先验概率与后验概率。假定，，…是导致实验结果的原因，（）称为先验概率，它反映了各种原因发生的可能性大小，一般在实验前已确定。条件概率（∣）称为后验概率，②它反映了实验后，推断各种原因发生的可能性大小，体现了已有信息带来的知识更新，经常用来分析事件发生的原因，而贝叶斯公式就是用来计算后验概率的公式。
3 贝叶斯公式的应用
贝叶斯公式在生活中有着非常广泛的应用，教师在选取例题时要由易到难，贴近生活，让学生有兴趣思考，有意愿自己动手解决。
例2：（疾病诊断）某地区居民癌症发病率为千分之五，用某一试验检查是否患有癌症，患此病且检查结果呈阳性的概率为95%，而未得此病，检查结果却呈阳性的概率是4%。现有一人用此法检验，結果呈阳性，求此人真正患有癌症的概率。
解：设表示检查结果为阳性，表示被检查者患有癌症，表示被检查者没有患病，、构成样本空间的一个划分，所求为（∣）。由已知条件可得： 即若检查结果为阳性此人患癌的概率为10.66%。
分析：如果不做检查，抽查一人，患癌的概率为（） = 0.005；若经过检查，检查结果阳性，患癌的概率为（∣） = 0.1066。从0.005到0.1066增加了将近21倍，说明这种检查试验对于诊断癌症是有意义的。但是，即使检查结果是阳性，真正患癌的概率也只有10.66%，不必过于恐慌，要进行进一步的检测。
例3：（信用问题）某商业银行对创业人群提供小额贷款，某人承诺两年内还清贷款，否则视为不守承诺。假设我们对该人的信任度为0.7，可信的人不遵守承诺的概率为0.1，不可信的人不遵守承诺的概率为0.8。若此人两年内未还清贷款，求银行对此人的信任度为多少？
解：设表示此人不遵守承诺，表示此人可信，表示此人不可信，、构成样本空间的一个划分，所求为（∣）。由已知条件可得：
由此可见，一个人的信任度为0.7，若未及时还清贷款，不遵守承诺一次的情况下，信任度降为0.23，此人的信用程度大打折扣。
提出问题：如果此人之后再次提出贷款申请，承诺两年内还清贷款，银行批准。若此人两年内又未还清贷款，求银行对此人的信任度变为多少？
即若此人两次不遵守承诺，信任度将降为0.036 。如此低的信任度，以后若还想贷款很可能会遭到银行的拒绝。此时提醒学生要珍视自己的信用记录，做一个诚实守信的人。
让学生继续思考：“狼来了”的故事家喻户晓，假如村民起初对小孩的信任度为0.8，我们认为可信的孩子说谎的可能性为0.1，不可信的孩子说谎的可能性为0.6，问孩子第三次喊“狼来了！”的时候村民对他的信任度怎样变化？此题的求解与例4完全类似，学生用新学的知识分析了熟悉的故事，学习兴趣倍增。
4 结语
在贝叶斯公式的教学中，为了解决教学中出现的问题，我们对于公式的讲解给出了新的尝试，除了将公式的证明及对公式的理解讲清楚之外，还将实例穿插于整个教学过程，让学生了解贝叶斯公式在现实生活中的许多应用，提醒学生要善于总结反思。通过这样的教学方式，极大地调动了学生的学习积极性，既能让学生理解枯燥难懂的定理，又能激发学生的学习兴趣，培养学生思维的深刻性、创造性，让学生能够学以致用，取得了良好的教学效果。
注释
① 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计（第四版[M].）北京：高等教育出版社，2008.
② 涂平，汪昌瑞.概率論与数理统计[M].武汉：华中科技大学出版社，2008.