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摘 要：以经典M/M/c排队模型为基础，把非抢占优先权策略与单重休假、不耐烦顾客策略相结合，构建一个更实际的模型。研究两类顾客数和系统状态的三维马尔科夫链。然后运用矩阵几何解的方法，求解的系统分布，进而给出主要的系统指标表达式。最后通过构建效益函数来优化设计模型，从而得到使系统状态处于最优的参数。
关键词：非抢占优先权；单重休假；不耐烦顾客；矩阵几何解
中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.32.098
0 引言
现实生活中依据顾客的优先级别对顾客进行服务的现象很普遍，例如医院的急诊病人，银行的VIP用户。顾客有优先级别，但服务不具有抢占性。Haviv讨论了一类顾客在进入系统后被随机赋予不同优先级的排队模型。Marks探讨了抢占及非抢占优先权M/M/1排队模型的稳态分布。Wang等讨论了多服务台下的优先权排队模型，重点研究了高优先级顾客的等待时间以及相关影响因素。刘楠等研究了带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率问题。马占友等分析了带抢占优先权和同步多重工作休假的M/M/c排队模型，分析了模型过程，并求出相应的指标。Gao等分析了带有负顾客和不耐烦顾客的可变服务率的可修排队系统。王艳玲研究了带有不耐烦顾客的部分服务台同步单重休假排队系统，求得了系统在统计平衡条件下的稳态分布，条件排队顾客数和顾客条件等待时间的分布。申利民等研究了只允许部分服务台进入休假状态的M/M/c排队系统，在同步单休假策略下，给出了稳态指标分布，证明了已知服务台全忙条件下的随机分解结果。金顺福等构建了具有自适应服务率和多重工作休假的二维连续时间马尔科夫随机模型，运用矩阵几何解，从系统节能水平和用户请求平均延迟方面评估虚拟机调度策略的性能。
1 模型分析
本文主要研究带不耐烦顾客和单重休假的非抢占优先权M/M/c排队模型，系统中顾客分为两个级别，II类顾客较I类顾客有更高的优先类别。其中，I类顾客空间容量不限量，II类顾客容量为d（dc）。该模型具体描绘如下：
（1）假设系统中有两类顾客，记为I类顾客和II类顾客，且到达时间间隔T1、T2分别服从参数为λ1和λ2（λ1， λ2>0）的指数分布，即
（2）I类顾客和II类顾客的服务时间S1、S2分别服从参数为μ1和μ2（μ1，μ2>0）的指数分布，即
（3）当服务完所有顾客且系统中无顾客等待时，服务台进入一次休假。休假结束后发现系统中已有顾客，就开始进入忙期，若没有，服务员就进入闲期，直到有顾客到达时，开始一个新的忙期。休假时间服指数分布，参数为θ，记为V，即
（4）当系统处于休假期间或当所有服务台被II类顾客占用时，II类顾客在系统内的平均等待时间会延长，故变得不耐烦。规定II类顾客从进入系统到离开的这段等待时间为W，服从负指数分布，参数为ν，即
（5）在此排队模型中，II类顾客拥有优先类别但当I类顾客正在服务时，II类顾客不得抢占打断I类顾客的服务。当系统内II类顾客大于d（dc）时，新到的II类顾客消失。
假设L1（t）、L2（t）分别表示I类顾客和II类顾客在t时刻的顾客数，J（t）表示系统服务状态。令
2 性能指標
根据上述分析，我们可以得到I类顾客、II类顾客的平均队长，II类顾客中途退出的概率，系统处于休假的概率等性能指标。
（1）I类顾客的平均队长为：
3 数值例子
在实际探究中发现，一般系统指标与参数之间存在某种关联。本节利用Matlab编写程序，给出参数，用图表描绘系统参数变化对性能指标的影响，令λ1=6，μ1=4，θ=2，d=10，μ2=2。
4 社会最优策略
在本节，我们将依据实际构造社会效益函数，来对比分析两类顾客的均衡行为，并给出系统最优参数。我们定义Rs为服务完一位顾客后的利润，CS服务一个顾客的成本，Cb表示一个II类顾客中途退出对系统造成的损失。则系统的社会利益Us可以表示为：
MS=μSRS-λSEWSCS-CbPC
其中EWS=（EL1/λ1+EL2/λ2）/2，λS=λ1+λ2/2，μS=μ1+μ2/2。通过上式，假设高优先类顾客的潜在服务率为λ2=ξ，将其最优服务率定为λ2*=argmax0<λ2<ξMS。
图3 λ2和c对MS的影响
图3反映了在μ1=6，μ2=4，Rs=20，CS=2，λ1=6，Cb=40时，λ2和c对MS的影响，可知当c不变时，λ2变大时，MS先增大后减小。当λ2固定时，c越大对应的MS越大。由图可得，当c=3时，λ2=5.1可以使MS达到最大；当c=4时，λ2=7.7可以使MS达到最大；当c=5时，λ2=9.5可使MS达到最大。
5 结论
本文研究了带非抢占优先权的M/M/c排队模型，结合不耐烦顾客和休假策略，建立了更切合实际的排队模型。用矩阵几何解的方法得到两类顾客稳态平均队长、服务台休假的概率等重要性能指标。最后使用Matlab刻画出参数改变对性能指标的影响，并通过构造社会效益函数，得到使系统到达最优的服务率。
参考文献
[1]Haviv.The Performance of a Single-Server Queue with Preemptive Random Priorities[J].Performance Evaluation，2016，（103）：6068.
[2]Marks.State Probability of M/M/1 Priority Queues[J].Operational Research，1973，21（4）：974987.
[3]Wang，Baron，Scheller-Wolf.M/M/c Queue with Two Priority Classes[J].Operations Research，2015，63（3）： 733749.
[4]刘楠，岳德权.带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率[J].数学的实践与认识，2015，45（24）：229234.
[5]马占友，王文博.带抢占优先权和同步多重工作休假的M/M/c排队模型[J].重庆师范大学学报（自然科学版），2018，35（3）：96100.
[6]Gao Cui.A Repairable M/M/1/N-G Queue with Impatient Customers and Variant Service Rates[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2015，32（6）：746752.
[7]王艳玲.带有不耐烦顾客的部分服务台同步单重休假M/M/c/K排队系统研究[D].重庆： 重庆师范大学，2008：2535.
[8]申利民，金顺福，田乃硕.部分服务台同步单重休假的M/M/c排队系统[J].运筹学学报，2004，8（3）：7888.
[9]金顺福，郝闪闪，王宝帅.融合双速率和工作休眠的虚拟机调度策略及参数优化[J].通信学报，2017，38（12）：1020.
关键词：非抢占优先权；单重休假；不耐烦顾客；矩阵几何解
中图分类号：TB 文献标识码：A doi：10.19311/j.cnki.16723198.2019.32.098
0 引言
现实生活中依据顾客的优先级别对顾客进行服务的现象很普遍，例如医院的急诊病人，银行的VIP用户。顾客有优先级别，但服务不具有抢占性。Haviv讨论了一类顾客在进入系统后被随机赋予不同优先级的排队模型。Marks探讨了抢占及非抢占优先权M/M/1排队模型的稳态分布。Wang等讨论了多服务台下的优先权排队模型，重点研究了高优先级顾客的等待时间以及相关影响因素。刘楠等研究了带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率问题。马占友等分析了带抢占优先权和同步多重工作休假的M/M/c排队模型，分析了模型过程，并求出相应的指标。Gao等分析了带有负顾客和不耐烦顾客的可变服务率的可修排队系统。王艳玲研究了带有不耐烦顾客的部分服务台同步单重休假排队系统，求得了系统在统计平衡条件下的稳态分布，条件排队顾客数和顾客条件等待时间的分布。申利民等研究了只允许部分服务台进入休假状态的M/M/c排队系统，在同步单休假策略下，给出了稳态指标分布，证明了已知服务台全忙条件下的随机分解结果。金顺福等构建了具有自适应服务率和多重工作休假的二维连续时间马尔科夫随机模型，运用矩阵几何解，从系统节能水平和用户请求平均延迟方面评估虚拟机调度策略的性能。
1 模型分析
本文主要研究带不耐烦顾客和单重休假的非抢占优先权M/M/c排队模型，系统中顾客分为两个级别，II类顾客较I类顾客有更高的优先类别。其中，I类顾客空间容量不限量，II类顾客容量为d（dc）。该模型具体描绘如下：
（1）假设系统中有两类顾客，记为I类顾客和II类顾客，且到达时间间隔T1、T2分别服从参数为λ1和λ2（λ1， λ2>0）的指数分布，即
（2）I类顾客和II类顾客的服务时间S1、S2分别服从参数为μ1和μ2（μ1，μ2>0）的指数分布，即
（3）当服务完所有顾客且系统中无顾客等待时，服务台进入一次休假。休假结束后发现系统中已有顾客，就开始进入忙期，若没有，服务员就进入闲期，直到有顾客到达时，开始一个新的忙期。休假时间服指数分布，参数为θ，记为V，即
（4）当系统处于休假期间或当所有服务台被II类顾客占用时，II类顾客在系统内的平均等待时间会延长，故变得不耐烦。规定II类顾客从进入系统到离开的这段等待时间为W，服从负指数分布，参数为ν，即
（5）在此排队模型中，II类顾客拥有优先类别但当I类顾客正在服务时，II类顾客不得抢占打断I类顾客的服务。当系统内II类顾客大于d（dc）时，新到的II类顾客消失。
假设L1（t）、L2（t）分别表示I类顾客和II类顾客在t时刻的顾客数，J（t）表示系统服务状态。令
2 性能指標
根据上述分析，我们可以得到I类顾客、II类顾客的平均队长，II类顾客中途退出的概率，系统处于休假的概率等性能指标。
（1）I类顾客的平均队长为：
3 数值例子
在实际探究中发现，一般系统指标与参数之间存在某种关联。本节利用Matlab编写程序，给出参数，用图表描绘系统参数变化对性能指标的影响，令λ1=6，μ1=4，θ=2，d=10，μ2=2。
4 社会最优策略
在本节，我们将依据实际构造社会效益函数，来对比分析两类顾客的均衡行为，并给出系统最优参数。我们定义Rs为服务完一位顾客后的利润，CS服务一个顾客的成本，Cb表示一个II类顾客中途退出对系统造成的损失。则系统的社会利益Us可以表示为：
MS=μSRS-λSEWSCS-CbPC
其中EWS=（EL1/λ1+EL2/λ2）/2，λS=λ1+λ2/2，μS=μ1+μ2/2。通过上式，假设高优先类顾客的潜在服务率为λ2=ξ，将其最优服务率定为λ2*=argmax0<λ2<ξMS。
图3 λ2和c对MS的影响
图3反映了在μ1=6，μ2=4，Rs=20，CS=2，λ1=6，Cb=40时，λ2和c对MS的影响，可知当c不变时，λ2变大时，MS先增大后减小。当λ2固定时，c越大对应的MS越大。由图可得，当c=3时，λ2=5.1可以使MS达到最大；当c=4时，λ2=7.7可以使MS达到最大；当c=5时，λ2=9.5可使MS达到最大。
5 结论
本文研究了带非抢占优先权的M/M/c排队模型，结合不耐烦顾客和休假策略，建立了更切合实际的排队模型。用矩阵几何解的方法得到两类顾客稳态平均队长、服务台休假的概率等重要性能指标。最后使用Matlab刻画出参数改变对性能指标的影响，并通过构造社会效益函数，得到使系统到达最优的服务率。
参考文献
[1]Haviv.The Performance of a Single-Server Queue with Preemptive Random Priorities[J].Performance Evaluation，2016，（103）：6068.
[2]Marks.State Probability of M/M/1 Priority Queues[J].Operational Research，1973，21（4）：974987.
[3]Wang，Baron，Scheller-Wolf.M/M/c Queue with Two Priority Classes[J].Operations Research，2015，63（3）： 733749.
[4]刘楠，岳德权.带有不耐烦顾客的M/M/m排队系统的顾客损失率[J].数学的实践与认识，2015，45（24）：229234.
[5]马占友，王文博.带抢占优先权和同步多重工作休假的M/M/c排队模型[J].重庆师范大学学报（自然科学版），2018，35（3）：96100.
[6]Gao Cui.A Repairable M/M/1/N-G Queue with Impatient Customers and Variant Service Rates[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2015，32（6）：746752.
[7]王艳玲.带有不耐烦顾客的部分服务台同步单重休假M/M/c/K排队系统研究[D].重庆： 重庆师范大学，2008：2535.
[8]申利民，金顺福，田乃硕.部分服务台同步单重休假的M/M/c排队系统[J].运筹学学报，2004，8（3）：7888.
[9]金顺福，郝闪闪，王宝帅.融合双速率和工作休眠的虚拟机调度策略及参数优化[J].通信学报，2017，38（12）：1020.