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《数学课程标准》中明确规定:“数学是人类的一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”但是,在实际教学中,由于受到升学的压力等一些现实问题的困扰,很多教师只重视数学知识的传播和解题技能的训练,而忽视了数学在思想、人文、精神等方面内容的涉及,最多只谈一点科学探索精神和缜密推理的负责精神,很少谈到数学文化。新课程的实施使数学文化作为素质教育的主要方面已开始引起人们关注,数学文化在数学教学中的地位、作用和价值正被越来越多的人认可和接受。
苏霍姆林斯基曾深刻地指出:“如果你不想使知识变成僵化的、静止的学问,就要把语言变成一个最主要的创造工具。”数学语言,可分为抽象性数学语言和直观性数学语言,是指表述数学概念、数学名词、术语、定义、定理、法则、公式、思路、方法等的语言。一般有文字语言、符号语言、图形语言三种表达形式。与通常的语言相比,它具有自己鲜明的个性——科学性、简洁性、符号性、抽象概括性等。语言与思维的关系极为密切,抽象思维要借助语言来实现,学生数学语言运用能力的高低将直接影响其数学思维的形成与发展,同时还直接影响着学生对数学知识的掌握程度和后续学习,关系到教学效果的好坏。所以,在教学过程中教师要重视学生数学语言运用能力的培养。
一、明确数学语言的重要性及其表示形式
不少人都有这样的误解:会不会用数学语言问题不大,学会解数学题就行了。这句话本身就是前后矛盾的!因为解数学题时不仅完全要依赖数学语言来思考,依赖数学语言来寻找解题思路和解法,而且还要依赖数学语言来表述解题过程。不掌握数学语言,学生就谈不上达到数学知识与技能、数学过程与方法、数学情感、态度、价值观等教学目标,那根本就学不好数学!此外,还要使学生明白数学语言的特殊性,数学语言不仅仅是文字语言,它还包括符号语言和图形语言,他们经常在同一个数学问题中交错出现,还有一定的隐蔽性,不易被掌握。只要学生明确了数学语言的重要性及其表示形式,就会在学习过程中自觉地进行数学语言运用的训练,从而清除了培养学生数学语言运用能力的思想障碍。
二、用数学语言表述数学基本知识
数学语言运用能力的培养要贯穿于整个教学过程始终。在基本概念、定理、定义、图形等数学基本知识的教学过程中,教师要结合教学内容多让学生进行数学语言表述的基本训练,数学基本知识隐含着很多数学语言表述训练的素材,只要善于发掘和利用,就能使学生既掌握教学内容,又能得到很好的数学语言表述训练,从而有利于培养学生初步的数学语言运用能力。但是,平时的训练并不只是回答口答题或回答老师的提问,因为那只是一种很简单的训练形式,其实还有很多其他的训练形式。
如:线段的垂直平分线的集合定义“线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。”中,如果将“所有”改为“无数”,让学生讨论结果如何?要回答这个问题,学生肯定要经过一定的思考和讨论,从而能使学生既学会表述,又进一步明确数学语言的科学性和严密性。
再如:将定理“一组对边且相等的四边形是平行四边形。”符号化:“如果AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形”,显然这是用数学语言表述定理,而且又是文字语言、符号语言、图形语言同时使用的一个简单实例,当然有利于学生记忆、理解和运用。
三、用数学语言表述数学问题的形成或解决过程
知识的形成过程一般按“形成表象——语言内化——抽象概括”的思维程序进行。任何数学知识都有其形成过程,如果能用数学语言将其形成过程表述清楚,变成学生自己能表述的东西,就相当于弄清了问题的形成过程,也相当于解决了整个问题的一半。而用数学语言表述数学问题的解决过程,既可以使学生检验解题过程是否正确,及时进行查漏补缺,又能使学生进一步理解和掌握解题过程。
四、用数学语言探求数学问题的解题依据
解题依据是解题过程中必不可少的,它有一定的概括性、隐蔽性和针对性,利用数学语言的直观作用,将概括、隐蔽的知识具体化,使思维活动有理有序地进行,既利于寻找依据,又能使解题依据形象化。
如:拼图训练中,为了使学生打破他们平面几何知识的限制,形成空间的多向思维,我先问:用六根长度相等的小棒最多能摆出几个三角形?学生以为这是一个很容易解决的问题,可是,由于受平面知识的限制,多数人只能摆出两个三角形。然后我提示:答案是四个三角形。此时学生对此答案觉得既可疑又好奇,就主动去探讨和寻找解题的依据,不断地动手画图形或拼图形,得到各种各样的图形,最后从四面体中找到答案,这是用图形语言作依据去解决问题的典型例子,从而初步明白了平面问题与空间问题的区别,这样做能起到承前启后的作用。
五、用数学语言探求数学问题的解法
思维方法有分析、综合、比较、抽象、概括等,在思维活动中,这些方法经常是交织在一起的。数学问题有其独特性,需要用数学语言来表述,将其数学化和具体化,而在用数学语言表述数学问题时,可以理顺问题前后之间的关系,加深对问题的理解,更好地把握问题的内在联系,明确问题的实质,从而能更好地帮助学生理清解题的思路,找到解题的办法。当然,数学问题的解法并不一定用数学语言就能找到,它还受其他因素的影响,但是,数学问题的解决最终还是要靠数学语言来完成,所以数学语言对探求解法非常有启发和帮助。
六、探讨数学语言表述的规律
数学是一门系统性和规律性很强的学科,不同的数学知识和数学方法,基本上都有其独特的规律,而数学语言表述也有跟其他语言表述不同的独特规律,规律又是内在的本质的东西,不易被发现和掌握。这需要教师和学生从一些具体的数学事实、数学形象、数学方法等问题的表述中,逐步探索和揭示数学语言表述的规律,逐步形成良好的具有自我特色的语言风格,从而不断提高数学语言表述的水平。
七、掌握三种数学语言形式之间的转化
数学思维具有灵活性,能随机应变,如果想在解题出现思维障碍时能及时调整思维角度和方式,这就要求学生对数学语言的三种表示形式(文字语言、符号语言、图形语言)能正确、灵活地进行转化、“互译”,在一种语言形式下解题出现障碍时,及时地进行语言形式的转化,从另一个角度去寻求解题思路是非常明智之举。通过语言转化,一方面可以加深对题意的理解,使隐蔽条件明显化,使题目中的内在联系从陌生变为熟悉,另一方面可以使思维更灵活,避免死钻牛角尖,容易走出障碍圈。事实上,文字语言需要用符号语言或图形语言将其抽象化或数学化;符号语言也需要文字语言或图形语言来将它具体化、形象化;图形语言如果没有文字语言或符号语言来表述,其数学涵义根本无法表示;很多数学题本身就是数形结合的题目,当然需要文字语言与图形语言的转化,同时也需要用符号语言来更好地揭示它们之间的内在联系。三种数学语言形式的灵活转化,是学好数学的关键和难点之一,需要学生持之以恒地进行有意识的训练,才能有效地提高他们的数学语言运用能力。
八、掌握培养学生数学语言运用能力的技巧
为了更好地提高学生的数学语言运用能力,还应该掌握以下的一些技巧:
1.语言表述要体现数学的特点
数学语言只要求将数学问题的数量关系及空间形式表述得完整、精练、准确,而不一定要求华丽精彩,否则可能会变成哗众取宠,效果会适得其反。
2.用明白通俗的语言,突破符号性
要善于把复杂的东西表述得简单,把抽象的东西表述得具体,把难懂的东西表述得容易。数学语言里有各种各样的符号,而且不少是很抽象的,明白通俗的语言有助于学生在头脑中对所学的知识形成相应的表象,加深对符号的了解。
3.重视数学语言之间的互译,渗透对立统一的辩证思想
“互译”一方面指将普通语言转化为数学语言(即数学化),比如由具体的对应关系逐步抽象形成函数的概念,以及对抽象的数学语言理解内化借助普通语言或具体实例表达交流,比如根据函数的定义构造函数实例;另一方面还包括不同形态的数学语言之间的转换,比如等腰三角形的两个底角相等其符号语言为“在△ABC中,如果AB=AC,则B=C。”“互译”有助于激发学生学习兴趣,加深对数学本质的理解,增强辨析能力,互译的过程体现对立统一的思想,有助于不同思路的转换与问题化归。
4.善于用启发性语言,突破抽象性
很多数学知识是通过对众多数学材料的抽象和概括而得到的,具有很强的抽象性和概括性,不易用数学语言来表述。教师要善于用启发性语言,调动学生思维的自觉性和主动性,使学生在积极思考后顿开茅塞,逐步学会用科学、简洁的数学语言表述抽象的知识。
5.面向全体学生,唤起情感的共鸣
学生之间存在的差异是客观的,教师要千方百计适应这一客观的差异,使不同层次的学生都拥有参与数学语言运用训练的机会,达到人人有练、人人可练和人人会练,减轻学生学习数学的心理压力,增强学习数学的信心。
总之,数学语言运用要讲究运用的艺术,要有意识地刻苦磨练,精心设计数学语言的阶梯,在教学实践中不断学习、探索、总结,只有这样我们才能不断提高学生的数学语言运用能力,从而不断提高学生的数学思维能力,以及用数学知识和数学思想方法去解决问题的能力。
(作者单位:江苏省常州市武进区东安初级中学)
苏霍姆林斯基曾深刻地指出:“如果你不想使知识变成僵化的、静止的学问,就要把语言变成一个最主要的创造工具。”数学语言,可分为抽象性数学语言和直观性数学语言,是指表述数学概念、数学名词、术语、定义、定理、法则、公式、思路、方法等的语言。一般有文字语言、符号语言、图形语言三种表达形式。与通常的语言相比,它具有自己鲜明的个性——科学性、简洁性、符号性、抽象概括性等。语言与思维的关系极为密切,抽象思维要借助语言来实现,学生数学语言运用能力的高低将直接影响其数学思维的形成与发展,同时还直接影响着学生对数学知识的掌握程度和后续学习,关系到教学效果的好坏。所以,在教学过程中教师要重视学生数学语言运用能力的培养。
一、明确数学语言的重要性及其表示形式
不少人都有这样的误解:会不会用数学语言问题不大,学会解数学题就行了。这句话本身就是前后矛盾的!因为解数学题时不仅完全要依赖数学语言来思考,依赖数学语言来寻找解题思路和解法,而且还要依赖数学语言来表述解题过程。不掌握数学语言,学生就谈不上达到数学知识与技能、数学过程与方法、数学情感、态度、价值观等教学目标,那根本就学不好数学!此外,还要使学生明白数学语言的特殊性,数学语言不仅仅是文字语言,它还包括符号语言和图形语言,他们经常在同一个数学问题中交错出现,还有一定的隐蔽性,不易被掌握。只要学生明确了数学语言的重要性及其表示形式,就会在学习过程中自觉地进行数学语言运用的训练,从而清除了培养学生数学语言运用能力的思想障碍。
二、用数学语言表述数学基本知识
数学语言运用能力的培养要贯穿于整个教学过程始终。在基本概念、定理、定义、图形等数学基本知识的教学过程中,教师要结合教学内容多让学生进行数学语言表述的基本训练,数学基本知识隐含着很多数学语言表述训练的素材,只要善于发掘和利用,就能使学生既掌握教学内容,又能得到很好的数学语言表述训练,从而有利于培养学生初步的数学语言运用能力。但是,平时的训练并不只是回答口答题或回答老师的提问,因为那只是一种很简单的训练形式,其实还有很多其他的训练形式。
如:线段的垂直平分线的集合定义“线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。”中,如果将“所有”改为“无数”,让学生讨论结果如何?要回答这个问题,学生肯定要经过一定的思考和讨论,从而能使学生既学会表述,又进一步明确数学语言的科学性和严密性。
再如:将定理“一组对边且相等的四边形是平行四边形。”符号化:“如果AB∥CD,AB=CD,则四边形ABCD是平行四边形”,显然这是用数学语言表述定理,而且又是文字语言、符号语言、图形语言同时使用的一个简单实例,当然有利于学生记忆、理解和运用。
三、用数学语言表述数学问题的形成或解决过程
知识的形成过程一般按“形成表象——语言内化——抽象概括”的思维程序进行。任何数学知识都有其形成过程,如果能用数学语言将其形成过程表述清楚,变成学生自己能表述的东西,就相当于弄清了问题的形成过程,也相当于解决了整个问题的一半。而用数学语言表述数学问题的解决过程,既可以使学生检验解题过程是否正确,及时进行查漏补缺,又能使学生进一步理解和掌握解题过程。
四、用数学语言探求数学问题的解题依据
解题依据是解题过程中必不可少的,它有一定的概括性、隐蔽性和针对性,利用数学语言的直观作用,将概括、隐蔽的知识具体化,使思维活动有理有序地进行,既利于寻找依据,又能使解题依据形象化。
如:拼图训练中,为了使学生打破他们平面几何知识的限制,形成空间的多向思维,我先问:用六根长度相等的小棒最多能摆出几个三角形?学生以为这是一个很容易解决的问题,可是,由于受平面知识的限制,多数人只能摆出两个三角形。然后我提示:答案是四个三角形。此时学生对此答案觉得既可疑又好奇,就主动去探讨和寻找解题的依据,不断地动手画图形或拼图形,得到各种各样的图形,最后从四面体中找到答案,这是用图形语言作依据去解决问题的典型例子,从而初步明白了平面问题与空间问题的区别,这样做能起到承前启后的作用。
五、用数学语言探求数学问题的解法
思维方法有分析、综合、比较、抽象、概括等,在思维活动中,这些方法经常是交织在一起的。数学问题有其独特性,需要用数学语言来表述,将其数学化和具体化,而在用数学语言表述数学问题时,可以理顺问题前后之间的关系,加深对问题的理解,更好地把握问题的内在联系,明确问题的实质,从而能更好地帮助学生理清解题的思路,找到解题的办法。当然,数学问题的解法并不一定用数学语言就能找到,它还受其他因素的影响,但是,数学问题的解决最终还是要靠数学语言来完成,所以数学语言对探求解法非常有启发和帮助。
六、探讨数学语言表述的规律
数学是一门系统性和规律性很强的学科,不同的数学知识和数学方法,基本上都有其独特的规律,而数学语言表述也有跟其他语言表述不同的独特规律,规律又是内在的本质的东西,不易被发现和掌握。这需要教师和学生从一些具体的数学事实、数学形象、数学方法等问题的表述中,逐步探索和揭示数学语言表述的规律,逐步形成良好的具有自我特色的语言风格,从而不断提高数学语言表述的水平。
七、掌握三种数学语言形式之间的转化
数学思维具有灵活性,能随机应变,如果想在解题出现思维障碍时能及时调整思维角度和方式,这就要求学生对数学语言的三种表示形式(文字语言、符号语言、图形语言)能正确、灵活地进行转化、“互译”,在一种语言形式下解题出现障碍时,及时地进行语言形式的转化,从另一个角度去寻求解题思路是非常明智之举。通过语言转化,一方面可以加深对题意的理解,使隐蔽条件明显化,使题目中的内在联系从陌生变为熟悉,另一方面可以使思维更灵活,避免死钻牛角尖,容易走出障碍圈。事实上,文字语言需要用符号语言或图形语言将其抽象化或数学化;符号语言也需要文字语言或图形语言来将它具体化、形象化;图形语言如果没有文字语言或符号语言来表述,其数学涵义根本无法表示;很多数学题本身就是数形结合的题目,当然需要文字语言与图形语言的转化,同时也需要用符号语言来更好地揭示它们之间的内在联系。三种数学语言形式的灵活转化,是学好数学的关键和难点之一,需要学生持之以恒地进行有意识的训练,才能有效地提高他们的数学语言运用能力。
八、掌握培养学生数学语言运用能力的技巧
为了更好地提高学生的数学语言运用能力,还应该掌握以下的一些技巧:
1.语言表述要体现数学的特点
数学语言只要求将数学问题的数量关系及空间形式表述得完整、精练、准确,而不一定要求华丽精彩,否则可能会变成哗众取宠,效果会适得其反。
2.用明白通俗的语言,突破符号性
要善于把复杂的东西表述得简单,把抽象的东西表述得具体,把难懂的东西表述得容易。数学语言里有各种各样的符号,而且不少是很抽象的,明白通俗的语言有助于学生在头脑中对所学的知识形成相应的表象,加深对符号的了解。
3.重视数学语言之间的互译,渗透对立统一的辩证思想
“互译”一方面指将普通语言转化为数学语言(即数学化),比如由具体的对应关系逐步抽象形成函数的概念,以及对抽象的数学语言理解内化借助普通语言或具体实例表达交流,比如根据函数的定义构造函数实例;另一方面还包括不同形态的数学语言之间的转换,比如等腰三角形的两个底角相等其符号语言为“在△ABC中,如果AB=AC,则B=C。”“互译”有助于激发学生学习兴趣,加深对数学本质的理解,增强辨析能力,互译的过程体现对立统一的思想,有助于不同思路的转换与问题化归。
4.善于用启发性语言,突破抽象性
很多数学知识是通过对众多数学材料的抽象和概括而得到的,具有很强的抽象性和概括性,不易用数学语言来表述。教师要善于用启发性语言,调动学生思维的自觉性和主动性,使学生在积极思考后顿开茅塞,逐步学会用科学、简洁的数学语言表述抽象的知识。
5.面向全体学生,唤起情感的共鸣
学生之间存在的差异是客观的,教师要千方百计适应这一客观的差异,使不同层次的学生都拥有参与数学语言运用训练的机会,达到人人有练、人人可练和人人会练,减轻学生学习数学的心理压力,增强学习数学的信心。
总之,数学语言运用要讲究运用的艺术,要有意识地刻苦磨练,精心设计数学语言的阶梯,在教学实践中不断学习、探索、总结,只有这样我们才能不断提高学生的数学语言运用能力,从而不断提高学生的数学思维能力,以及用数学知识和数学思想方法去解决问题的能力。
(作者单位:江苏省常州市武进区东安初级中学)