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摘要：用本原性问题驱动数学理解，超越对于技巧性问题的过度追求，聚焦情境性问题所涉及的数学核心，是用数学自身的驱动力（数学的逻辑链、数学美、数学兴趣）来促进数学理解力的提升。用本原性问题驱动数学理解，具体路径有：问题指向本质化，提升数学理解的生命力；问题组织结构化，提高数学理解的索引力；问题运作主体化，增强数学理解的内驱力。
关键词：本原性问题数学理解问题指向问题组织问题运作
数学教学是关于数学活动的教学，数学活动本质上是围绕问题展开的一种思维活动。对教师而言，关注所教主题的“本原性”，实际就是关注学科的本质，意指在数学教学中把某个教学主题中最为原始的、朴素的、本质的观念、思想和方法作为思考的第一要义。
早在50多年前，布鲁纳就在《教育的过程》一书中，对伟大的课程应当最关注的问题做出了精辟阐述：“任何课程的主题都应该由发展学生的基本理解能力而确定，这种能力可以通过掌握构成某一主题的基本结构的潜在原理而实现。”用本原性问题驱动数学理解，超越对于技巧性问题的过度追求，聚焦情境性问题所涉及的数学核心，是用数学自身的驱动力（数学的逻辑链、数学美、数学兴趣）来促进数学理解力的提升。
一、审视：本原性问题被回避的缘由
在许多教学实践中，本原性问题往往被回避或悬置，究其缘由，笔者认为主要是以下三个方面：
（一）不知“何为本原”——对数学理解的本质缺乏认识
教师如何教学，主要基于他们自身对数学、对教学的理解。数学理解不仅需要掌握数学概念、规则或方法，还应经过积极思考，建立起个人的内在观念网络，即数学地观察、分析和表达世界。对数学理解的本质缺乏认识，往往会导致教学活动浮于表面，在非本质内容处徘徊游荡，最终带来的是学生只有“身动”而没有“心动”，无法实现数学的深度理解。
（二）不知“本原何为”——对数学理解的动力缺少支撑
如果教师抓不住本原性问题，就会缺少相应的支撑学生数学理解不断向前发展的教学方法，只是让学生被动地接受教师授予的东西，或是过度地进行技能技巧的训练。这不仅会加大学生的学业负担，而且无法让学生体会数学知识的迁移力、再生力以及相伴而生的兴奋感，对数学理解就会缺少内驱力，盲从及屈从的态度和性格也会应运而生。
（三）不知“如何本原”——对数学理解的形成缺失架构
教学中经常有教师忽视知识的内在联系，习惯用几个学生提供的琐碎的、不完整的答案凑出全面、完整的答案，习惯用一两个例子得出一般性结论。这种肢解数学知识“内在脉络”的行为，忽视了学生的认知差异，剥夺了学生抽象、推理、建模等过程的体验，令学生的理解缺少根基，知识缺乏“弹性”，造成学生的能力“黑洞”，使其无法在复杂的情境中判断、分析和解决问题。
二、探寻：本原性问题驱动数学理解的路径
建构主义学习理论认为，只有进入学生认知场域并被其意识到的问题才能促使其独立思考，进而形成其自我的数学理解。因此，教师应积极探索数学理解的发生机制和规律，立足本原性问题，建构有利于学生数学理解的教学方式和策略，让学生“获得对数学对象的理解”，并养成“从数学的角度去理解现实”的素养。
（一）问题指向本质化，提升数学理解的生命力
蔡元培先生说：“教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。”教师要从学科的统领性视角审视特定的教学内容，让问题设计指向数学学科本质，使之具有统摄性、内核性、衍生性，增强数学理解的生命力。
1.聚焦学科本质。
数学教学不应该停留在传授教材中的内容，而应该传授那些能在更广泛、更实际的情境中以创造的方式应用的知识。数学理解的核心是思维，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想——抽象、推理、建模等。讓学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，是数学教学的主要目的。
比如“3的倍数的特征”的教学，不能停留在概念的掌握上，而是要引发学生的数学理解，具体表现在：能解释为什么“各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”；能洞察研究“3的倍数的特征”本质是利用转化的思想，即把含有计数单位“十百千……”的数转化成含有计数单位“一”的数；能应用这一规律去判断是否是3的倍数……只有把学的“本原”还给学生，学生的学习才会后劲十足。
2.深究原理性知识。
数学知识越抽象，越具有普适性，越具有迁移的生命力。教学中，教师要善于设置真实的问题情境，鼓励学生深入探究知识的内涵意义、知识的来龙去脉、知识的整体结构以及知识背后的思想等原理性知识。
比如，“替换策略”的教学，教师往往会陷入“解题教学”的误区。事实上，该课的本原性问题的核心是转化思想和简化思想，即把多个未知量与总量之间的复杂关系转化为一个未知量与总量之间的简单关系。教学时，可从天平上物品间的等量替换迁移到等式上数量间的等值替换，从两个未知量的替换迁移到三个、多个未知量的替换，再迁移到生活中的替换现象，实现对替换策略的深刻理解。
（二）问题组织结构化，提高数学理解的索引力
教学结构影响学生的认知结构。为了让学生的数学理解达到更加丰富、更加关联和更加精细的状态，教学中要根据教材内容的逻辑顺序与学生的心理顺序，有步骤地提高问题的结构化程度。
1.凸显知识结构，变“散”为“连”。
数学理解的本质是建立联系。用本原性问题驱动数学理解，就是要用数学的高观点统领教学，运用大问题、长任务进行意义关联的系统思维和整体策划，在数学概念和方法间建立联系。
比如，对于“分数单位”的理解，应以“分数的意义”为基点，链接学生的已有经验——整数计数单位、小数计数单位，异中求同，诠释本质。后续，以“分数单位”为脉络，拓展、衍生成一个完整的“知识地图”：从“真分数、假分数”到“分数的大小比较”，从“分数的基本性质”到“分数加减法”等，学生学到的不再是散乱的知识，而是一个有机的整体。 2.谋划教学序列，由“浅”入“深”。
教学层次应该按认知发展的顺序进行排列，由表及里、由浅入深，层层深入、环环相扣，以促进学生解释、验证、支持和参与对话。问题设计的有序性不仅体现了逻辑上的层次性，更体现了思维过程螺旋上升的生成性。
比如，“角的度量”教学，教师设计了这样的教学序列：（1）直接观察比较角的大小的不准确——引出可以用单位小角来度量角的大小；（2）单位小角使用的不便——引出要把单位小角合并为半圆量角工具；（3）半圆量角工具度量不精确——引出要把单位小角分得更细；（4）细分后的半圆工具读数不便——引出要加刻度，进而引出两圈刻度。由表及里、环环相扣的问题，为数学理解提供了“情境锚”，学生在追寻量角器设计者思考轨迹的同时，明晰了量角器形成的原理，掌握了量角的方法。
（三）问题运作主体化，增强数学理解的内驱力
哲学解释学宣称，“一切理解都是自我理解。理解是人的存在方式，人在理解中存在，在存在中理解”。因此，问题的运作应促成其与学生的个体精神世界相互开放、主动积极的对话关系。
1.基于学生之“有”。
影响学生学习最关键的要素是学生“有什么”。发展学生的数学理解，就要研究并了解学生的已有经验，为这些已有经验的改造持续性地给予支持。
对于新知有阻碍的经验，要进行“对质”。比如，对于三角形“稳定性”的认识，学生往往会与生活中的“稳固性”相混淆，认为拉不动就具有稳定性，拉得动就不具有稳定性。教学中，可让全班学生用3根同样的小棒围三角形，从而发现3根小棒围成的三角形“除了摆放的方向不同外，形状和大小完全一样”。这样的活动，明确地指向知识的本原，可有效地避免理解上的歧义。
对于新知有支持性的经验，要善于“借力”。比如“画平行线”的教学，可以“窗户移动”为生活原型，借助事理理解数理，帮助学生理解“为什么要靠”“用什么靠”和“怎样靠”。
2.顺应学生之“需”。
教学要“顺木之天，以致其性”。教学时，问题、任务不能有太大的挑战性，要让学生觉得数学“好玩”“好妙”“好美”，引发其对数学学习的渴望。
比如，学习了“两位数加减法”后，教师开发了游戏“读心术”：在百数表中9的倍数处标注相同图案，让学生在百数表中任选一个两位数，交换个位和十位上数字的位置，默记新数与原数相减的结果所对应的图案。教师每次都能准确猜出学生心中所想。学生的好奇心迅速被激发，乐此不疲地投入到探索奥秘的行动中。这样的设计，不仅使枯燥的计算练习变得生动、有趣，而且让学生体会到数学自身的奇特现象，感悟到数学的内在之美。
3.激活学生之“能”。
研究发现，当把学生的个体学习与各种形式的共同学习有效结合起来时，学生表现出很强的学习兴趣与参与热情，并且能够发表有创见、有深度的想法。
比如，《多邊形面积的整理与复习》一课，要求学生“在方格图上画一个与梯形的高和面积都相等的图形”。在这一开放性问题的引领下，学生自主探究，个性化表达，在分享交流中发现了数学的统一之美：当梯形上底缩小为0时，就成了三角形；当梯形上下底相等时，就成了平行四边形。并且，学生还把梯形面积公式这一“万能公式”，与求等差数列（1+2+3+4+5+…+100）的和的公式联系起来，实现了知识的融会贯通。
小学数学是基础性的数学。它是初等的，因为它是数学学习的开始；它是起源的，因为它包含了高等数学的基本原理和思想；它是基本的，因为它为学生今后进一步学习数学打下了基础。用本原性问题驱动数学理解的目的，不仅仅在于数学知识的掌握、数学理解力的提升，更重要的是学科态度和价值观的改变。“以俗观之”“以物观之”和“以道观之”是《庄子·秋水》中探讨的认识外物活动的三种立场，而“以道观之”，正是本原性问题驱动数学理解的课堂教学所追求的境界。
参考文献：
[1] 杨玉东，徐文彬.本原性问题驱动课堂教学：理念、实践与反思[J].教育发展研究，2009（20）.
[2] 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.
[3] 史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（7）.
[4] 包静娟.让数学理解不断深入[J].江苏教育，2011（16）.
[5] 王金福.解释学：对理解的理解[J].赣南师范学院学报，2001（2）.
[6] 【美】马立平.小学数学的掌握与教学[M].李士锜等译.上海：华东师范大学出版社，2011.
关键词：本原性问题数学理解问题指向问题组织问题运作
数学教学是关于数学活动的教学，数学活动本质上是围绕问题展开的一种思维活动。对教师而言，关注所教主题的“本原性”，实际就是关注学科的本质，意指在数学教学中把某个教学主题中最为原始的、朴素的、本质的观念、思想和方法作为思考的第一要义。
早在50多年前，布鲁纳就在《教育的过程》一书中，对伟大的课程应当最关注的问题做出了精辟阐述：“任何课程的主题都应该由发展学生的基本理解能力而确定，这种能力可以通过掌握构成某一主题的基本结构的潜在原理而实现。”用本原性问题驱动数学理解，超越对于技巧性问题的过度追求，聚焦情境性问题所涉及的数学核心，是用数学自身的驱动力（数学的逻辑链、数学美、数学兴趣）来促进数学理解力的提升。
一、审视：本原性问题被回避的缘由
在许多教学实践中，本原性问题往往被回避或悬置，究其缘由，笔者认为主要是以下三个方面：
（一）不知“何为本原”——对数学理解的本质缺乏认识
教师如何教学，主要基于他们自身对数学、对教学的理解。数学理解不仅需要掌握数学概念、规则或方法，还应经过积极思考，建立起个人的内在观念网络，即数学地观察、分析和表达世界。对数学理解的本质缺乏认识，往往会导致教学活动浮于表面，在非本质内容处徘徊游荡，最终带来的是学生只有“身动”而没有“心动”，无法实现数学的深度理解。
（二）不知“本原何为”——对数学理解的动力缺少支撑
如果教师抓不住本原性问题，就会缺少相应的支撑学生数学理解不断向前发展的教学方法，只是让学生被动地接受教师授予的东西，或是过度地进行技能技巧的训练。这不仅会加大学生的学业负担，而且无法让学生体会数学知识的迁移力、再生力以及相伴而生的兴奋感，对数学理解就会缺少内驱力，盲从及屈从的态度和性格也会应运而生。
（三）不知“如何本原”——对数学理解的形成缺失架构
教学中经常有教师忽视知识的内在联系，习惯用几个学生提供的琐碎的、不完整的答案凑出全面、完整的答案，习惯用一两个例子得出一般性结论。这种肢解数学知识“内在脉络”的行为，忽视了学生的认知差异，剥夺了学生抽象、推理、建模等过程的体验，令学生的理解缺少根基，知识缺乏“弹性”，造成学生的能力“黑洞”，使其无法在复杂的情境中判断、分析和解决问题。
二、探寻：本原性问题驱动数学理解的路径
建构主义学习理论认为，只有进入学生认知场域并被其意识到的问题才能促使其独立思考，进而形成其自我的数学理解。因此，教师应积极探索数学理解的发生机制和规律，立足本原性问题，建构有利于学生数学理解的教学方式和策略，让学生“获得对数学对象的理解”，并养成“从数学的角度去理解现实”的素养。
（一）问题指向本质化，提升数学理解的生命力
蔡元培先生说：“教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。”教师要从学科的统领性视角审视特定的教学内容，让问题设计指向数学学科本质，使之具有统摄性、内核性、衍生性，增强数学理解的生命力。
1.聚焦学科本质。
数学教学不应该停留在传授教材中的内容，而应该传授那些能在更广泛、更实际的情境中以创造的方式应用的知识。数学理解的核心是思维，体现数学学科本质的无疑是数学的基本思想——抽象、推理、建模等。讓学生用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界，是数学教学的主要目的。
比如“3的倍数的特征”的教学，不能停留在概念的掌握上，而是要引发学生的数学理解，具体表现在：能解释为什么“各位上数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数”；能洞察研究“3的倍数的特征”本质是利用转化的思想，即把含有计数单位“十百千……”的数转化成含有计数单位“一”的数；能应用这一规律去判断是否是3的倍数……只有把学的“本原”还给学生，学生的学习才会后劲十足。
2.深究原理性知识。
数学知识越抽象，越具有普适性，越具有迁移的生命力。教学中，教师要善于设置真实的问题情境，鼓励学生深入探究知识的内涵意义、知识的来龙去脉、知识的整体结构以及知识背后的思想等原理性知识。
比如，“替换策略”的教学，教师往往会陷入“解题教学”的误区。事实上，该课的本原性问题的核心是转化思想和简化思想，即把多个未知量与总量之间的复杂关系转化为一个未知量与总量之间的简单关系。教学时，可从天平上物品间的等量替换迁移到等式上数量间的等值替换，从两个未知量的替换迁移到三个、多个未知量的替换，再迁移到生活中的替换现象，实现对替换策略的深刻理解。
（二）问题组织结构化，提高数学理解的索引力
教学结构影响学生的认知结构。为了让学生的数学理解达到更加丰富、更加关联和更加精细的状态，教学中要根据教材内容的逻辑顺序与学生的心理顺序，有步骤地提高问题的结构化程度。
1.凸显知识结构，变“散”为“连”。
数学理解的本质是建立联系。用本原性问题驱动数学理解，就是要用数学的高观点统领教学，运用大问题、长任务进行意义关联的系统思维和整体策划，在数学概念和方法间建立联系。
比如，对于“分数单位”的理解，应以“分数的意义”为基点，链接学生的已有经验——整数计数单位、小数计数单位，异中求同，诠释本质。后续，以“分数单位”为脉络，拓展、衍生成一个完整的“知识地图”：从“真分数、假分数”到“分数的大小比较”，从“分数的基本性质”到“分数加减法”等，学生学到的不再是散乱的知识，而是一个有机的整体。 2.谋划教学序列，由“浅”入“深”。
教学层次应该按认知发展的顺序进行排列，由表及里、由浅入深，层层深入、环环相扣，以促进学生解释、验证、支持和参与对话。问题设计的有序性不仅体现了逻辑上的层次性，更体现了思维过程螺旋上升的生成性。
比如，“角的度量”教学，教师设计了这样的教学序列：（1）直接观察比较角的大小的不准确——引出可以用单位小角来度量角的大小；（2）单位小角使用的不便——引出要把单位小角合并为半圆量角工具；（3）半圆量角工具度量不精确——引出要把单位小角分得更细；（4）细分后的半圆工具读数不便——引出要加刻度，进而引出两圈刻度。由表及里、环环相扣的问题，为数学理解提供了“情境锚”，学生在追寻量角器设计者思考轨迹的同时，明晰了量角器形成的原理，掌握了量角的方法。
（三）问题运作主体化，增强数学理解的内驱力
哲学解释学宣称，“一切理解都是自我理解。理解是人的存在方式，人在理解中存在，在存在中理解”。因此，问题的运作应促成其与学生的个体精神世界相互开放、主动积极的对话关系。
1.基于学生之“有”。
影响学生学习最关键的要素是学生“有什么”。发展学生的数学理解，就要研究并了解学生的已有经验，为这些已有经验的改造持续性地给予支持。
对于新知有阻碍的经验，要进行“对质”。比如，对于三角形“稳定性”的认识，学生往往会与生活中的“稳固性”相混淆，认为拉不动就具有稳定性，拉得动就不具有稳定性。教学中，可让全班学生用3根同样的小棒围三角形，从而发现3根小棒围成的三角形“除了摆放的方向不同外，形状和大小完全一样”。这样的活动，明确地指向知识的本原，可有效地避免理解上的歧义。
对于新知有支持性的经验，要善于“借力”。比如“画平行线”的教学，可以“窗户移动”为生活原型，借助事理理解数理，帮助学生理解“为什么要靠”“用什么靠”和“怎样靠”。
2.顺应学生之“需”。
教学要“顺木之天，以致其性”。教学时，问题、任务不能有太大的挑战性，要让学生觉得数学“好玩”“好妙”“好美”，引发其对数学学习的渴望。
比如，学习了“两位数加减法”后，教师开发了游戏“读心术”：在百数表中9的倍数处标注相同图案，让学生在百数表中任选一个两位数，交换个位和十位上数字的位置，默记新数与原数相减的结果所对应的图案。教师每次都能准确猜出学生心中所想。学生的好奇心迅速被激发，乐此不疲地投入到探索奥秘的行动中。这样的设计，不仅使枯燥的计算练习变得生动、有趣，而且让学生体会到数学自身的奇特现象，感悟到数学的内在之美。
3.激活学生之“能”。
研究发现，当把学生的个体学习与各种形式的共同学习有效结合起来时，学生表现出很强的学习兴趣与参与热情，并且能够发表有创见、有深度的想法。
比如，《多邊形面积的整理与复习》一课，要求学生“在方格图上画一个与梯形的高和面积都相等的图形”。在这一开放性问题的引领下，学生自主探究，个性化表达，在分享交流中发现了数学的统一之美：当梯形上底缩小为0时，就成了三角形；当梯形上下底相等时，就成了平行四边形。并且，学生还把梯形面积公式这一“万能公式”，与求等差数列（1+2+3+4+5+…+100）的和的公式联系起来，实现了知识的融会贯通。
小学数学是基础性的数学。它是初等的，因为它是数学学习的开始；它是起源的，因为它包含了高等数学的基本原理和思想；它是基本的，因为它为学生今后进一步学习数学打下了基础。用本原性问题驱动数学理解的目的，不仅仅在于数学知识的掌握、数学理解力的提升，更重要的是学科态度和价值观的改变。“以俗观之”“以物观之”和“以道观之”是《庄子·秋水》中探讨的认识外物活动的三种立场，而“以道观之”，正是本原性问题驱动数学理解的课堂教学所追求的境界。
参考文献：
[1] 杨玉东，徐文彬.本原性问题驱动课堂教学：理念、实践与反思[J].教育发展研究，2009（20）.
[2] 喻平.数学教育心理学[M].南宁：广西教育出版社，2004.
[3] 史宁中.漫谈数学的基本思想[J].中国大学教学，2011（7）.
[4] 包静娟.让数学理解不断深入[J].江苏教育，2011（16）.
[5] 王金福.解释学：对理解的理解[J].赣南师范学院学报，2001（2）.
[6] 【美】马立平.小学数学的掌握与教学[M].李士锜等译.上海：华东师范大学出版社，2011.