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新课标越来越注重实际问题的求解，譬如会遇到测量、航海、物理等方面，对解决实际问题的能力及测量问题的考查是新高考的一种趋势.具体做法是通过数学建模从实际问题中抽象出一个或几个三角形，运用正弦定理、余弦定理等三角函数知识，求出数学模型的解，从而解决实际问题.以下列举几例供大家参考.
1. 在测量距离问题中的应用
[西][东][东][北]例1 在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市[O]（如图）的东偏南[θ(cosθ=210)]方向300km的海面[P]处，并以20km/h的速度向西偏北[45°]方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
解析 设经过[t]小时台风中心移动到[Q]点时，台风边沿恰经过[O]城，由题意可得，
[OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t],
[∵cosθ=210]，[α＝θ－45°]，
[∴sinθ=7210]，[cosα=45].
由余弦定理可得，
[OQ2＝OP2＋PQ2－2⋅OP⋅PQ⋅cosα]
即[(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－2⋅300⋅20t⋅45]
即[t2-36t+288=0]，
解得[t1=12]，[t2=24].
[Δt=t2-t1=12.]
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.
点拨 本题关键是方位角的概念，根据题意找出两临界状态，然后解方程，求出两临界状态，也就是要求元素.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
例2 如图所示，楼房顶上有[A、B]两点，地面上有[C、D]两点相距10m，一人在[C]处测得[A、B]两点仰角分别为[60°]、[15°]，在[D]处测得[A、B]两点仰角为[15°]、[45°]，试两楼房顶上[A、B]两点距离.
解析 在△[ACD]中，[∠CAD=60°-15°=45°，]
[∠ACD=180°-60°=120°]，由正弦定理可得，
[AD=10sin120∘sin45∘=56.]
在△[BCD]中，[∠CBD=45°-15°=30°].
由正弦定理可得
[BDsin∠BCD=CDsin∠CBD.]
[又sin∠BCD=sin15°=sin(45°-30°)]
[=sin45°cos30°-cos45°sin30°]
=[6-24.]
[∴BD=5(6-2)].
在[△ABD]中，[∠BCD＝120°]，由余弦定理可得
[AB2＝AD2+BD2-2AD⋅BD⋅cos120°=150+25(8－43)+56×5(6-2)=500-1103.]
[∴AB=500-1103.]
答：[AB]之间距离为[500-1103m.]
点拨 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是将求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题. 然后将未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决. 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解. 有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解.
2. 在测量高度问题中的应用
例3 如图，要测底部不能到达的烟囱[AB]的高，从与烟囱底部在同一水平直线上的[C、D]两处，测得烟囱的仰角分别是[α=45°]和[β=60°]，[CD]间的距离是12m. 已知测角仪器高1.5m, 求烟囱的高.
解析 在[△BC1D1]中，
[sin∠C1BD1=sin60°-45°=sin60°cos45°－cos60°sin45°=6-24，]
由正弦定理可得，
[C1D1sin∠C1BD1=BC1sin∠C1D1B]，
[∴BC1=C1D1sin∠C1D1BsinB=12×sin120∘sin15∘]
[=182+66].
[∴A1B=22BC1=18+63].
[∴AB=A1B+AA1=18+63+1.5=39+1232.]
答：烟囱的高为[39+1232m.]
点拨 根据题意建立数学模型，先利用正弦定理或余弦定理解斜三角形，然后再用三角函数的定义解直角三角形，求出要求元素.在测量高度问题中，通常会出现斜三角形和直三角形，我们应根据实际需要去求解三角形，求出要求元素.
例4 在一次滑翔飞行表演中，飞行员测得他的正东方[A]处的俯角为[45°]，同时在他西偏南[30°]的[B]点俯角为[60°]，[AB]两点的距离为80m，则测量时，飞行员离地面多高？
解析 如图所示，[D]为飞行员[C]在平面[ABD]上的正投影.
设[CD＝x]，依题意知，
[∠CAD＝90°－∠ACD＝45°]，
[∠CBD＝90°－∠BCD＝30°，]
则[AD＝x，BD＝3x].
在[△ABD]中，由余弦定理知，
[AB2＝BD2+AD2－2AD⋅BD⋅cos∠ADB.]
即[802=x2+(3x)2-2x⋅(3x)⋅cos150°=7x2，]
[∴x=8077.]
答：飞行员距地面[8077]m.
点拨 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，通常会出现空间图形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解.解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别和联系. 测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决.
3. 在测量角度问题中的应用
例5 一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在[A]处获悉后，即测出该商船在方位角为[45°]距离10海里的[C]处，并沿方位角为[105°]的方向，以9海里/时的速度航行，“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程.
解析 如图所示，若“黄山”舰以最少时间在[B]处追上商船，则[A、B、C]构成一个三角形.
设所需时间为[t]小时，
则[AB＝21t，BC＝9t.]
又已知[AC＝10]，依题意知，[∠ACB＝120°]，
根据余弦定理，
[AB2＝AC2＋BC2－2⋅AC⋅BCcos∠ACB.]
[∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，]
[∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，]
即[360t2－90t－100＝0.]
[∴t＝23]或[t＝－512](舍去).
[∴AB＝21×23＝14].
答：“黄山”舰需要用[23]小时靠近商船，共航行14海里.
点拨 测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念.准确画出示意图是关键，将追击问题转化为三角形问题，即可把实际问题转化为数学问题. 这样借助于正弦定理或余弦定理，问题就容易解决了. 最后再把数学问题还原到实际问题中去.
例6 在海岸[A]处，发现北偏东[45°]方向，距[A]处( [3]－1) 海里的[B]处有一艘走私船，在[A]处北偏西[75°]的方向，距离[A]处2 海里的[C]处的缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以10 海里/时的速度从[B]处向北偏东[30°]方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解 设缉私船用[t]小时在[D]处追上走私船，
则有[CD＝10t ，BD＝10t，]
在[△ABC]中，[AB＝3－1]，[AC＝2]，
[∠BAC＝120°]，由余弦定理得，
[BC2＝AB2＋AC2－2AB⋅ACcos∠BAC]
[＝(3－1)2＋22－2⋅(3－1)⋅2⋅cos120°＝6，]
[BC＝6]，
且[sin∠ABC＝ACBC⋅sin∠BAC＝26⋅32＝22.]
[∠ABC＝45°]，[BC]与正北方向垂直.
[∠CBD＝90°＋30°＝120°]，
在[△BCD]中，由正弦定理得，
[sin∠BCD＝BD⋅sin∠DBDCD＝10tsin120°103t＝12，]
[∠BCD＝30°.]
答：缉私船沿东偏北[30°]方向能最快追上走私船.
点拨 首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.
1. 路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
A. [2063]米 B. [106]米
C. [1063]米 D. [202]米
2. 一艘海轮从[A]处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达[B]处.在[C]处有一座灯塔，海轮在[A]处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在[B]处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么[B、C]两点间的距离是( )
A. [103]海里 B. [102]海里
C. [202]海里 D. [203]海里
3. 如图，在某点[B]处测得建筑物[AE]的顶端[A]的仰角为[θ]，沿[BE]方向前进30米至[C]处测得顶端[A]的仰角为[2θ]，再继续前进10米至[D]处，测得顶端[A]的仰角为[4θ]，则[θ]的值为( )
A. 15° B. 10° C. 5° D. 20°
4. 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A. [1002]米 B. 400米
C. [2003]米 D. 500米
1. A 2. B 3. A 4. D
1. 在测量距离问题中的应用
[西][东][东][北]例1 在某海滨城市附近海面有一台风，据测，当前台风中心位于城市[O]（如图）的东偏南[θ(cosθ=210)]方向300km的海面[P]处，并以20km/h的速度向西偏北[45°]方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？
解析 设经过[t]小时台风中心移动到[Q]点时，台风边沿恰经过[O]城，由题意可得，
[OP＝300，PQ＝20t，OQ＝r(t)＝60＋10t],
[∵cosθ=210]，[α＝θ－45°]，
[∴sinθ=7210]，[cosα=45].
由余弦定理可得，
[OQ2＝OP2＋PQ2－2⋅OP⋅PQ⋅cosα]
即[(60＋10t)2＝3002＋(20t)2－2⋅300⋅20t⋅45]
即[t2-36t+288=0]，
解得[t1=12]，[t2=24].
[Δt=t2-t1=12.]
答：12小时后该城市开始受到台风的侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时.
点拨 本题关键是方位角的概念，根据题意找出两临界状态，然后解方程，求出两临界状态，也就是要求元素.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
例2 如图所示，楼房顶上有[A、B]两点，地面上有[C、D]两点相距10m，一人在[C]处测得[A、B]两点仰角分别为[60°]、[15°]，在[D]处测得[A、B]两点仰角为[15°]、[45°]，试两楼房顶上[A、B]两点距离.
解析 在△[ACD]中，[∠CAD=60°-15°=45°，]
[∠ACD=180°-60°=120°]，由正弦定理可得，
[AD=10sin120∘sin45∘=56.]
在△[BCD]中，[∠CBD=45°-15°=30°].
由正弦定理可得
[BDsin∠BCD=CDsin∠CBD.]
[又sin∠BCD=sin15°=sin(45°-30°)]
[=sin45°cos30°-cos45°sin30°]
=[6-24.]
[∴BD=5(6-2)].
在[△ABD]中，[∠BCD＝120°]，由余弦定理可得
[AB2＝AD2+BD2-2AD⋅BD⋅cos120°=150+25(8－43)+56×5(6-2)=500-1103.]
[∴AB=500-1103.]
答：[AB]之间距离为[500-1103m.]
点拨 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是将求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题. 然后将未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，然后运用正弦定理解决. 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解. 有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程组，解方程组得出所要求的解.
2. 在测量高度问题中的应用
例3 如图，要测底部不能到达的烟囱[AB]的高，从与烟囱底部在同一水平直线上的[C、D]两处，测得烟囱的仰角分别是[α=45°]和[β=60°]，[CD]间的距离是12m. 已知测角仪器高1.5m, 求烟囱的高.
解析 在[△BC1D1]中，
[sin∠C1BD1=sin60°-45°=sin60°cos45°－cos60°sin45°=6-24，]
由正弦定理可得，
[C1D1sin∠C1BD1=BC1sin∠C1D1B]，
[∴BC1=C1D1sin∠C1D1BsinB=12×sin120∘sin15∘]
[=182+66].
[∴A1B=22BC1=18+63].
[∴AB=A1B+AA1=18+63+1.5=39+1232.]
答：烟囱的高为[39+1232m.]
点拨 根据题意建立数学模型，先利用正弦定理或余弦定理解斜三角形，然后再用三角函数的定义解直角三角形，求出要求元素.在测量高度问题中，通常会出现斜三角形和直三角形，我们应根据实际需要去求解三角形，求出要求元素.
例4 在一次滑翔飞行表演中，飞行员测得他的正东方[A]处的俯角为[45°]，同时在他西偏南[30°]的[B]点俯角为[60°]，[AB]两点的距离为80m，则测量时，飞行员离地面多高？
解析 如图所示，[D]为飞行员[C]在平面[ABD]上的正投影.
设[CD＝x]，依题意知，
[∠CAD＝90°－∠ACD＝45°]，
[∠CBD＝90°－∠BCD＝30°，]
则[AD＝x，BD＝3x].
在[△ABD]中，由余弦定理知，
[AB2＝BD2+AD2－2AD⋅BD⋅cos∠ADB.]
即[802=x2+(3x)2-2x⋅(3x)⋅cos150°=7x2，]
[∴x=8077.]
答：飞行员距地面[8077]m.
点拨 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，通常会出现空间图形，依条件结合正弦定理和余弦定理来解.解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要清楚它们的区别和联系. 测量底部不能到达的建筑物的高度问题，一般是转化为直角三角形模型，但在某些情况下，仍需根据正、余弦定理解决.
3. 在测量角度问题中的应用
例5 一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号.正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在[A]处获悉后，即测出该商船在方位角为[45°]距离10海里的[C]处，并沿方位角为[105°]的方向，以9海里/时的速度航行，“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救.求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程.
解析 如图所示，若“黄山”舰以最少时间在[B]处追上商船，则[A、B、C]构成一个三角形.
设所需时间为[t]小时，
则[AB＝21t，BC＝9t.]
又已知[AC＝10]，依题意知，[∠ACB＝120°]，
根据余弦定理，
[AB2＝AC2＋BC2－2⋅AC⋅BCcos∠ACB.]
[∴(21t)2＝102＋(9t)2－2×10×9tcos120°，]
[∴(21t)2＝100＋81t2＋90t，]
即[360t2－90t－100＝0.]
[∴t＝23]或[t＝－512](舍去).
[∴AB＝21×23＝14].
答：“黄山”舰需要用[23]小时靠近商船，共航行14海里.
点拨 测量角度时，要准确理解方位角、方向角的概念.准确画出示意图是关键，将追击问题转化为三角形问题，即可把实际问题转化为数学问题. 这样借助于正弦定理或余弦定理，问题就容易解决了. 最后再把数学问题还原到实际问题中去.
例6 在海岸[A]处，发现北偏东[45°]方向，距[A]处( [3]－1) 海里的[B]处有一艘走私船，在[A]处北偏西[75°]的方向，距离[A]处2 海里的[C]处的缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私船.此时，走私船正以10 海里/时的速度从[B]处向北偏东[30°]方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解 设缉私船用[t]小时在[D]处追上走私船，
则有[CD＝10t ，BD＝10t，]
在[△ABC]中，[AB＝3－1]，[AC＝2]，
[∠BAC＝120°]，由余弦定理得，
[BC2＝AB2＋AC2－2AB⋅ACcos∠BAC]
[＝(3－1)2＋22－2⋅(3－1)⋅2⋅cos120°＝6，]
[BC＝6]，
且[sin∠ABC＝ACBC⋅sin∠BAC＝26⋅32＝22.]
[∠ABC＝45°]，[BC]与正北方向垂直.
[∠CBD＝90°＋30°＝120°]，
在[△BCD]中，由正弦定理得，
[sin∠BCD＝BD⋅sin∠DBDCD＝10tsin120°103t＝12，]
[∠BCD＝30°.]
答：缉私船沿东偏北[30°]方向能最快追上走私船.
点拨 首先应明确各个角的含义，然后分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，将图形中的已知量与未知量之间的关系转化为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解.
1. 路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )
A. [2063]米 B. [106]米
C. [1063]米 D. [202]米
2. 一艘海轮从[A]处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达[B]处.在[C]处有一座灯塔，海轮在[A]处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在[B]处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么[B、C]两点间的距离是( )
A. [103]海里 B. [102]海里
C. [202]海里 D. [203]海里
3. 如图，在某点[B]处测得建筑物[AE]的顶端[A]的仰角为[θ]，沿[BE]方向前进30米至[C]处测得顶端[A]的仰角为[2θ]，再继续前进10米至[D]处，测得顶端[A]的仰角为[4θ]，则[θ]的值为( )
A. 15° B. 10° C. 5° D. 20°
4. 要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°、30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500米，则电视塔在这次测量中的高度是( )
A. [1002]米 B. 400米
C. [2003]米 D. 500米
1. A 2. B 3. A 4. D