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摘 要：研究双线性Hardy算子与加权BMO函数生成的交换子的有界性，并给出证明.
关键词：Hardy算子;BMO空间;权
[中图分类号]O174.2 [文献标志码]J
Weighted Estimates for Commutators generalized by HardyOperators and BMO Functions
SUN Jie
（Department of Mathematics，Mudanjiang Normal School，Mudanjiang 157012，China）
Abstract：In this paper， we discuss the boundedness of commutators generated by bilinear Hardy operator and weighted BMO functions， and give the proofs.
Key words：hardy operator;BMO space;weight
1976年，Faris[1]介绍了n维Hardy算子，并证明了Hardy算子是Lp（瘙 綆
n）有界的.1975年，Coifman和Meyer[2]研究了双线性算子.本文将研究类似于n维Hardy算子的m -线性平均算子.假设1≤i≤m，yi=（y1i，y2i，…，yni）为瘙 綆
n中的元素，m∈瘙 綃
，f1，…，fm为定义在瘙 綆
n上的非负局部可积函数，f→=（f1，…，fm），m -线性Hardy算子定义为
H（f→）（x）=1Ωm n|x|m n∫{|（y1，…，ym）|<|x|}f1（y1）…fm（ym）dy1…dym，x∈瘙 綆
n＼{0}.
2-线性算子被称为双线性算子. m -线性Hardy算子交换子定义如下：Hb→（f→）（x）=∑mi=1Hibi（f→）（x），其中，Hibi（f→）（x）=bi（x）H（f→）（x）-H（f1，…，fi-1，fibi，fi+1，…，fm）（x）.2012年，Gao[5]证明了Hardy算子与加权BMO函数生成的交换子的加权有界性，更多结论可参见文献[3-6].本文主要研究双线性Hardy算子与加权CBMO函数生成的交换子的有界性.
1 預备知识及引理
记Bk=x∈瘙 綆
n：|x|≤2k，Ck=Bk＼Bk-1，χk（k∈瘙 綄
）表示Ck上的特征函数.
定义1 设α∈瘙 綆
，0 n＼{0}，w2），fkqα，p（w1，w2）<∞.
其中，fkα，pq（w1，w2）=∑∞k=-∞wαp/n1（Bk）fχkpLq（w2）1/p.当w1=w2=1时，Kα，pq（瘙 綆
n）=Kα，pq（w1，w2），当α=0，p=q时，Kα，pq（w1，w2）=Lp（w2）.
定义2[4] 设1≤p≤∞，w∈A∞，CBMOpw，定义为由所有满足
fCBMOpw=supr>01w（B（0，r））∫B（0，r）f（x）-fB（0，r）pw（x）1-pdx1/p≤C<∞
的局部可积函数全体构成的空间.当p=1时，CBMO1w=CBMOw，1≤p，q≤∞，fCBMOpw～fCBMOqw.
引理1[4] 设w∈A1，b∈CBMOw，对于j>k存在C>0，使得bBj-bBk≤C（j-k）w（Bk）|Bk|bCBMOw.
引理2[7] 设w∈A1，0<δ<1，若k>j，有w（Bk）w（Bj）≤C2n（k-j），若k≤j，有w（Bk）w（Bj）≤C2n δ（k-j）.
2 主要结果及证明
定理1 假设H为双线性Hardy算子.若w∈A1，b1，b2∈CBMOw.设1 定理2 假设H为双线性Hardy算子.若w∈A1，b1，b2∈CBMOw.设0<δ<1，0 定理2中的δ是引理2中定义的δ，定理1和定理2结论对Hjbj（f1，f2），j=1，2成立.
定理2的证明 首先考虑
H1b1（f1，f2）χkqLq（w1-q）≤2-2knq∫Ck∫|（y1，y2）|<|x|f1（y1）f2（y2）b1（x）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx+C2-2knq∫Ck∫|（y1，y2）|<|x|f1（y1）f2（y2）b1（y1）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx=∶Ⅰ+Ⅱ.
由于1/q=1/q1+1/q2，且w∈A1，w∈Aq1，w∈Aq2.由1/q1+1/q′1=1，1/q2+1/q′2=1，应用Holder不等式及定义2，有 Ⅰ≤2-2knq∫Ck∫Bk∫Bkf1（y1）f2（y2）b1（y1）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx
≤Cb1qCBMOw∑ki=-∞f1χiLq1（w）2（1-1/q1）n（i-k）×∑ki=-∞f2χjLq2（w）2（1-1/q2）n（i-k）q.
估计 Ⅱ：
Ⅱ≤C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）b1（y1）-（b1）Bidy1∑kj=1∫Cjf2（y2）dy2q+
C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）（b1）Bk-（b1）Bidy1∑kj=1∫Cjf2（y2）dy2q=∶Ⅱ1+Ⅱ2.
类似于Ⅰ的估计，由引理2，有
Ⅱ1≤C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞f1χiLq1（w）∫Cib1（y1）-（b1）Biq′1w（y1）-q′1/q1dy11/q′1×
∑kj=1∫Cif2（y2）q2w（y2）（dy21/q2∫Ciw（y2）-q′2/q2dy1/q′2q
≤Cb1qCBMOw∑ki=-∞2（i-k）n δ（1-1/q+1/q2）f1χiLq1（w）×∑kj=∞2（j-k）n（1-1/q2）f2χjLq2（w）q.
估计Ⅱ2.由引理1及引理2，有
Ⅱ2≤CBk-qw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）（k-i）bCBMOww（Bi）Bidy1×∑kj=-∞∫Cif2（y2）dy2q
≤CbqCBMOw∑ki=-∞（k-i）2（i-k）n δ（1-1/q1）f1χiLq1（w）q∑kj=-∞2（j-k）n δ（1-1/q2）f2χjLq2（w）q.
由定义2，有
H1b1（f1，f2）Kqα，p（w1-q）=∑∞k=-∞w（Bk）αp/nH1b1（f1，f2）χkpLq（w1-q）1/p1
≤C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞f1χiLq1（w）2（1-1/q1）n（i-k）p×∑kj=-∞f2χjLq1（w）2（1-1/q2）n（i-k）p1/p+
C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞2（i-k）n δ（1-1/q+1/q2）f1χiLq1（w）p×∑kj=-∞2（j-k）n（1-1/q2）f2χjLq1（w）p1/p+
C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞（k-i）2（i-k）n δ（1-1/q1）f1χiLq1（w）p×∑kj=-∞2（j-k）n δ（1-1/q2）f2χjLq2（w）p1/p
=∶U+V+W.
由于α=α1+α2，1/p=1/p1+1/p2，应用Holder不等式，有
U≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞f1χiLq1（w）w（Bk）α1/n2（1-1/q1）n（i-k）p11/p1×
∑∞k=-∞∑kj=-∞f2χjLq2（w）w（Bk）α2/n2（1-1/q2）n（j-k）p21/p2=U1×U2.
首先估計U1≤Cf1Kα，p1q1（w，w）.
对于0 U1≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1/nf1χiLq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p11/p1
≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1p1/nf1χip1Lq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p11/p1≤Cf1Kα1，p1q1（w，w）.
对于1 Up11≤C∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1/nf1χiLq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p1·∑ki=-∞2（n-n/q1-α1）（i-k）p′1/2p1/p′1
≤Cf1p1Kα1，p1q1（w，w）.
类似地，有Up22≤Cf2p2Kα2，p2q2（w，w），所以U≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
上述结论对V，W也成立.因此，H1b1（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
同理，H2b2（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
综上，Hb→（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
由于K0，pp（w，w）=Lp（w），定理1的证明只需证明定理2.
3 结论
本文给出了双线性Hardy算子与加权CBMO函数生成的交换子在加权Lebesgue空间及加权Herz型空间的有界性.推广了已有的一些结论，为后续研究提供了基础.
参考文献
[1]Faris W. Weak Lebesgue spaces and quantum mechanical binding[J].Duke Math.J.，1976，43：365-373.
[2]Coifman R. R. Meyer Y. On commutators of singular integrals and bilinear singular intergrals[J]. Trans. Amer. Math. Soc.，1975，212： 315-331.
[3]Boza S. Soria J. Norms estimates for the Hardy operator in terms of Bp weights[J]. Proc. Amer.Math. Soc.，2017，6（145）： 2455-2465.
[4]Gao G. L. Hausdorff operator and its related research[D]. Hang Zhou：Zhejiang University， 2012.
[5]季丹丹，Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的复凸性[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（3）：7-10.
[6]张菁，Hahn-Banach定理的几个应用[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2016（2）：15-16.
[7]Garcia-Cuerva J. Weighted Hp spaces[M]. Diss. Math.，1979：1-63.
编辑：琳莉
关键词：Hardy算子;BMO空间;权
[中图分类号]O174.2 [文献标志码]J
Weighted Estimates for Commutators generalized by HardyOperators and BMO Functions
SUN Jie
（Department of Mathematics，Mudanjiang Normal School，Mudanjiang 157012，China）
Abstract：In this paper， we discuss the boundedness of commutators generated by bilinear Hardy operator and weighted BMO functions， and give the proofs.
Key words：hardy operator;BMO space;weight
1976年，Faris[1]介绍了n维Hardy算子，并证明了Hardy算子是Lp（瘙 綆
n）有界的.1975年，Coifman和Meyer[2]研究了双线性算子.本文将研究类似于n维Hardy算子的m -线性平均算子.假设1≤i≤m，yi=（y1i，y2i，…，yni）为瘙 綆
n中的元素，m∈瘙 綃
，f1，…，fm为定义在瘙 綆
n上的非负局部可积函数，f→=（f1，…，fm），m -线性Hardy算子定义为
H（f→）（x）=1Ωm n|x|m n∫{|（y1，…，ym）|<|x|}f1（y1）…fm（ym）dy1…dym，x∈瘙 綆
n＼{0}.
2-线性算子被称为双线性算子. m -线性Hardy算子交换子定义如下：Hb→（f→）（x）=∑mi=1Hibi（f→）（x），其中，Hibi（f→）（x）=bi（x）H（f→）（x）-H（f1，…，fi-1，fibi，fi+1，…，fm）（x）.2012年，Gao[5]证明了Hardy算子与加权BMO函数生成的交换子的加权有界性，更多结论可参见文献[3-6].本文主要研究双线性Hardy算子与加权CBMO函数生成的交换子的有界性.
1 預备知识及引理
记Bk=x∈瘙 綆
n：|x|≤2k，Ck=Bk＼Bk-1，χk（k∈瘙 綄
）表示Ck上的特征函数.
定义1 设α∈瘙 綆
，0
其中，fkα，pq（w1，w2）=∑∞k=-∞wαp/n1（Bk）fχkpLq（w2）1/p.当w1=w2=1时，Kα，pq（瘙 綆
n）=Kα，pq（w1，w2），当α=0，p=q时，Kα，pq（w1，w2）=Lp（w2）.
定义2[4] 设1≤p≤∞，w∈A∞，CBMOpw，定义为由所有满足
fCBMOpw=supr>01w（B（0，r））∫B（0，r）f（x）-fB（0，r）pw（x）1-pdx1/p≤C<∞
的局部可积函数全体构成的空间.当p=1时，CBMO1w=CBMOw，1≤p，q≤∞，fCBMOpw～fCBMOqw.
引理1[4] 设w∈A1，b∈CBMOw，对于j>k存在C>0，使得bBj-bBk≤C（j-k）w（Bk）|Bk|bCBMOw.
引理2[7] 设w∈A1，0<δ<1，若k>j，有w（Bk）w（Bj）≤C2n（k-j），若k≤j，有w（Bk）w（Bj）≤C2n δ（k-j）.
2 主要结果及证明
定理1 假设H为双线性Hardy算子.若w∈A1，b1，b2∈CBMOw.设1
定理2的证明 首先考虑
H1b1（f1，f2）χkqLq（w1-q）≤2-2knq∫Ck∫|（y1，y2）|<|x|f1（y1）f2（y2）b1（x）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx+C2-2knq∫Ck∫|（y1，y2）|<|x|f1（y1）f2（y2）b1（y1）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx=∶Ⅰ+Ⅱ.
由于1/q=1/q1+1/q2，且w∈A1，w∈Aq1，w∈Aq2.由1/q1+1/q′1=1，1/q2+1/q′2=1，应用Holder不等式及定义2，有 Ⅰ≤2-2knq∫Ck∫Bk∫Bkf1（y1）f2（y2）b1（y1）-（b1）Bkdy1dy2qw（x）1-qdx
≤Cb1qCBMOw∑ki=-∞f1χiLq1（w）2（1-1/q1）n（i-k）×∑ki=-∞f2χjLq2（w）2（1-1/q2）n（i-k）q.
估计 Ⅱ：
Ⅱ≤C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）b1（y1）-（b1）Bidy1∑kj=1∫Cjf2（y2）dy2q+
C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）（b1）Bk-（b1）Bidy1∑kj=1∫Cjf2（y2）dy2q=∶Ⅱ1+Ⅱ2.
类似于Ⅰ的估计，由引理2，有
Ⅱ1≤C2-2knqBkqw（Bk）1-q∑ki=-∞f1χiLq1（w）∫Cib1（y1）-（b1）Biq′1w（y1）-q′1/q1dy11/q′1×
∑kj=1∫Cif2（y2）q2w（y2）（dy21/q2∫Ciw（y2）-q′2/q2dy1/q′2q
≤Cb1qCBMOw∑ki=-∞2（i-k）n δ（1-1/q+1/q2）f1χiLq1（w）×∑kj=∞2（j-k）n（1-1/q2）f2χjLq2（w）q.
估计Ⅱ2.由引理1及引理2，有
Ⅱ2≤CBk-qw（Bk）1-q∑ki=-∞∫Cif1（y1）（k-i）bCBMOww（Bi）Bidy1×∑kj=-∞∫Cif2（y2）dy2q
≤CbqCBMOw∑ki=-∞（k-i）2（i-k）n δ（1-1/q1）f1χiLq1（w）q∑kj=-∞2（j-k）n δ（1-1/q2）f2χjLq2（w）q.
由定义2，有
H1b1（f1，f2）Kqα，p（w1-q）=∑∞k=-∞w（Bk）αp/nH1b1（f1，f2）χkpLq（w1-q）1/p1
≤C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞f1χiLq1（w）2（1-1/q1）n（i-k）p×∑kj=-∞f2χjLq1（w）2（1-1/q2）n（i-k）p1/p+
C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞2（i-k）n δ（1-1/q+1/q2）f1χiLq1（w）p×∑kj=-∞2（j-k）n（1-1/q2）f2χjLq1（w）p1/p+
C ∑∞k=-∞w（Bk）αpn∑ki=-∞（k-i）2（i-k）n δ（1-1/q1）f1χiLq1（w）p×∑kj=-∞2（j-k）n δ（1-1/q2）f2χjLq2（w）p1/p
=∶U+V+W.
由于α=α1+α2，1/p=1/p1+1/p2，应用Holder不等式，有
U≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞f1χiLq1（w）w（Bk）α1/n2（1-1/q1）n（i-k）p11/p1×
∑∞k=-∞∑kj=-∞f2χjLq2（w）w（Bk）α2/n2（1-1/q2）n（j-k）p21/p2=U1×U2.
首先估計U1≤Cf1Kα，p1q1（w，w）.
对于0
≤C ∑∞k=-∞∑ki=-∞w（Bi）α1p1/nf1χip1Lq1（w）2（n-n/q1-α1）（i-k）p11/p1≤Cf1Kα1，p1q1（w，w）.
对于1
≤Cf1p1Kα1，p1q1（w，w）.
类似地，有Up22≤Cf2p2Kα2，p2q2（w，w），所以U≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
上述结论对V，W也成立.因此，H1b1（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
同理，H2b2（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
综上，Hb→（f1，f2）Kα，p1q1（w1-q）≤Cf1Kα，p1q1（w，w）×f2Kα，p2q2（w，w）.
由于K0，pp（w，w）=Lp（w），定理1的证明只需证明定理2.
3 结论
本文给出了双线性Hardy算子与加权CBMO函数生成的交换子在加权Lebesgue空间及加权Herz型空间的有界性.推广了已有的一些结论，为后续研究提供了基础.
参考文献
[1]Faris W. Weak Lebesgue spaces and quantum mechanical binding[J].Duke Math.J.，1976，43：365-373.
[2]Coifman R. R. Meyer Y. On commutators of singular integrals and bilinear singular intergrals[J]. Trans. Amer. Math. Soc.，1975，212： 315-331.
[3]Boza S. Soria J. Norms estimates for the Hardy operator in terms of Bp weights[J]. Proc. Amer.Math. Soc.，2017，6（145）： 2455-2465.
[4]Gao G. L. Hausdorff operator and its related research[D]. Hang Zhou：Zhejiang University， 2012.
[5]季丹丹，Musielak-Orlicz-Sobolev空间中的复凸性[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2018（3）：7-10.
[6]张菁，Hahn-Banach定理的几个应用[J]. 牡丹江师范学院学报：自然科学版，2016（2）：15-16.
[7]Garcia-Cuerva J. Weighted Hp spaces[M]. Diss. Math.，1979：1-63.
编辑：琳莉