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【摘要】 基于信道模型提取出多极化MIMO系统所有相关系数的表达式，将其与相关系数和容量因子的关系式结合起来，获得描述多极化MIMO系统性能的确切表达式。该式作为散射体扩展方位角和俯仰角的多元函数，可以通过求函数极值以得到在何种散射环境下能够获取最佳的系统性能。
【关键词】 MIMO 多极化 相关系数 信道容量 角度扩展
引言：
关于MIMO系统的研究由来已久，但通常采用的一些对系统性能衡量的标准比如EDOF[1]、相关矩阵秩[2]、信道矩阵乘以其共轭转置的特征值[3] 等等。但这些标准均不够直观或对系统性能的表征不足，例如EDOF和特征值都是一系列随机数值，矩阵秩仅仅适用于判断收发端的相关矩阵。
在过去的研究中，Oestges等人提出了容量影响因子[4-5]，并指出相关系数实际上可以分成交叉相关系数和收发相关系数两类[6-7]，其数值的降低对系统容量分别起到增加和降低的作用。容量影响因子直接表征了MIMO系统的容量大小，其表达式也直观地体现了各相关系数对容量的影响，因此，只需要获取相关系数关于散射体分布参数的确切表达式，将其代入容量因子与相关系数的关系式，就可以得到容量和传播环境的直接关系。
一、相关系数表达式的获取
1.1 MIMO系统的物理模型
对MIMO系统相关性的计算，一般通过对接收信号在散射体扩展角度范围内进行积分获取。然而[8-9]等采用的模型仅能描述发射天线之间的相关性或接收天线之间的相关性，所以必须采用Kronecker积方法对交叉相关系数进行估算。为避免这种情况，我们选择了一种描述信号整个传播过程的信道模型[10]。在前期的工作中，我们同样应用了该模型，且本文的模型设置都和前期工作[11]所采用的设置完全一致：
令和为方位面内的散射体平均入射角和入射角度扩展范围，θ0和Δθ分别为俯仰面内的散射体平均入射角和入射角度扩展范围，Ω为当前入射信号所在方向的立体角。接收信号来自于方位面和俯仰面，如图1所示，令散射体相对收发端的立体角一一对应。
令散射矩阵S（Ω）描述发射信号的电场经由Ω方向的散射体发生的变化，即
（1）
令第k个天线元的方向图函数为，在θ和方向上的分量分别是和。则信号从第m号发射天线发出再由第n号接收天线接收，其信道响应为
（2）
而子信道之间的相关性系数可以写成
（3）
其中
（4）
通過式（2）～式（4），我们就能够计算出任意入射角谱扩展下各子信道之间的相关系数。
1.2相关系数的计算
给定入射角分布，即和、θ0和Δθ，则各子信道之间的相关系数计算举例如下：
（5）
通过类似式（5）的进一步计算，可以分别求出式（3）的分子和分母各项，即可得到子信道之间的相关性系数。而完整的相关矩阵可以由计算完成的相关系数组合而成，以2×2 MIMO系统为例，相关矩阵可以写成：
（6）
式（1～4）所描述的信道模型仅仅是一种比较方便获得相关系数与散射体分布之间联系的模型。如果采用其它模型，可能得到不同的表达式，但同样可以进行下一步的代入过程。
二、求函数极值获取最佳容量
2.1容量因子表达式的获取
虽然本研究可以扩展到正交三极化天线，但由于算式过于复杂，本文仅以2×2天线为例进行说明。根据文献[4-5]，MIMO信道容量的上界与各种相关系数有着直接的关系，可以由下式描述2×2 MIMO系统的性能：
（7）
式中为容量影响因子，m为发射天线数量，ES/N0为信噪比，si为交叉相关系数，r和t为传统收发相关系数。这个式子非常直观地描述了不同相关系数对信道容量的影响。
如果已经获得式（6）中相关矩阵所有元素的其确切表达式，那么只要代入式（7），即可获得容量影响因子和散射体分布即、、θ0、Δθ的关系。在我们的前期工作中，考虑了散射体分布关于收发端连线对称的情况[11]，这种情况下θ0和定位在收发端连线上，取值固定，此时问题变为求二元函数极值。如果θ0和不固定，则问题会变为求四元函数极值，更为复杂（但仍可求解）。
另外当散射矩阵S（Ω）各元素方差取值不同时，表达式具有不同的结果。本文采用常见的归一化设置，即所有方差均为1。在这种情况下，对相关系数的表达式进一步推导，可以得到精确的解析式。例如和的计算结果为
（8）
以及
（9）
此时根据式（8）、（9）等解析式就可以得到容量影响因子的精确表达。因为最终表达式的规模比较庞大，本文不再具体列出。
2.2容量因子与环境参数的关系
至此，信道容量的极值问题转化为该表达式的极值问题，而该表达式为俯仰角和方位角的函数，因此可以通过求函数极值的方法求解，例如采用求偏导等方法，可以解得系统在何种散射环境下取得最佳容量。但由于容量影响因子的具体表达式比较复杂，而且仅仅获得极值并不足以满足实际需求，本文采用程序进行辅助计算。
在前期的研究中，我们仅仅指出了一些能够获得较优秀系统性能的大致角度范围，而本文可以通过精确的表达式给出更加精确的取值。并且前期我们仅仅能对散射环境对称的情况进行研究，现在可以研究任意取值的θ0和，只是计算更为繁琐。具体结果如图2和图3所示，其中图2仍然是散射环境对称的情况，与[11]的结论相比完全相符;而图3是θ0和任意取值例如、的情况。 θ0和任意取值的情况下，容量影响因子与和Δθ的关系各有不同，本文不再一一展示。但总体来说可以得到统一的结论，就是一般都在和Δθ比较小的时候能够获得相对较高的容量因子;并且无论θ0、、和Δθ的取值如何，其交叉相关系数对容量上限的提升必然大于传统收发相关系数对容量上限的削减，导致对应的容量因子取值均大于1，而容量因子取1对应着就是子信道之间完全不相关的理想情况。
更进一步，我们对散射体任意分布的情况，即θ0、任意取值时容量因子的极值进行研究，结果如图4所示。
从图4可以看出，容量因子的极值分布有着很强的规律性，总的来说最大容量在=180°的情况下比较容易获得，并且最大容量关于θ0呈周期性分布。这种周期性的原因有待进一步研究，但参考本结论我们已经可以解决整个系统在何种环境下可以获得较佳容量甚至最大容量。
三、结束语
通过将MIMO系统的容量问题转化为数学上的极值问题进行求解等相关计算，我们可以获得正交极化分集在任意散射体扩展角度范围下对应的容量因子取值的变化。
通过对这种变化的特征进行归纳，一方面我们能够通过适当控制天线调整散射环境以获得更好的系统性能;一方面我们发现无论散射体扩展角度范围如何分布，正交极化分集对应的容量因子取值均大于1，也就是说正交极化分集比起空间和角度等分集方式，在相关性取值上有着天生的优越性。
参 考 文 献
[1] L. Zhu， S. Wang and J. Zhu， “Adaptive Beamforming Design for Millimeter-Wave Line-of-Sight MIMO Channel，” in IEEE Communications Letters， vol. 23， no. 11， pp. 2095-2098， Nov. 2019.
[2] K. Honda and K. Ogawa， “Over-The-Air Apparatus for Large-Scale MIMO Antennas to Create the Full-Rank Channel Matrix，” 2020 International Symposium on Antennas and Propagation （ISAP）， 2021， pp. 547-548.
[3] D. Piao， “Characteristics of the Hexapolarized MIMO Channel over Free-Space and Three Non-Free-Space Scenarios，” in IEEE Transactions on Wireless Communications， vol. 12， no. 8， pp. 4174-4182， August 2013.
[4] Oestges C， Paulraj A J， “Beneficial impact of channel correlations on MIMO capacity，” Electronics Letters， vol.40， no. 10， pp. 606-608， May 2004.
[5] C. Oestges， B. Clerckx， D. Vanhoenacker-Janvier and A. Paulraj， “Impact of diagonal correlations on MIMO capacity： application to geometrical scattering models，” 2003 IEEE 58th Vehicular Technology Conference. VTC 2003-Fall （IEEE Cat. No.03CH37484）， 2003， pp. 394-398 Vol.1.
[6] Clerckx B， Oestges C. MIMO wireless networks： channels， techniques and standards for multi-antenna， multi-user and multi-cell systems. 2nd ed. Amsterdam： Academic Press， 2013.
[7] D. Schneider and H. Frey， “Analytical Derivation of Outage Correlation in Random Media Access with Application to Average Consensus in Wireless Networks，” 2020 IEEE 31st Annual International Symposium on Personal， Indoor and Mobile Radio Communications， 2020， pp. 1-7.
[8] T. Svantesson， M. A. Jensen and J. W. Wallace， “Analysis of electromagnetic field polarizations in multiantenna systems，” in IEEE Transactions on Wireless Communications， vol. 3， no. 2， pp. 641-646.
[9] C. A. Viteri-Mera and F. L. Teixeira， “Feasibility analysis of polarimetric-interference alignment beamforming in rich-scattering indoor channels，” 2016 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation （APSURSI）， 2016， pp. 335-336.
[10] N. Prayongpun， K. Raoof， “Impact of depolarization phenomena on polarized MIMO channel performances，” I. J. Communications， Network and System Sciencesy， vol. 1， no.2， pp. 124-129， May. 2008.
[11] 戴勇，李偉，汪大洋，赵金城，海凛. “正交三极化MIMO 系统有益入射角谱分布的研究”，中国新通信，已录用，2021.
【关键词】 MIMO 多极化 相关系数 信道容量 角度扩展
引言：
关于MIMO系统的研究由来已久，但通常采用的一些对系统性能衡量的标准比如EDOF[1]、相关矩阵秩[2]、信道矩阵乘以其共轭转置的特征值[3] 等等。但这些标准均不够直观或对系统性能的表征不足，例如EDOF和特征值都是一系列随机数值，矩阵秩仅仅适用于判断收发端的相关矩阵。
在过去的研究中，Oestges等人提出了容量影响因子[4-5]，并指出相关系数实际上可以分成交叉相关系数和收发相关系数两类[6-7]，其数值的降低对系统容量分别起到增加和降低的作用。容量影响因子直接表征了MIMO系统的容量大小，其表达式也直观地体现了各相关系数对容量的影响，因此，只需要获取相关系数关于散射体分布参数的确切表达式，将其代入容量因子与相关系数的关系式，就可以得到容量和传播环境的直接关系。
一、相关系数表达式的获取
1.1 MIMO系统的物理模型
对MIMO系统相关性的计算，一般通过对接收信号在散射体扩展角度范围内进行积分获取。然而[8-9]等采用的模型仅能描述发射天线之间的相关性或接收天线之间的相关性，所以必须采用Kronecker积方法对交叉相关系数进行估算。为避免这种情况，我们选择了一种描述信号整个传播过程的信道模型[10]。在前期的工作中，我们同样应用了该模型，且本文的模型设置都和前期工作[11]所采用的设置完全一致：
令和为方位面内的散射体平均入射角和入射角度扩展范围，θ0和Δθ分别为俯仰面内的散射体平均入射角和入射角度扩展范围，Ω为当前入射信号所在方向的立体角。接收信号来自于方位面和俯仰面，如图1所示，令散射体相对收发端的立体角一一对应。
令散射矩阵S（Ω）描述发射信号的电场经由Ω方向的散射体发生的变化，即
（1）
令第k个天线元的方向图函数为，在θ和方向上的分量分别是和。则信号从第m号发射天线发出再由第n号接收天线接收，其信道响应为
（2）
而子信道之间的相关性系数可以写成
（3）
其中
（4）
通過式（2）～式（4），我们就能够计算出任意入射角谱扩展下各子信道之间的相关系数。
1.2相关系数的计算
给定入射角分布，即和、θ0和Δθ，则各子信道之间的相关系数计算举例如下：
（5）
通过类似式（5）的进一步计算，可以分别求出式（3）的分子和分母各项，即可得到子信道之间的相关性系数。而完整的相关矩阵可以由计算完成的相关系数组合而成，以2×2 MIMO系统为例，相关矩阵可以写成：
（6）
式（1～4）所描述的信道模型仅仅是一种比较方便获得相关系数与散射体分布之间联系的模型。如果采用其它模型，可能得到不同的表达式，但同样可以进行下一步的代入过程。
二、求函数极值获取最佳容量
2.1容量因子表达式的获取
虽然本研究可以扩展到正交三极化天线，但由于算式过于复杂，本文仅以2×2天线为例进行说明。根据文献[4-5]，MIMO信道容量的上界与各种相关系数有着直接的关系，可以由下式描述2×2 MIMO系统的性能：
（7）
式中为容量影响因子，m为发射天线数量，ES/N0为信噪比，si为交叉相关系数，r和t为传统收发相关系数。这个式子非常直观地描述了不同相关系数对信道容量的影响。
如果已经获得式（6）中相关矩阵所有元素的其确切表达式，那么只要代入式（7），即可获得容量影响因子和散射体分布即、、θ0、Δθ的关系。在我们的前期工作中，考虑了散射体分布关于收发端连线对称的情况[11]，这种情况下θ0和定位在收发端连线上，取值固定，此时问题变为求二元函数极值。如果θ0和不固定，则问题会变为求四元函数极值，更为复杂（但仍可求解）。
另外当散射矩阵S（Ω）各元素方差取值不同时，表达式具有不同的结果。本文采用常见的归一化设置，即所有方差均为1。在这种情况下，对相关系数的表达式进一步推导，可以得到精确的解析式。例如和的计算结果为
（8）
以及
（9）
此时根据式（8）、（9）等解析式就可以得到容量影响因子的精确表达。因为最终表达式的规模比较庞大，本文不再具体列出。
2.2容量因子与环境参数的关系
至此，信道容量的极值问题转化为该表达式的极值问题，而该表达式为俯仰角和方位角的函数，因此可以通过求函数极值的方法求解，例如采用求偏导等方法，可以解得系统在何种散射环境下取得最佳容量。但由于容量影响因子的具体表达式比较复杂，而且仅仅获得极值并不足以满足实际需求，本文采用程序进行辅助计算。
在前期的研究中，我们仅仅指出了一些能够获得较优秀系统性能的大致角度范围，而本文可以通过精确的表达式给出更加精确的取值。并且前期我们仅仅能对散射环境对称的情况进行研究，现在可以研究任意取值的θ0和，只是计算更为繁琐。具体结果如图2和图3所示，其中图2仍然是散射环境对称的情况，与[11]的结论相比完全相符;而图3是θ0和任意取值例如、的情况。 θ0和任意取值的情况下，容量影响因子与和Δθ的关系各有不同，本文不再一一展示。但总体来说可以得到统一的结论，就是一般都在和Δθ比较小的时候能够获得相对较高的容量因子;并且无论θ0、、和Δθ的取值如何，其交叉相关系数对容量上限的提升必然大于传统收发相关系数对容量上限的削减，导致对应的容量因子取值均大于1，而容量因子取1对应着就是子信道之间完全不相关的理想情况。
更进一步，我们对散射体任意分布的情况，即θ0、任意取值时容量因子的极值进行研究，结果如图4所示。
从图4可以看出，容量因子的极值分布有着很强的规律性，总的来说最大容量在=180°的情况下比较容易获得，并且最大容量关于θ0呈周期性分布。这种周期性的原因有待进一步研究，但参考本结论我们已经可以解决整个系统在何种环境下可以获得较佳容量甚至最大容量。
三、结束语
通过将MIMO系统的容量问题转化为数学上的极值问题进行求解等相关计算，我们可以获得正交极化分集在任意散射体扩展角度范围下对应的容量因子取值的变化。
通过对这种变化的特征进行归纳，一方面我们能够通过适当控制天线调整散射环境以获得更好的系统性能;一方面我们发现无论散射体扩展角度范围如何分布，正交极化分集对应的容量因子取值均大于1，也就是说正交极化分集比起空间和角度等分集方式，在相关性取值上有着天生的优越性。
参 考 文 献
[1] L. Zhu， S. Wang and J. Zhu， “Adaptive Beamforming Design for Millimeter-Wave Line-of-Sight MIMO Channel，” in IEEE Communications Letters， vol. 23， no. 11， pp. 2095-2098， Nov. 2019.
[2] K. Honda and K. Ogawa， “Over-The-Air Apparatus for Large-Scale MIMO Antennas to Create the Full-Rank Channel Matrix，” 2020 International Symposium on Antennas and Propagation （ISAP）， 2021， pp. 547-548.
[3] D. Piao， “Characteristics of the Hexapolarized MIMO Channel over Free-Space and Three Non-Free-Space Scenarios，” in IEEE Transactions on Wireless Communications， vol. 12， no. 8， pp. 4174-4182， August 2013.
[4] Oestges C， Paulraj A J， “Beneficial impact of channel correlations on MIMO capacity，” Electronics Letters， vol.40， no. 10， pp. 606-608， May 2004.
[5] C. Oestges， B. Clerckx， D. Vanhoenacker-Janvier and A. Paulraj， “Impact of diagonal correlations on MIMO capacity： application to geometrical scattering models，” 2003 IEEE 58th Vehicular Technology Conference. VTC 2003-Fall （IEEE Cat. No.03CH37484）， 2003， pp. 394-398 Vol.1.
[6] Clerckx B， Oestges C. MIMO wireless networks： channels， techniques and standards for multi-antenna， multi-user and multi-cell systems. 2nd ed. Amsterdam： Academic Press， 2013.
[7] D. Schneider and H. Frey， “Analytical Derivation of Outage Correlation in Random Media Access with Application to Average Consensus in Wireless Networks，” 2020 IEEE 31st Annual International Symposium on Personal， Indoor and Mobile Radio Communications， 2020， pp. 1-7.
[8] T. Svantesson， M. A. Jensen and J. W. Wallace， “Analysis of electromagnetic field polarizations in multiantenna systems，” in IEEE Transactions on Wireless Communications， vol. 3， no. 2， pp. 641-646.
[9] C. A. Viteri-Mera and F. L. Teixeira， “Feasibility analysis of polarimetric-interference alignment beamforming in rich-scattering indoor channels，” 2016 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation （APSURSI）， 2016， pp. 335-336.
[10] N. Prayongpun， K. Raoof， “Impact of depolarization phenomena on polarized MIMO channel performances，” I. J. Communications， Network and System Sciencesy， vol. 1， no.2， pp. 124-129， May. 2008.
[11] 戴勇，李偉，汪大洋，赵金城，海凛. “正交三极化MIMO 系统有益入射角谱分布的研究”，中国新通信，已录用，2021.