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摘要：为解决传统双平行四边形柔性机构中二级运动平台欠约束问题，设计了一种波纹梁夹持型对称双平行四边形柔性机构。首先，提出了一种基于正弦曲线的波纹梁结构，并将其安装在对称双平行四边形机构的2个二级平台之间;其次，建立了机构静力学解析模型，并利用拉格朗日方程建立了动力学模型;最后，利用有限元和实验方法对其静、动力学性能进行了仿真和测试。结果表明：该机构在没有改变机构运动刚度和一阶固有频率的情况下，对二级平台进行了有效约束，从而提升了双平行四边形机构的高阶固有频率，能够有效改善传统双平行四边形机构的动力学特性和抑制振动能力。
关键词：柔性机构;波纹梁;平行四边形机构;欠约束;模态分析
【Abstract】Inordertosolvetheunder-constraintproblemofthesecondarymotionplatforminthetraditionaldoubleparallelogramflexiblemechanism，acorrugatedbeamclampingsymmetricaldoubleparallelogramflexiblemechanismisdesigned.First，acorrugatedbeamstructurebasedonasinecurveisproposedandinstalledbetweenthetwosecondaryplatformsofthesymmetricaldoubleparallelogrammechanism;secondly，ananalyticalmodelofmechanismstaticsisestablished，andadynamicmodelisestablishedusingLagrangianequations;finally，finiteelementandexperimentalmethodsareusedtosimulateandtestitsstaticanddynamicperformance.Theresultsshowthatthemechanismeffectivelyrestrainsthesecondaryplatformwithoutchangingthestiffnessofthemechanismandthefirst-orderfrequency，andimprovesthehigh-ordernaturalfrequencyofthedoubleparallelogrammechanism，therebyeffectivelyimprovingdynamiccharacteristicsandabilitytosuppressvibrationofthetraditionaldoubleparallelogrammechanism.
【Keywords】flexiblemechanism;corrugatedbeam;parallelogrammechanism;under-constraint;modalanalysis
作者简介：席守治（1992-），男，硕士研究生，主要研究方向：柔性微纳米定位技术与控制研究;赖磊捷（1986-），男，博士，副教授，主要研究方向：微位移驱动控制研究。
0引言
随着精密加工、微电子、航空航天、生物工程等领域的迅速发展，基于压电陶瓷驱动器和柔性机构的微纳米定位技术得到了广泛应用[1]。其中，柔性机构通过其柔性部件的弹性变形来实现微纳米定位运动，具有装配少、无摩擦、无间隙、无需润滑和运动精度高等优点，是微纳米定位技术的理想选择[2-5]。柔性机构中，双平行四边形机构具有行程大，应力小等优点[6]，现已成功应用在大行程微纳米定位平台中。虽然双平行四边形柔性模块在其自由度方向能够实现大行程运动范围，但由于双平行四杆柔性机构中的二级平台存在与末端平台相同的自由度，造成了二级平台的欠约束问题[7]，随着其工作方向行程的增加，平台约束方向的侧向刚度迅速下降，并且二级平台的高阶振动同样也会对定位平台的控制器设计和动态性能产生不良影响。
为了解决上述问题，常见的方法是运用杠杆机构强制使中间平台和末端平台实现1：2的位移比[8-9]。基于此思路，Panas等人[10]提出了在双平行四边形柔性机构中嵌入梯形远程运动中心机构来模拟杠杆的作用，从而实现对末端平台和中间平台的运动位移进行约束。改进后的机构中间平台的约束方向刚度提升了134倍，并且在保证一阶固有频率基本不变的情况下，将二阶谐振频率提升了11倍。基于该类改进的双平行四边形机构，Roy等人[11]设计了一种行程达到50mm×50mm的二自由度柔性纳米定位平台，由于使用了内嵌梯形机构的双平行四边形柔性模块，其二阶固有频率从25Hz提升至86Hz，而其一阶谐振频率保持在6Hz。另外，Awtar等人[1]也设计了一种夹持型对称双平行四边形柔性机构，在保证运动方向刚度不变的情况下，对双平行四边形机构的二级运动平台进行了约束，提升机构的侧向刚度，有效减少了寄生位移，但由于该机构增加了夹持部分的质量，其一阶固有频率会有一定程度的降低。
本文提出了一种波纹梁夹持型双平行四边形柔性机构，该机构能够在保持工作方向刚度和一阶固有频率同时不变的基础上，解决平行四边形机构二级平台欠约束问题，同时能提高二级运动平台引起的高阶固有频率。本文首先设计了波纹梁夹持型对称双平行四边形机构构型，并建立了机构的静、动力学的解析模型，同时对其工作方向刚度和前三阶固有频率进行有限元仿真和实验分析，验证了所设计机構的有效性。
1波纹梁夹持型对称双平行四边形机构
本文首先提出了波纹梁结构，如图1所示。图1中，红色曲线是需要构造的正弦曲线。参见图1，在局部坐标系xOy中，建立正弦曲线L（单位为mm），即： 将文中设计的波纹梁安装到传统双平行四边形机构（机构一），如图2（a）所示，由此形成了波纹梁夹持型双平行四边形机构（机构二），如图2（b）所示。由图2（b）可知，波纹梁的安装方式是将2个波纹梁上下对称安装到2个二级平台中间，安装位置深度在机构厚度b的四分之一和四分之三处。
改进后的机构二由1个主平台、2个二级平台、1个波纹梁夹持部分（包括2个波纹梁）、8个直梁和机架组成。其中，b、l、h分别表示直梁的宽度（机构的厚度）、长度和厚度;Sm表示主平台的面积;Hs、Ls分别表示二级平台的长度、宽度;Lc表示两二级平台之间的距离，近似等同于波纹梁直线距离。
相比于直梁，安裝的波纹梁轴向刚度相对较低，沿宽度方向抗弯能力较高，因此，将2根波纹梁上下对称安装在2个二级平台上，使2个二级平台平时能够沿工作方向同时运动，实现对二级平台的有效约束。
可以得到波纹梁夹持型双平行四边形机构的固有频率。由于机构二中波纹梁对其运动方向影响较小，故在计算机构二的固有频率时，只需要在二级平台上增加波纹梁的质量。但波纹梁的质量较小，因此对机构一阶固有频率的影响也较小。
4有限元仿真分析
在三维软件Solidworks中，建立了传统双平行四边形机构和波纹梁夹持型双平行四边形机构的三维模型。然后，将其导入有限元仿真软件ANSYSWorkbench中，分别建立这两种柔性机构的有限元模型，并进行静力学分析和模态分析。机构材料选为铝合金Al7075，具体机构的关键尺寸和材料参数见表1。
静力学仿真结果如图4所示。在机构主平台的工作方向上施加50N的力后，机构一和机构二分别产生了0.39877×10-3m和0.3986×10-3m的位移，可计算出其刚度分别为0.12539N/μm和0.12544N/μm，改进后的机构二的刚度只增加了0.04%，基本保持不变。另外，数值分析结果为0.1254N/μm，计算误差在0.01%，较为理想。
机构二的前三阶模态如图5所示。这是仿真得到的波纹梁夹持型双平行四边形机构前三阶模态，分别为179.16Hz、484.55Hz和622.32Hz。机构一的前三阶固有频率分别为180.76Hz，440.99Hz和498.28Hz。由仿真结果比较可知，机构二的二阶和三阶固有频率分别提升了9.9%和24.9%。
5实验验证
首先，选择单独加工的波纹梁，通过螺栓连接的安装方式，将波纹梁对称安装到二级平台上，如图6所示。然后搭建测试系统，对机构的刚度特性进行实验分析，测试系统参见图6。系统中，通过调整压电陶瓷驱动器后面的螺钉来对平台施加不同的作用力，同时分别利用测微仪（三门峡中原量仪股份有限公司出品，型号为DGS-6C，分辨率为0.05μm）和力传感器（蚌埠传感器系统工程有限公司出品，型号为JLBS-MD，量程为0～50kg）对机构主平台的所受力和输出位移进行测量。通过计算被测力和位移差值比值，得到机构一和二在工作方向上的刚度分别为0.803N/μm和0.838N/μm。显然，2个机构的刚度大小几乎一致。但由于线切割时，对直梁的厚度产生较大误差，导致直梁厚度小于1mm，同时机构的实测刚度也变小，但不妨碍研究中机构一和机构二的刚度大小基本一致的实验结果验证。
为了测量机构的动力学特性，使用了分辨率为0.05μm的电涡流位移传感器（上海振迪检测技术有限公司出品）来测量机构主平台的位移，如图7所示。实验过程中，在机构主平台施加一冲击载荷，使其自由振动，同时使用电涡流传感器测量其位移，基于LabVIEW搭建信号采集系统，并通过数据采集卡采集到信号，然后编写程序对测量时域信号进行频谱分析，得到实验结果见表2。由表2可知，机构一前三阶固有频率分别为152Hz、380Hz和425Hz，而机构二前三阶固有频率分别为150Hz、415Hz和556Hz。通过对比，机构二在一阶固有频率基本保持不变的情况下二阶和三阶固有频率较机构一分别提高了9.2%和30.8%。分析表2可知，实验结果与仿真结果变化趋势保持一致，证明了该设计机构在动力学性能的改进。
6结束语
首先，本文设计了一种基于波纹梁夹持的对称双平行四边形机构，在没有改变机构运动刚度和一阶固有频率的情况下，解决了传统双平行四边形机构二级平台的欠约束问题，从而改善传统机构动力学性能。文中首先对机构刚度进行建模，并采用能量法和模块化思想建立了机构的动力学解析模
型。最后，对2种柔性机构的静动力学仿真结果和
实验结果进行了对比分析，分析表明与传统对称双
平行四杆机构相比，波纹梁夹持型对称双平行四杆机构的二、三阶模态的固有频率均有明显提高，对于提高大行程柔性机构的动力学特性和抑振能力具有重要意义。
参考文献
[1]AWTARS，MARIAPPANDD.Experimentalmeasurementofthebearingcharacteristicsofstraight-lineflexuremechanisms[J].PrecisionEngineering，2017，49：S0141635916304500.
[2]SHORYAA.SynthesisandanalysisofparallelKinematicXYflexuremechanisms[J].ReviewofScientificInstruments，2015，16（3）：251-264.
[3]BROUWERDM.Designprinciplesforsixdegrees-of-freedomMEMS-basedprecisionmanipulators[J].PrecisionEngineering，2010，34（2）：307-319. [4]SMITHST.Flexures：Elementsofelasticmechanisms[M].USA：CRCPress，2014.
[5]LEGTENBERGR，GROENEVELDAW，ELWENSPOEKM.Comb-driveactuatorsforlargedisplacements[J].JournalofMicromechanicsandMicroengineering，1999，6（3）：320-329.
[6]AWTARS，SLOCUMH，SEVINCERE.Characteristicsofbeam-basedflexuremodules[J].JournalofMechanicalDesign，2007，129（6）：625-639.
[7]BrouwerDM.Designprinciplesforsixdegrees-of-freedomMEMS-basedprecisionmanipulators[D].TheKingdomoftheNetherlands：UniversityofTwente，2007.
[8]JermanJH，GradeJD.Miniaturedevicewithtranslatablemember：US，6664707[P].2003-12-16.
[9]BROUWERDM，OTTENA，ENGELENJBC，etal.Long-rangeelasticguidancemechanismsforelectrostaticcomb-driveactuators[C]//Proceedingsofthe10thInternationalConferenceoftheEuropeanSocietyforPrecisionEngineeringandNanotechnology（EUSPEN2010）.Delft，Netherlands：euspen，2010：142-1465.
[10]PANASRM，HOPKINSJB.Eliminatingunder-constraintindoubleparallelogramflexuremechanisms[J].JournalofMechanicalDesign，2015，137（9）：092301.
[11]ROYNK，CULLINANMA.Designandcharacterizationofatwo-axis，flexure-basednanopositioningstagewith50mmtravelandreducedhigherordermodes[J].PrecisionEngineering，2018，53：236-247.
关键词：柔性机构;波纹梁;平行四边形机构;欠约束;模态分析
【Abstract】Inordertosolvetheunder-constraintproblemofthesecondarymotionplatforminthetraditionaldoubleparallelogramflexiblemechanism，acorrugatedbeamclampingsymmetricaldoubleparallelogramflexiblemechanismisdesigned.First，acorrugatedbeamstructurebasedonasinecurveisproposedandinstalledbetweenthetwosecondaryplatformsofthesymmetricaldoubleparallelogrammechanism;secondly，ananalyticalmodelofmechanismstaticsisestablished，andadynamicmodelisestablishedusingLagrangianequations;finally，finiteelementandexperimentalmethodsareusedtosimulateandtestitsstaticanddynamicperformance.Theresultsshowthatthemechanismeffectivelyrestrainsthesecondaryplatformwithoutchangingthestiffnessofthemechanismandthefirst-orderfrequency，andimprovesthehigh-ordernaturalfrequencyofthedoubleparallelogrammechanism，therebyeffectivelyimprovingdynamiccharacteristicsandabilitytosuppressvibrationofthetraditionaldoubleparallelogrammechanism.
【Keywords】flexiblemechanism;corrugatedbeam;parallelogrammechanism;under-constraint;modalanalysis
作者简介：席守治（1992-），男，硕士研究生，主要研究方向：柔性微纳米定位技术与控制研究;赖磊捷（1986-），男，博士，副教授，主要研究方向：微位移驱动控制研究。
0引言
随着精密加工、微电子、航空航天、生物工程等领域的迅速发展，基于压电陶瓷驱动器和柔性机构的微纳米定位技术得到了广泛应用[1]。其中，柔性机构通过其柔性部件的弹性变形来实现微纳米定位运动，具有装配少、无摩擦、无间隙、无需润滑和运动精度高等优点，是微纳米定位技术的理想选择[2-5]。柔性机构中，双平行四边形机构具有行程大，应力小等优点[6]，现已成功应用在大行程微纳米定位平台中。虽然双平行四边形柔性模块在其自由度方向能够实现大行程运动范围，但由于双平行四杆柔性机构中的二级平台存在与末端平台相同的自由度，造成了二级平台的欠约束问题[7]，随着其工作方向行程的增加，平台约束方向的侧向刚度迅速下降，并且二级平台的高阶振动同样也会对定位平台的控制器设计和动态性能产生不良影响。
为了解决上述问题，常见的方法是运用杠杆机构强制使中间平台和末端平台实现1：2的位移比[8-9]。基于此思路，Panas等人[10]提出了在双平行四边形柔性机构中嵌入梯形远程运动中心机构来模拟杠杆的作用，从而实现对末端平台和中间平台的运动位移进行约束。改进后的机构中间平台的约束方向刚度提升了134倍，并且在保证一阶固有频率基本不变的情况下，将二阶谐振频率提升了11倍。基于该类改进的双平行四边形机构，Roy等人[11]设计了一种行程达到50mm×50mm的二自由度柔性纳米定位平台，由于使用了内嵌梯形机构的双平行四边形柔性模块，其二阶固有频率从25Hz提升至86Hz，而其一阶谐振频率保持在6Hz。另外，Awtar等人[1]也设计了一种夹持型对称双平行四边形柔性机构，在保证运动方向刚度不变的情况下，对双平行四边形机构的二级运动平台进行了约束，提升机构的侧向刚度，有效减少了寄生位移，但由于该机构增加了夹持部分的质量，其一阶固有频率会有一定程度的降低。
本文提出了一种波纹梁夹持型双平行四边形柔性机构，该机构能够在保持工作方向刚度和一阶固有频率同时不变的基础上，解决平行四边形机构二级平台欠约束问题，同时能提高二级运动平台引起的高阶固有频率。本文首先设计了波纹梁夹持型对称双平行四边形机构构型，并建立了机构的静、动力学的解析模型，同时对其工作方向刚度和前三阶固有频率进行有限元仿真和实验分析，验证了所设计机構的有效性。
1波纹梁夹持型对称双平行四边形机构
本文首先提出了波纹梁结构，如图1所示。图1中，红色曲线是需要构造的正弦曲线。参见图1，在局部坐标系xOy中，建立正弦曲线L（单位为mm），即： 将文中设计的波纹梁安装到传统双平行四边形机构（机构一），如图2（a）所示，由此形成了波纹梁夹持型双平行四边形机构（机构二），如图2（b）所示。由图2（b）可知，波纹梁的安装方式是将2个波纹梁上下对称安装到2个二级平台中间，安装位置深度在机构厚度b的四分之一和四分之三处。
改进后的机构二由1个主平台、2个二级平台、1个波纹梁夹持部分（包括2个波纹梁）、8个直梁和机架组成。其中，b、l、h分别表示直梁的宽度（机构的厚度）、长度和厚度;Sm表示主平台的面积;Hs、Ls分别表示二级平台的长度、宽度;Lc表示两二级平台之间的距离，近似等同于波纹梁直线距离。
相比于直梁，安裝的波纹梁轴向刚度相对较低，沿宽度方向抗弯能力较高，因此，将2根波纹梁上下对称安装在2个二级平台上，使2个二级平台平时能够沿工作方向同时运动，实现对二级平台的有效约束。
可以得到波纹梁夹持型双平行四边形机构的固有频率。由于机构二中波纹梁对其运动方向影响较小，故在计算机构二的固有频率时，只需要在二级平台上增加波纹梁的质量。但波纹梁的质量较小，因此对机构一阶固有频率的影响也较小。
4有限元仿真分析
在三维软件Solidworks中，建立了传统双平行四边形机构和波纹梁夹持型双平行四边形机构的三维模型。然后，将其导入有限元仿真软件ANSYSWorkbench中，分别建立这两种柔性机构的有限元模型，并进行静力学分析和模态分析。机构材料选为铝合金Al7075，具体机构的关键尺寸和材料参数见表1。
静力学仿真结果如图4所示。在机构主平台的工作方向上施加50N的力后，机构一和机构二分别产生了0.39877×10-3m和0.3986×10-3m的位移，可计算出其刚度分别为0.12539N/μm和0.12544N/μm，改进后的机构二的刚度只增加了0.04%，基本保持不变。另外，数值分析结果为0.1254N/μm，计算误差在0.01%，较为理想。
机构二的前三阶模态如图5所示。这是仿真得到的波纹梁夹持型双平行四边形机构前三阶模态，分别为179.16Hz、484.55Hz和622.32Hz。机构一的前三阶固有频率分别为180.76Hz，440.99Hz和498.28Hz。由仿真结果比较可知，机构二的二阶和三阶固有频率分别提升了9.9%和24.9%。
5实验验证
首先，选择单独加工的波纹梁，通过螺栓连接的安装方式，将波纹梁对称安装到二级平台上，如图6所示。然后搭建测试系统，对机构的刚度特性进行实验分析，测试系统参见图6。系统中，通过调整压电陶瓷驱动器后面的螺钉来对平台施加不同的作用力，同时分别利用测微仪（三门峡中原量仪股份有限公司出品，型号为DGS-6C，分辨率为0.05μm）和力传感器（蚌埠传感器系统工程有限公司出品，型号为JLBS-MD，量程为0～50kg）对机构主平台的所受力和输出位移进行测量。通过计算被测力和位移差值比值，得到机构一和二在工作方向上的刚度分别为0.803N/μm和0.838N/μm。显然，2个机构的刚度大小几乎一致。但由于线切割时，对直梁的厚度产生较大误差，导致直梁厚度小于1mm，同时机构的实测刚度也变小，但不妨碍研究中机构一和机构二的刚度大小基本一致的实验结果验证。
为了测量机构的动力学特性，使用了分辨率为0.05μm的电涡流位移传感器（上海振迪检测技术有限公司出品）来测量机构主平台的位移，如图7所示。实验过程中，在机构主平台施加一冲击载荷，使其自由振动，同时使用电涡流传感器测量其位移，基于LabVIEW搭建信号采集系统，并通过数据采集卡采集到信号，然后编写程序对测量时域信号进行频谱分析，得到实验结果见表2。由表2可知，机构一前三阶固有频率分别为152Hz、380Hz和425Hz，而机构二前三阶固有频率分别为150Hz、415Hz和556Hz。通过对比，机构二在一阶固有频率基本保持不变的情况下二阶和三阶固有频率较机构一分别提高了9.2%和30.8%。分析表2可知，实验结果与仿真结果变化趋势保持一致，证明了该设计机构在动力学性能的改进。
6结束语
首先，本文设计了一种基于波纹梁夹持的对称双平行四边形机构，在没有改变机构运动刚度和一阶固有频率的情况下，解决了传统双平行四边形机构二级平台的欠约束问题，从而改善传统机构动力学性能。文中首先对机构刚度进行建模，并采用能量法和模块化思想建立了机构的动力学解析模
型。最后，对2种柔性机构的静动力学仿真结果和
实验结果进行了对比分析，分析表明与传统对称双
平行四杆机构相比，波纹梁夹持型对称双平行四杆机构的二、三阶模态的固有频率均有明显提高，对于提高大行程柔性机构的动力学特性和抑振能力具有重要意义。
参考文献
[1]AWTARS，MARIAPPANDD.Experimentalmeasurementofthebearingcharacteristicsofstraight-lineflexuremechanisms[J].PrecisionEngineering，2017，49：S0141635916304500.
[2]SHORYAA.SynthesisandanalysisofparallelKinematicXYflexuremechanisms[J].ReviewofScientificInstruments，2015，16（3）：251-264.
[3]BROUWERDM.Designprinciplesforsixdegrees-of-freedomMEMS-basedprecisionmanipulators[J].PrecisionEngineering，2010，34（2）：307-319. [4]SMITHST.Flexures：Elementsofelasticmechanisms[M].USA：CRCPress，2014.
[5]LEGTENBERGR，GROENEVELDAW，ELWENSPOEKM.Comb-driveactuatorsforlargedisplacements[J].JournalofMicromechanicsandMicroengineering，1999，6（3）：320-329.
[6]AWTARS，SLOCUMH，SEVINCERE.Characteristicsofbeam-basedflexuremodules[J].JournalofMechanicalDesign，2007，129（6）：625-639.
[7]BrouwerDM.Designprinciplesforsixdegrees-of-freedomMEMS-basedprecisionmanipulators[D].TheKingdomoftheNetherlands：UniversityofTwente，2007.
[8]JermanJH，GradeJD.Miniaturedevicewithtranslatablemember：US，6664707[P].2003-12-16.
[9]BROUWERDM，OTTENA，ENGELENJBC，etal.Long-rangeelasticguidancemechanismsforelectrostaticcomb-driveactuators[C]//Proceedingsofthe10thInternationalConferenceoftheEuropeanSocietyforPrecisionEngineeringandNanotechnology（EUSPEN2010）.Delft，Netherlands：euspen，2010：142-1465.
[10]PANASRM，HOPKINSJB.Eliminatingunder-constraintindoubleparallelogramflexuremechanisms[J].JournalofMechanicalDesign，2015，137（9）：092301.
[11]ROYNK，CULLINANMA.Designandcharacterizationofatwo-axis，flexure-basednanopositioningstagewith50mmtravelandreducedhigherordermodes[J].PrecisionEngineering，2018，53：236-247.