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初中数学中，有很多数学概念、性质、定理、方法等知识。在数学领域里，任何一个定理与方法的提出，都需要经过一个严密而漫长的逻辑推理过程，才能被公众所接受，并在日后的数学推理中应用。然而，想要推翻这一系列论证过程，只需要一个证明其有误的相反实例就可以了，这就是本文所要讨论的反例。反例不仅在推进数学理论研究中具有举足轻重的作用，在学生的具体学习过程中也是不可或缺的。在初中数学教学中巧举反例，可以起到提升学生自主学习能力的效果。
反例，引出数学概念
巧举反例的方式，可以贯穿初中数学课堂教学的全部环节中。在学习数学知识时，最为基础的部分莫过于概念了。它如同一块块砖瓦，彼此连结，堆积成了初中数学的知识大厦。如果在概念理解这个初始环节便出现了漏洞，就会直接导致其后知识内容的难以准确掌握。因此，教师必须将数学概念的理解放在课堂教学的重要位置。
例如：在带领学生们学习单项式的概念时，我便引导大家采用了运用反例的思考方式。在学生们阅读过教材当中的概念表述后，请大家列举出一些自己认为正确的单项式。大多数学生所想到的都是2a、3x等常规形态的单项式。于是，我进一步启发学生：、5、是否为单项式呢？这样的反例式问题一出，学生们马上找到了对于单项式概念应当关注的重点。在完成了对于这些比较典型的对象分析之后，大家对于单项式的理解，也更为深入和透彻了。
可以看出，数学概念的教学过程，是十分适合巧妙运用反例的。初中数学的教学语言十分严谨和精炼，常常会在短短几个字中蕴含丰富的含义，若是仅从字面上理解，学生们很难做到对概念内涵进行准确而全面地把握。加入了反例之后，学生们便得以轻松地找到自身概念理解的薄弱点，并以此方式不断自主巩固和完善理解。
反例，论证定理
仔细观察教材不难发现，在初中数学中，逐渐出现了诸多性质、定理等内容，且在整个知识内容范围里占据了不小的比重。这些性质和定理也是学生们高效解决各种数学问题的有力武器。因此，对于这部分知识内容的学习必须高度重视。为了达到理想的学习效果，巧举反例是教师们应当传达给学生的有效方法。
例如：在全等三角形判定定理的教学过程中，先后出现了SSS、SAS、ASA和AAS等几个重要的判定定理。上述内容教学完成后，我提问学生：“大家认为，是否可以通过SSA来判定两个三角形全等呢？”学生们不假思索地认为，这个定理也是存在的。于是，我向大家举出了这样一个反例：以△ABC的顶点A为圆心，以CA为半径作一个圆，且与边BC相交于点D。那么，不难得出，在△ABD和△ABC当中，AB为公共边，∠B为公共角，CA=DA，完全满足SSA的要求，但很显然，这两个三角形是不全等的，可见SSA的判定定理是错误的。这个反例的提出，让学生们恍然大悟，对于以上判定定理的记忆，更深刻了。
教师在进行每一个定理的教学时，都需要对其进行细致的推导和论证，保证该定理产生的科学性。也就是说，每一个定理的诞生，都是经得起各种质疑、推敲的。因此，如果学生真正掌握了一个定理，也就自然能够接受反例的提出。反例的运用，可以成为学生对于定理掌握程度进行自我检验的便捷途径，让自己的数学知识准确无误。
反例，推理生活实际问题
在初中数学学习中，学生们除了需要牢固掌握概念、定理等基本知识外，还应当结合实际问题的解答，从中总结、提炼出相应的数学思想方法进行运用。这是对于初中数学学习所提出的高层次要求，更是学生们数学学习效果的升华。那么，如何保证所提炼和掌握的数学方法是可以普遍适用于所有相关问题的解答过程中呢？反例就成为了一个有力的标尺。
例如：在向学生们教授方程的解法时，我特别强调了对于未知数系数进行分类讨论的解题方法。为了让大家能够真正理解该数学方法的用意所在，我要求学生们对-2=这一方程进行求解。经过去分母、去括号、移项及合并同类项等步骤，最后得出了（a-b）x=-（a-b）2的表达式。这时的化简便成为了重要一步，必须按照上述数学方法要求，对于a-b是否为0进行分类讨论，便可分别得出x=-a b和x为任意实数两种情况。如果没有经过这个讨论的步骤，所得出的最终结果显然是不完整的。这种反例的出现，让学生们意识到：在掌握每一种数学方法时，都必须细致、落实。
掌握了反例运用的方法之后，学生们对于数学方法的总结、理解和运用更加自如了。当接受一个新的数学思想方法之后，学生可以通过自主寻找反例来验证该方法的准确性。在寻找反例的同时，也是促进学生对该思想方法进行深入理解的过程，一举两得。
反例的运用，为初中数学教学提出了一个新视角，引导学生们开始从相反的方向看待数学学习。这个方式让学生们耳目一新，对于初中数学学习又产生了浓厚的兴趣。与此同时，巧举反例也为学生们的自主学习开辟了一条捷径。对于很多性质定理，与其从正方向进行大面积的研究，很多时候的效果仍不及一个反例的作用。在教师的引导之下，学生们完全可以自主提出反例，从而对于知识内容进行全面认知，既能完善初中数学学习效果，又能提升学生们的自主学习能力。
（作者单位：江苏省海门市德胜初级中学）
反例，引出数学概念
巧举反例的方式，可以贯穿初中数学课堂教学的全部环节中。在学习数学知识时，最为基础的部分莫过于概念了。它如同一块块砖瓦，彼此连结，堆积成了初中数学的知识大厦。如果在概念理解这个初始环节便出现了漏洞，就会直接导致其后知识内容的难以准确掌握。因此，教师必须将数学概念的理解放在课堂教学的重要位置。
例如：在带领学生们学习单项式的概念时，我便引导大家采用了运用反例的思考方式。在学生们阅读过教材当中的概念表述后，请大家列举出一些自己认为正确的单项式。大多数学生所想到的都是2a、3x等常规形态的单项式。于是，我进一步启发学生：、5、是否为单项式呢？这样的反例式问题一出，学生们马上找到了对于单项式概念应当关注的重点。在完成了对于这些比较典型的对象分析之后，大家对于单项式的理解，也更为深入和透彻了。
可以看出，数学概念的教学过程，是十分适合巧妙运用反例的。初中数学的教学语言十分严谨和精炼，常常会在短短几个字中蕴含丰富的含义，若是仅从字面上理解，学生们很难做到对概念内涵进行准确而全面地把握。加入了反例之后，学生们便得以轻松地找到自身概念理解的薄弱点，并以此方式不断自主巩固和完善理解。
反例，论证定理
仔细观察教材不难发现，在初中数学中，逐渐出现了诸多性质、定理等内容，且在整个知识内容范围里占据了不小的比重。这些性质和定理也是学生们高效解决各种数学问题的有力武器。因此，对于这部分知识内容的学习必须高度重视。为了达到理想的学习效果，巧举反例是教师们应当传达给学生的有效方法。
例如：在全等三角形判定定理的教学过程中，先后出现了SSS、SAS、ASA和AAS等几个重要的判定定理。上述内容教学完成后，我提问学生：“大家认为，是否可以通过SSA来判定两个三角形全等呢？”学生们不假思索地认为，这个定理也是存在的。于是，我向大家举出了这样一个反例：以△ABC的顶点A为圆心，以CA为半径作一个圆，且与边BC相交于点D。那么，不难得出，在△ABD和△ABC当中，AB为公共边，∠B为公共角，CA=DA，完全满足SSA的要求，但很显然，这两个三角形是不全等的，可见SSA的判定定理是错误的。这个反例的提出，让学生们恍然大悟，对于以上判定定理的记忆，更深刻了。
教师在进行每一个定理的教学时，都需要对其进行细致的推导和论证，保证该定理产生的科学性。也就是说，每一个定理的诞生，都是经得起各种质疑、推敲的。因此，如果学生真正掌握了一个定理，也就自然能够接受反例的提出。反例的运用，可以成为学生对于定理掌握程度进行自我检验的便捷途径，让自己的数学知识准确无误。
反例，推理生活实际问题
在初中数学学习中，学生们除了需要牢固掌握概念、定理等基本知识外，还应当结合实际问题的解答，从中总结、提炼出相应的数学思想方法进行运用。这是对于初中数学学习所提出的高层次要求，更是学生们数学学习效果的升华。那么，如何保证所提炼和掌握的数学方法是可以普遍适用于所有相关问题的解答过程中呢？反例就成为了一个有力的标尺。
例如：在向学生们教授方程的解法时，我特别强调了对于未知数系数进行分类讨论的解题方法。为了让大家能够真正理解该数学方法的用意所在，我要求学生们对-2=这一方程进行求解。经过去分母、去括号、移项及合并同类项等步骤，最后得出了（a-b）x=-（a-b）2的表达式。这时的化简便成为了重要一步，必须按照上述数学方法要求，对于a-b是否为0进行分类讨论，便可分别得出x=-a b和x为任意实数两种情况。如果没有经过这个讨论的步骤，所得出的最终结果显然是不完整的。这种反例的出现，让学生们意识到：在掌握每一种数学方法时，都必须细致、落实。
掌握了反例运用的方法之后，学生们对于数学方法的总结、理解和运用更加自如了。当接受一个新的数学思想方法之后，学生可以通过自主寻找反例来验证该方法的准确性。在寻找反例的同时，也是促进学生对该思想方法进行深入理解的过程，一举两得。
反例的运用，为初中数学教学提出了一个新视角，引导学生们开始从相反的方向看待数学学习。这个方式让学生们耳目一新，对于初中数学学习又产生了浓厚的兴趣。与此同时，巧举反例也为学生们的自主学习开辟了一条捷径。对于很多性质定理，与其从正方向进行大面积的研究，很多时候的效果仍不及一个反例的作用。在教师的引导之下，学生们完全可以自主提出反例，从而对于知识内容进行全面认知，既能完善初中数学学习效果，又能提升学生们的自主学习能力。
（作者单位：江苏省海门市德胜初级中学）