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摘 要：本文将换元与放缩两种思路结合应用求解相关问题，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，提炼出适合学生认识这一类问题的基本方法，并给出了详尽的讨论与基本的应对模式。
关健词：换元放缩 分类对比 应对策略
换元与放缩是高中数学中两个重要的解题方法与技巧，融含着深刻的逻辑推理与数学转化思想。理解这两种方法的本质与强化这两种思维的应用，能够使知识低层次不断分化，高层次重新组合，形成科学高效的思维，促使创新能力的发展。换元与放缩两种思路的结合应用， 更会使许多问题的求解变得简捷高效，更加有利于培养思维的灵活性、发散性、独创性，形成深刻的洞察力。
本文集锦了一些两种方法结合应用的题目，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，以达到启迪思维的妙用。
一、换元放缩在含参方程中的应用
例1、若关于x的方程16x+（4+a）·4x+4=0有解，则实数a取值范围是（ ）。
A、（-∞，-8）∪[0，+∞）B、（-∞，-4]
C、（-8，-4]D、（-∞，-8]
解法一：常规思路。
令t=4x（t≥0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。
由题意知此方程需要有正根，所以△≥0且两根之和为正数，则可得不等式组：
（a+4）2-16≥0
-（a+4）>0
从而易得：a≤-8。
解法二：换元放缩思路。
令t=4x（t≥0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。
移项并两边同除以t（t>0），则可知：
（4+a）=-t- ≤-4
从而易得：a≤-8。
点评：第一种方法是换元与一元二次根的判别式结合求解，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种换元转换后采用方程形式的等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。显然第二种方法求解过程简捷高效，有利于思维深层次的训练。换元后将复杂方程转换为一元二次方程是解题的基础，应用换元自变量的定义域使方程转化为可放缩的形式是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。
二、换元放缩在不等式中的应用
例2、已知a、b、c、d∈R，求证：ac+bd≤ （a2+b2）（c2+d2）
解法一：常规思路。
∵（a2+b2）（c2+d2）－(ac+bd)2=（bc+ad）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥(ac+bd)2
∴ （a2+b2）（c2+d2）≥|ac+bd|≥ac+bd
即：ac+bd≤ （a2+b2）（c2+d2）
解法二：换元放缩思路。
设：， （r1、r2均为变量），则：
ac+bd=r1r2cosacosβ+r1r2sinasinβ=r1r2cos（a-β）≤|r1r2|
|r1r2|=|r1||r2|= a2+b2· c2+d2= （a2+b2）（c2+d2）
即：ac+bd≤ （a2+b2）（c2+d2）
点评：第一种应用的是差值比较与放缩法直接得到了结果。第二种采用三角换元的方式，利用三角函数的值域进行放缩得到了结果。从形式上看，第一种解法比第二种解法思维直接，解题过程简单，但第一种解法需要多次转换，思维歧点较多；第二种采用三角转换后，歧点较少，开辟直接到达结果的目的。利用三角换元是解题的基础，利用三角函数的值域进行放缩是解题的关键，利用三角函数的性质使三角形式转换为原不等式是解题的技巧。
三、换元放缩在含参不等式中的应用
例3、已知x∈R时，32x-（k+1）·3x+2>0。则k的取值范围是（ ）。
A、（-∞，-1） B、（-∞，2 2-1）
C、（-1，2 2-1）D、（-2 2-，2 2-1）
解法一：常规思路。
设t=3x（t>0），则原不等式可转化为：t2-（k+1）t+2>0。
对应方程t2-（k+1）t+2=0的△=（k+1）2-8=k2+2k-7
（1）当-2 2-10恒成立。因此当 k∈（-2 2-1，2 2-1），不等式32x-（k+1）·3x+2>0是成立的。
（2）当k≤-2 2-1或k≥2 2-1时，△≥0，方程t2-（k+1）t+2=0有實数根。设此方程两个实根为t1、t2，且t1≤t2，要使得t>0时不等式t2-（k+1）t+2>0成立，则方程t2-（k+1）t+2=0的大根t2≤0。
∵t1·t2=2>0
∴t2≠0
又∵t1+t2=k+1<0
即：k<-1
结合分析条件k≤-2 2-1或k≥2 2－１可知：k∈（-∞，-2 2-1]；
即当k∈（-∞，-2 2-1]时，32x-（k+1）·3x+2>0是成立的。
只要满足（1）或（2）结果，32x-（k+1）·3x+2>0均成立，因此k取值范围是（-∞，2 2-1）。
解法二：换元放缩思路。
令3x=t（t>0），则原式可转换为：t2-（k+1）t+2>0。
移项并两边同除以t（t>0），则可知：k+1 而又不等式的性质可知：t+ ≥2 2
所以：k+1<2 2
即：k<2 2-1
所以k取值范围是（-∞，2 2-1）。
点评：第一种方法是换元与二次函数的性质结合求解，根据函数的开口向上，利用根与系数的关系，就可讨论t>0使不等式成立的条件，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种方法是换元转换后将不等式等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。通过对比，第二种方法思维过程简单，省时灵活，将参数特性充分显示在不等式中，使这个辅元，转换了角色，变成了主元，得到了讨论。换元后将复杂方程转换为一元二次不等式是解题的基础，应用等效转换的形式将辅元参数转换为主元是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。
四、换元放缩在函数中的应用
例4、函数y= 的值域是_____。
解法一：常规思路。
令t= x+4≥0
则原函数可转换为：y=
近而可看作以y为参数的方程，即：yt2-t+y=0
此方程有非负实根的充要条件是：（1）y=0时，代入方程，即可得t=0，满足题意。
（2）y≠0时，根据方程有大于零的实根，两根之和等于一次项系数的相反数，得不等式组：
△=1-4y2≥0
t1+t2= >0
解得：y∈（0， ]
综合（1）、（2），y∈（0， ]。
解法二：换元放缩思路。
令t= x+4≥0
则原函数可转换为：y==≤
又从函数的表达式可知：y≥0
所以y∈[0， ]。
点评：第一种方法采用换元将函数转换成含参方程，使得函数变成了参数，利用一元二次方程根的判别来求解函数的值域。第二种方法换元后，利用换元后自变量的定义域直接对函数形式转换，采用放缩形式得到结果。第二种方法求解思路简单，求解过程明了，彰显了数学思维的简捷美。换元转换是解题的基础，形式转换是解题的关键，应用放缩是解题的技巧。
五、换元放缩在二元函数中的应用
例5、已知 ，求log9（3x+3y）的最小值。
解析：不等式组对应的可行域如图中的阴影及以上的部分。
log9（3x+3y）≥log92 3x+y=log92+（x=y时取等号）
令z=x+y,易知直线y=-x+z过点A（ ， ）时，z取最小值 。
log9（3x+3y）≥log92+ ≥log92+
从而当x=y= 时，log9（3x+3y）取最小值log92+ 。
点评：本题只能在线性规划的基础上利用换元放缩得到结果。将问题建立在线性规划的基础上求解的思维方式是解题的基础，采用放缩与换元的方式将所求复杂函数转换为线性规划的目标函数是解题的关键，做图找到可行区域是解题的技巧，理解换元函数是目标函数的截距就能使问题得以解决。
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关健词：换元放缩 分类对比 应对策略
换元与放缩是高中数学中两个重要的解题方法与技巧，融含着深刻的逻辑推理与数学转化思想。理解这两种方法的本质与强化这两种思维的应用，能够使知识低层次不断分化，高层次重新组合，形成科学高效的思维，促使创新能力的发展。换元与放缩两种思路的结合应用， 更会使许多问题的求解变得简捷高效，更加有利于培养思维的灵活性、发散性、独创性，形成深刻的洞察力。
本文集锦了一些两种方法结合应用的题目，在分类认识的基础上，通过与常规思路的对比，以达到启迪思维的妙用。
一、换元放缩在含参方程中的应用
例1、若关于x的方程16x+（4+a）·4x+4=0有解，则实数a取值范围是（ ）。
A、（-∞，-8）∪[0，+∞）B、（-∞，-4]
C、（-8，-4]D、（-∞，-8]
解法一：常规思路。
令t=4x（t≥0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。
由题意知此方程需要有正根，所以△≥0且两根之和为正数，则可得不等式组：
（a+4）2-16≥0
-（a+4）>0
从而易得：a≤-8。
解法二：换元放缩思路。
令t=4x（t≥0），原方程可化为t2+（4+a）t+4=0。
移项并两边同除以t（t>0），则可知：
（4+a）=-t- ≤-4
从而易得：a≤-8。
点评：第一种方法是换元与一元二次根的判别式结合求解，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种换元转换后采用方程形式的等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。显然第二种方法求解过程简捷高效，有利于思维深层次的训练。换元后将复杂方程转换为一元二次方程是解题的基础，应用换元自变量的定义域使方程转化为可放缩的形式是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。
二、换元放缩在不等式中的应用
例2、已知a、b、c、d∈R，求证：ac+bd≤ （a2+b2）（c2+d2）
解法一：常规思路。
∵（a2+b2）（c2+d2）－(ac+bd)2=（bc+ad）2≥0
∴（a2+b2）（c2+d2）≥(ac+bd)2
∴ （a2+b2）（c2+d2）≥|ac+bd|≥ac+bd
即：ac+bd≤ （a2+b2）（c2+d2）
解法二：换元放缩思路。
设：， （r1、r2均为变量），则：
ac+bd=r1r2cosacosβ+r1r2sinasinβ=r1r2cos（a-β）≤|r1r2|
|r1r2|=|r1||r2|= a2+b2· c2+d2= （a2+b2）（c2+d2）
即：ac+bd≤ （a2+b2）（c2+d2）
点评：第一种应用的是差值比较与放缩法直接得到了结果。第二种采用三角换元的方式，利用三角函数的值域进行放缩得到了结果。从形式上看，第一种解法比第二种解法思维直接，解题过程简单，但第一种解法需要多次转换，思维歧点较多；第二种采用三角转换后，歧点较少，开辟直接到达结果的目的。利用三角换元是解题的基础，利用三角函数的值域进行放缩是解题的关键，利用三角函数的性质使三角形式转换为原不等式是解题的技巧。
三、换元放缩在含参不等式中的应用
例3、已知x∈R时，32x-（k+1）·3x+2>0。则k的取值范围是（ ）。
A、（-∞，-1） B、（-∞，2 2-1）
C、（-1，2 2-1）D、（-2 2-，2 2-1）
解法一：常规思路。
设t=3x（t>0），则原不等式可转化为：t2-（k+1）t+2>0。
对应方程t2-（k+1）t+2=0的△=（k+1）2-8=k2+2k-7
（1）当-2 2-1
（2）当k≤-2 2-1或k≥2 2-1时，△≥0，方程t2-（k+1）t+2=0有實数根。设此方程两个实根为t1、t2，且t1≤t2，要使得t>0时不等式t2-（k+1）t+2>0成立，则方程t2-（k+1）t+2=0的大根t2≤0。
∵t1·t2=2>0
∴t2≠0
又∵t1+t2=k+1<0
即：k<-1
结合分析条件k≤-2 2-1或k≥2 2－１可知：k∈（-∞，-2 2-1]；
即当k∈（-∞，-2 2-1]时，32x-（k+1）·3x+2>0是成立的。
只要满足（1）或（2）结果，32x-（k+1）·3x+2>0均成立，因此k取值范围是（-∞，2 2-1）。
解法二：换元放缩思路。
令3x=t（t>0），则原式可转换为：t2-（k+1）t+2>0。
移项并两边同除以t（t>0），则可知：k+1
所以：k+1<2 2
即：k<2 2-1
所以k取值范围是（-∞，2 2-1）。
点评：第一种方法是换元与二次函数的性质结合求解，根据函数的开口向上，利用根与系数的关系，就可讨论t>0使不等式成立的条件，是换元转换后首先想到的基本思路。第二种方法是换元转换后将不等式等效转换，得到了有效形式后采用放缩得到了结果。通过对比，第二种方法思维过程简单，省时灵活，将参数特性充分显示在不等式中，使这个辅元，转换了角色，变成了主元，得到了讨论。换元后将复杂方程转换为一元二次不等式是解题的基础，应用等效转换的形式将辅元参数转换为主元是解题的关键，利用不等式的性质放缩后得到结果是解题的技巧。
四、换元放缩在函数中的应用
例4、函数y= 的值域是_____。
解法一：常规思路。
令t= x+4≥0
则原函数可转换为：y=
近而可看作以y为参数的方程，即：yt2-t+y=0
此方程有非负实根的充要条件是：（1）y=0时，代入方程，即可得t=0，满足题意。
（2）y≠0时，根据方程有大于零的实根，两根之和等于一次项系数的相反数，得不等式组：
△=1-4y2≥0
t1+t2= >0
解得：y∈（0， ]
综合（1）、（2），y∈（0， ]。
解法二：换元放缩思路。
令t= x+4≥0
则原函数可转换为：y==≤
又从函数的表达式可知：y≥0
所以y∈[0， ]。
点评：第一种方法采用换元将函数转换成含参方程，使得函数变成了参数，利用一元二次方程根的判别来求解函数的值域。第二种方法换元后，利用换元后自变量的定义域直接对函数形式转换，采用放缩形式得到结果。第二种方法求解思路简单，求解过程明了，彰显了数学思维的简捷美。换元转换是解题的基础，形式转换是解题的关键，应用放缩是解题的技巧。
五、换元放缩在二元函数中的应用
例5、已知 ，求log9（3x+3y）的最小值。
解析：不等式组对应的可行域如图中的阴影及以上的部分。
log9（3x+3y）≥log92 3x+y=log92+（x=y时取等号）
令z=x+y,易知直线y=-x+z过点A（ ， ）时，z取最小值 。
log9（3x+3y）≥log92+ ≥log92+
从而当x=y= 时，log9（3x+3y）取最小值log92+ 。
点评：本题只能在线性规划的基础上利用换元放缩得到结果。将问题建立在线性规划的基础上求解的思维方式是解题的基础，采用放缩与换元的方式将所求复杂函数转换为线性规划的目标函数是解题的关键，做图找到可行区域是解题的技巧，理解换元函数是目标函数的截距就能使问题得以解决。
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”