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一、概率部分的主要考点
高考考试说明（文科数学）对概率部分的要求是：
（1）事件与概率：①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；②了解两个互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型：①理解古典概型及其概率计算公式；②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（3）随机数与几何概型：①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；②了解几何概型的意义。
所以概率部分的主要考点有：（1）随机事件的概率；（2）古典概型；（3）随机数与几何概型。而且，考试说明里的每一个要求部分都有可能是命题的来源，包括热点，也包括冷点。
二、考情分析
概率在高中新课程中，有一定的知识容量，概率（含统计）授课时数多，是高中六大主干知识之一，在高中新课程中有着突出的地位，高考对本块知识的考查力度也是较大的，从近几年新课程的高考试题来看，概率统计一般是1+1的模式，一大一小。几何概型是高考一个新的热点，并且它是一个重要的知识交汇点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要以填空题、选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5分左右。古典概型是考查的热点，经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力的考查。近年来，背景新颖、知识交汇的题目越来越多，穿插考查合情推理能力和逆向思维能力等，难度可能有所提升，考生应有心理准备。下面以近几年的新课程高考卷或模拟卷为例，对核心知识点的考查举例说明。
我喜欢纯粹的东西，我不喜欢酒里掺水。我也这样对待我的生活。——杜尚
我们看似掌握一切，事实上却可能会被任何一种力量击倒。——戴维·罗特科普夫
三、核心考点例题分析
1考查随机事件的概率
【例1】 甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（ ）
A甲是乙的充分条件但不是必要条件
B甲是乙的必要条件但不是充分条件
C甲是乙的充要条件
D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【解析】 若A∩B为不可能事件（A∩B=），那么称事件A与事件B互斥；若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。因此，互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件。选B。
【点评】 概念是思维的细胞，是知识，也是解题的基础，应掌握好。
【例2】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。
（1）求A1被选中的概率；
（2）求B1和C1不全被选中的概率。
【解析】 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18个基本事件组成。由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的。用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}，
事件M由6个基本事件组成，因而P（M）=618=13
（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件N由3个基本事件组成，所以P（N）=318=16，由对立事件的概率公式得：
P（N）=1-P（N）=1-16=56
【点评】 正面考虑“B1、C1不全被选中”这一事件的情况比较多，其反面“B1、C1全被选中”容易求，所以用对立事件的概率公式即能化难为易，化繁为简。
【变式训练1】 （2013·新乡模拟）一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球。从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
【解析】 方法一：（利用互斥事件求概率）记事件A1={任取1球为红球}，A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，A4={任取1球为绿球}，
则P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112，
根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112
方法二：（利用对立事件求概率）
（1）由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为 P（A1∪A2）=1-P（A3∪A4）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34
（2）因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P（A1∪A2∪A3）=1-P（A4）=1-112=1112
【变式训练2】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”。判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E
【解析】 （1）由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件。由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生也会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件。
（3）事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件。
（4）事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件。
2考查古典概型
【例3】（2013年高考江西卷，文4）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是
A23 B13 C12 D16
【解析】 从A，B中各取任意一个数，共有6种满足两数之和等于4的有（2，2），（3，1）两种，所以两数之和等于4的概率是26=13，选C。
重要的是与世界保持距离，不再观察本来的世界，而是幻想他它，并在幻想中自得其乐。——皮埃尔·玛里
尽管坚强勇敢吧。那才是路。随便什么事都要敢作敢为。要有大勇，敢于被人所爱。要胜于寻常男女。——舍伍德·安德森
【例4】甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
【解析】 （1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示，其他用相应的数字表示）为（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同情况。
（2）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23。
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），共5种，故甲胜的概率P1=512，同理乙胜的概率P2=512因为P1=P2，所以此游戏公平。
【点评】 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2，3，4，4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I包含的基本事件总数n及事件A包含的基本事件个数m，用公式P（A）=mn求解。解题时要注意题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注，还要注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响。
【变式训练3】（2012高考江西卷，文18）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0，）B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点。
（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求这3点与原点O共面的概率。
【解析】 （1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为220=110。
（2）满足条件的情况为（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C1），（A1，A2，C2），（B1，B2，C1），（B1，B2，C2），所以所求概率为620=310
【变式训练4】（2013·北京朝阳二模）高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：
分数段[70，90）[90，100）[100，120）[120，150]
人数5a15b
规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生。已知该班希望生有2名。
（1）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；
（2）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；
（3）从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率。
【解析】 （1）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则P（A）=40-540=78所以从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为78 （2）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当a=11时，成绩优秀的学生人数为40-5-11-15=9，所以P（B）=940所以当a=11时，从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为940
（3）设“从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C记这5名学生分别为a，b，c，d，e，其中希望生为a，b。从中任选2名，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种。其中恰有1名希望生的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种。所以P（C）=610=35所以从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为35
3考查随机数与几何概型
【例5】（2013年高考湖南卷，文9）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=（ ）
A12B14C32D74
【解析】 如图，设AB=2x，AD=2y
由于AB为最大边的概率是12，则P在EF上运动满足条件，且DE=CF=12x，即AB=EB或AB=FA
所以AB2=AF2=AD2+DF2，又DF=32x，
∴2x=（2y）2+32x2，即4x2=4y2+94x2，
即74x2=4y2，∴y2x2=716
∴yx=74又∵ADAB=2y2x=yx=74，故选D
【点评】 本题考查几何概型，以及逆向推理能力。可见，几何概型的考查已呈多样化。
【例6】 一只蚂蚁在边长分别为5，6，13的三角形区域内随机爬行，试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率。
【解析】 由题意，画出示意图（如图所示）
在△ABC中，由余弦定理，
得cosB=62+52-（13）22×6×5=45
于是sinB=1-cos2B=1-452=35
所以S△ABC=12×5×6×35=9
又图中阴影部分的面积为△ABC的面积减去半径为1的半圆的面积，
即为S阴影=9-π2，所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=9-π29=1-π18
有些事情你就是不想让别人知道。不是因为它们是坏事，你就是想让它们成为秘密。有那么两三件事，即使是你们，我也不会说的。——卡森·麦卡勒斯
人的痛苦连过三次当然是种不幸，可是谁也没有想过，快乐重温三次，也是一种悲哀。——安伯托·埃柯
【点评】 几何概型与其它知识的交汇（向量，算法，数列等），是命题的一个创新点。本题融入了解三角形的知识，以及整体补形的技巧（三个小扇形的面积等于一个半圆的面积），这个小技巧帮你快速求解。
【变式训练5】（2009年福建卷，理8）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A035B025C020D015
【解析】 该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有191，271，932，812，393，共四组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率p=520=025，选B
【变式训练6】已知向量a→=（-2，1），b→=（x，y）
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a→·b→=-1的概率；
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a→·b→<0的概率。
【解析】 （1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，可用列举法列出所包含的基本事件总数为36个；由a→·b→=-1，有-2x+y=-1，
所以满足a→·b→=-1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个；
故满足a→·b→=-1的概率为336=112
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；
满足a→·b→<0的基本事件的结果为A={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6且-2x+y<0}；
画出图形如下图，
矩形的面积为S矩形=25，
阴影部分的面积为S阴影=25-12×2×4=21，故满足a→·b→<0的概率为2125
【变式训练7】（2102高考北京卷，文3）设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
Aπ4Bπ-22Cπ6D4-π4
【解析】 题目中0≤x≤20 总之，概率问题可以单独考查，也常和统计结合在一起考查，要注意热点问题，同时也要注意冷点问题（如例1，变式训练2），全面复习，融会贯通才是提高成绩根本。
高考考试说明（文科数学）对概率部分的要求是：
（1）事件与概率：①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；②了解两个互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型：①理解古典概型及其概率计算公式；②会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（3）随机数与几何概型：①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；②了解几何概型的意义。
所以概率部分的主要考点有：（1）随机事件的概率；（2）古典概型；（3）随机数与几何概型。而且，考试说明里的每一个要求部分都有可能是命题的来源，包括热点，也包括冷点。
二、考情分析
概率在高中新课程中，有一定的知识容量，概率（含统计）授课时数多，是高中六大主干知识之一，在高中新课程中有着突出的地位，高考对本块知识的考查力度也是较大的，从近几年新课程的高考试题来看，概率统计一般是1+1的模式，一大一小。几何概型是高考一个新的热点，并且它是一个重要的知识交汇点，通常会把几何概型与线性规划、解析几何以及其他数学知识综合起来进行考查，且重点考查“长度型”和“面积型”，主要以填空题、选择题的形式出现，试题难度为中、低档，所占分值为5分左右。古典概型是考查的热点，经常在解答题中与统计一起考查，属中、低档题，以考查基本概念为主，同时注重运算能力与逻辑推理能力的考查。近年来，背景新颖、知识交汇的题目越来越多，穿插考查合情推理能力和逆向思维能力等，难度可能有所提升，考生应有心理准备。下面以近几年的新课程高考卷或模拟卷为例，对核心知识点的考查举例说明。
我喜欢纯粹的东西，我不喜欢酒里掺水。我也这样对待我的生活。——杜尚
我们看似掌握一切，事实上却可能会被任何一种力量击倒。——戴维·罗特科普夫
三、核心考点例题分析
1考查随机事件的概率
【例1】 甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件，那么（ ）
A甲是乙的充分条件但不是必要条件
B甲是乙的必要条件但不是充分条件
C甲是乙的充要条件
D甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
【解析】 若A∩B为不可能事件（A∩B=），那么称事件A与事件B互斥；若A∩B为不可能事件，且A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件。因此，互斥不一定对立，对立一定互斥，即甲是乙的必要条件但不是充分条件。选B。
【点评】 概念是思维的细胞，是知识，也是解题的基础，应掌握好。
【例2】现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。
（1）求A1被选中的概率；
（2）求B1和C1不全被选中的概率。
【解析】 （1）从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18个基本事件组成。由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的。用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}，
事件M由6个基本事件组成，因而P（M）=618=13
（2）用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N表示“B1、C1全被选中”这一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件N由3个基本事件组成，所以P（N）=318=16，由对立事件的概率公式得：
P（N）=1-P（N）=1-16=56
【点评】 正面考虑“B1、C1不全被选中”这一事件的情况比较多，其反面“B1、C1全被选中”容易求，所以用对立事件的概率公式即能化难为易，化繁为简。
【变式训练1】 （2013·新乡模拟）一盒中装有12个球，其中5个红球，4个黑球，2个白球，1个绿球。从中随机取出1球，求：
（1）取出1球是红球或黑球的概率；
（2）取出1球是红球或黑球或白球的概率。
【解析】 方法一：（利用互斥事件求概率）记事件A1={任取1球为红球}，A2={任取1球为黑球}，A3={任取1球为白球}，A4={任取1球为绿球}，
则P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112，
根据题意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球为红球或黑球的概率为
P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34
（2）取出1球为红球或黑球或白球的概率为
P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112
方法二：（利用对立事件求概率）
（1）由方法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取出1球为红球或黑球的概率为 P（A1∪A2）=1-P（A3∪A4）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34
（2）因为A1∪A2∪A3的对立事件为A4，
所以P（A1∪A2∪A3）=1-P（A4）=1-112=1112
【变式训练2】 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”。判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件。
（1）A与C；（2）B与E；（3）B与D；（4）B与C；（5）C与E
【解析】 （1）由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件。
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件。由于事件B发生可导致事件E一定不发生，且事件E发生也会导致事件B一定不发生，故B与E还是对立事件。
（3）事件B“至少订一种报纸”中有可能“只订乙报纸”，即有可能“不订甲报纸”，即事件B发生，事件D也可能发生，故B与D不是互斥事件。
（4）事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，故事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件。
2考查古典概型
【例3】（2013年高考江西卷，文4）集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是
A23 B13 C12 D16
【解析】 从A，B中各取任意一个数，共有6种满足两数之和等于4的有（2，2），（3，1）两种，所以两数之和等于4的概率是26=13，选C。
重要的是与世界保持距离，不再观察本来的世界，而是幻想他它，并在幻想中自得其乐。——皮埃尔·玛里
尽管坚强勇敢吧。那才是路。随便什么事都要敢作敢为。要有大勇，敢于被人所爱。要胜于寻常男女。——舍伍德·安德森
【例4】甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。
（1）设（i，j）分别表示甲、乙抽到的牌的牌面数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜。你认为此游戏是否公平，说明你的理由。
【解析】 （1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况（方片4用4′表示，其他用相应的数字表示）为（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12种不同情况。
（2）甲抽到红桃3，乙抽到的牌的牌面数字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率为23。
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的情况有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），共5种，故甲胜的概率P1=512，同理乙胜的概率P2=512因为P1=P2，所以此游戏公平。
【点评】 本题属于求较复杂事件的概率，关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，联想掷骰子试验，把红桃2、红桃3、红桃4和方片4分别用数字2，3，4，4′表示，抽象出基本事件，把复杂事件用基本事件表示，找出总体I包含的基本事件总数n及事件A包含的基本事件个数m，用公式P（A）=mn求解。解题时要注意题目中“红桃4”与“方片4”属两个不同的基本事件，应用不同的数字或字母标注，还要注意“抽出的牌不放回”对基本事件数目的影响。
【变式训练3】（2012高考江西卷，文18）如图，从A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0，）B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）这6个点中随机选取3个点。
（1）求这3点与原点O恰好是正三棱锥的四个顶点的概率；
（2）求这3点与原点O共面的概率。
【解析】 （1）总的结果数为20种，则满足条件的种数为2种所以所求概率为220=110。
（2）满足条件的情况为（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C1），（A1，A2，C2），（B1，B2，C1），（B1，B2，C2），所以所求概率为620=310
【变式训练4】（2013·北京朝阳二模）高三年级进行模拟考试，某班参加考试的40名同学的成绩统计如下：
分数段[70，90）[90，100）[100，120）[120，150]
人数5a15b
规定分数在90分及以上为及格，120分及以上为优秀，成绩高于85分低于90分的同学为希望生。已知该班希望生有2名。
（1）从该班所有学生中任选一名，求其成绩及格的概率；
（2）当a=11时，从该班所有学生中任选一名，求其成绩优秀的概率；
（3）从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，求其中恰有1名希望生的概率。
【解析】 （1）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩及格”为事件A，则P（A）=40-540=78所以从该班所有学生中任选一名，其成绩及格的概率为78 （2）设“从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀”为事件B，则当a=11时，成绩优秀的学生人数为40-5-11-15=9，所以P（B）=940所以当a=11时，从该班所有学生中任选一名，其成绩优秀的概率为940
（3）设“从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生”为事件C记这5名学生分别为a，b，c，d，e，其中希望生为a，b。从中任选2名，所有可能的情况为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10种。其中恰有1名希望生的情况有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6种。所以P（C）=610=35所以从分数在（70，90）的5名学生中，任选2名同学参加辅导，其中恰有1名希望生的概率为35
3考查随机数与几何概型
【例5】（2013年高考湖南卷，文9）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为12，则ADAB=（ ）
A12B14C32D74
【解析】 如图，设AB=2x，AD=2y
由于AB为最大边的概率是12，则P在EF上运动满足条件，且DE=CF=12x，即AB=EB或AB=FA
所以AB2=AF2=AD2+DF2，又DF=32x，
∴2x=（2y）2+32x2，即4x2=4y2+94x2，
即74x2=4y2，∴y2x2=716
∴yx=74又∵ADAB=2y2x=yx=74，故选D
【点评】 本题考查几何概型，以及逆向推理能力。可见，几何概型的考查已呈多样化。
【例6】 一只蚂蚁在边长分别为5，6，13的三角形区域内随机爬行，试求其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率。
【解析】 由题意，画出示意图（如图所示）
在△ABC中，由余弦定理，
得cosB=62+52-（13）22×6×5=45
于是sinB=1-cos2B=1-452=35
所以S△ABC=12×5×6×35=9
又图中阴影部分的面积为△ABC的面积减去半径为1的半圆的面积，
即为S阴影=9-π2，所以蚂蚁恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为P=9-π29=1-π18
有些事情你就是不想让别人知道。不是因为它们是坏事，你就是想让它们成为秘密。有那么两三件事，即使是你们，我也不会说的。——卡森·麦卡勒斯
人的痛苦连过三次当然是种不幸，可是谁也没有想过，快乐重温三次，也是一种悲哀。——安伯托·埃柯
【点评】 几何概型与其它知识的交汇（向量，算法，数列等），是命题的一个创新点。本题融入了解三角形的知识，以及整体补形的技巧（三个小扇形的面积等于一个半圆的面积），这个小技巧帮你快速求解。
【变式训练5】（2009年福建卷，理8）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A035B025C020D015
【解析】 该运动员三次投篮恰有两次命中的随机数有191，271，932，812，393，共四组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率p=520=025，选B
【变式训练6】已知向量a→=（-2，1），b→=（x，y）
（1）若x，y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a→·b→=-1的概率；
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，求满足a→·b→<0的概率。
【解析】 （1）将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，可用列举法列出所包含的基本事件总数为36个；由a→·b→=-1，有-2x+y=-1，
所以满足a→·b→=-1的基本事件为（1，1），（2，3），（3，5），共3个；
故满足a→·b→=-1的概率为336=112
（2）若x，y在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为
Ω={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；
满足a→·b→<0的基本事件的结果为A={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6且-2x+y<0}；
画出图形如下图，
矩形的面积为S矩形=25，
阴影部分的面积为S阴影=25-12×2×4=21，故满足a→·b→<0的概率为2125
【变式训练7】（2102高考北京卷，文3）设不等式组0≤x≤2，0≤y≤2，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是
Aπ4Bπ-22Cπ6D4-π4
【解析】 题目中0≤x≤20