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读贵刊文［1］，颇受启迪，但该文中有些提法缺少了“言之有据”，现提出主要的两点商榷意见：
问题1 关于论据：
（1） “不等式 1 x2+4x-5 ≥0的否定”即是“ 1 x2+4x-5 不‘大于或等于0’”．（在原文“从概念理解方面”一段中）
（2） “‘不大于且不等于0’并不等价于‘小于0’”．（在原文倒数第二段中）
问题2 关于论点：
“‘≥’的否定不是‘＜’”．（在原文倒数第二段中，系原文的论点）
事实上，“不等式 1 x2+4x-5 ≥0的否定”结果是-5≤x≤1；（原文已提供）而“ 1 x2+4x-5 不‘大于或等于0’”得 1 x2+4x-5 ≤0且 1 x2+4x-5 ≠0，即 -5＜x＜1且x为实数，结果是：-5＜x＜1．说明论据（1）有误．又不等式 1 x2+4x-5 ＜0的解集是-5＜x＜1．依此出现了“‘不大于且不等于0’等价于‘小于0’”的情形，说明论据（2）也有误．因此原文的论点得不到它们的支撑．
显然，原文的论点也不一定成立，应依实际情况而定．如“ 1 x2+4x-5 ≥0”的否定不是“ 1 x2+4x-5 ＜0”，是“ 1 x2+4x-5 ＜0或x2+4x-5=0”，而“x-5≥0”的否定是“x-5＜0”．
值得我们反思的是：什么原因使得原文作者“为了纠正隐蔽的错误”，却又产生出如此多的新隐蔽错误呢？本文进一步研究发现：问题的实质在于原文作者虽然认识到这种命题的复杂性，但是并未从源头上识别出这种命题的类型和本质．在此，本文将给出这种命题的类型、本质及基本的否定策略．
其实，一元不等式（或方程）这种命题属于一种复合命题，本质是“p且q”形式的联言命题，其否定为“非p或非q”（也可写成p或q)形式的选言命题．这里，p指题目中所给的不等式（或方程），q是这个不等式（或等式）中函数的定义域．对这种命题求“非”，当q为实数集的真子集时，要注意必须考虑在实数集中对q求非，此时“≥”的否定不是“＜”；当q为实数集时，“非p或非q”为“非p或”，即可化简得“非p”，说明这时可以不考虑在实数集中对定义域求非，此时可直接得“≥”的否定是“＜”．而解一元不等式（或方程）时得出的结果不会超出定义域的范围，故“p且q”可简写成“p”．必须注意的是，二者的运算不能混淆：一是求“非”；一是等价变形．
例1求下列命题的否定： x-3 ≤0．
解：因为原命题： x-3 ≤0且x-3≥0 (可化简为：x=3).
所以否定命题： x-3 ＞0或 x-3＜0 （可得：x≠3).
由此可见，据此方法对一元不等式（或方程）求“非”，则简洁规范、易于操作，是本质解法．请再看几例．
例2写出下列命题的否定：（1） y2-14y+13=0;(2)x+5 x-2 ＞0;(3) x2=900. (x为负数）； （4）1 x|x| +1=0; (5) log2(x+3)≥0；
（6） (x+7)(y-10)≠0．
解：（1） 因为原命题： y2-14y+13=0且y是实数（可化简为：y=1或y=13).
所以否定命题：y2-14y+13≠0或y不是实数（可得：y≠1且y≠13).
(2) 因为原命题： x+5 x-2 ＞0且x-2≠0 （可化简为：x＞2或x＜-5).
所以否定命题： x+5 x-2 ≤0或x-2=0 （可化简得：-5≤x≤2)．
（3） 因为原命题：x2=900且x为负数（可化简为：x=-30)．
所以否定命题：x2≠900或x不为负数（可化简得：x≠-30).
(4) 因为原命题： 1 x|x| +1=0且x|x|≠0(可化简为：x=-1)．
所以否定命题： 1 x|x| +1≠0或x|x|=0（可化简得：x≠-1).
（5） 因为原命题：log2(x+3)≥0且x+3＞0(可化简为：x≥-2)．
所以否定命题：log2(x+3)＜0或x+3≤0（可化简得：x＜-2)．
（6） 因为原命题：(x+7)(y-10)≠0且x、y是实数（可化简为:x≠-7且y≠10)．
所以否定命题：（x+7)(y-10)=0或x、y不都是实数（可得：x=-7或y=10)．
［注］：当q为实数集的真子集时，把原命题改写成“p且q”形式是直接求“非”的必要步骤．
综上，我们对一元不等式（或方程）求“非”可以发现两种解法：（1） （直接法）先求“非”，后化简；（2） （间接法）先化简，后求“非”．我们还注意到，这里的原命题与它的否定命题具有对立统一的关系，它们的“与”关系是空集，“或”关系是实数集．这一特点可用于解题过程的检查核对．值得一提是，最后一题给出了一个对二元不等式求“非”的例子．
参考文献
吴先全．“≥”的否定是“＜”吗？［J］．数学教学通讯，2005（2上）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
问题1 关于论据：
（1） “不等式 1 x2+4x-5 ≥0的否定”即是“ 1 x2+4x-5 不‘大于或等于0’”．（在原文“从概念理解方面”一段中）
（2） “‘不大于且不等于0’并不等价于‘小于0’”．（在原文倒数第二段中）
问题2 关于论点：
“‘≥’的否定不是‘＜’”．（在原文倒数第二段中，系原文的论点）
事实上，“不等式 1 x2+4x-5 ≥0的否定”结果是-5≤x≤1；（原文已提供）而“ 1 x2+4x-5 不‘大于或等于0’”得 1 x2+4x-5 ≤0且 1 x2+4x-5 ≠0，即 -5＜x＜1且x为实数，结果是：-5＜x＜1．说明论据（1）有误．又不等式 1 x2+4x-5 ＜0的解集是-5＜x＜1．依此出现了“‘不大于且不等于0’等价于‘小于0’”的情形，说明论据（2）也有误．因此原文的论点得不到它们的支撑．
显然，原文的论点也不一定成立，应依实际情况而定．如“ 1 x2+4x-5 ≥0”的否定不是“ 1 x2+4x-5 ＜0”，是“ 1 x2+4x-5 ＜0或x2+4x-5=0”，而“x-5≥0”的否定是“x-5＜0”．
值得我们反思的是：什么原因使得原文作者“为了纠正隐蔽的错误”，却又产生出如此多的新隐蔽错误呢？本文进一步研究发现：问题的实质在于原文作者虽然认识到这种命题的复杂性，但是并未从源头上识别出这种命题的类型和本质．在此，本文将给出这种命题的类型、本质及基本的否定策略．
其实，一元不等式（或方程）这种命题属于一种复合命题，本质是“p且q”形式的联言命题，其否定为“非p或非q”（也可写成p或q)形式的选言命题．这里，p指题目中所给的不等式（或方程），q是这个不等式（或等式）中函数的定义域．对这种命题求“非”，当q为实数集的真子集时，要注意必须考虑在实数集中对q求非，此时“≥”的否定不是“＜”；当q为实数集时，“非p或非q”为“非p或”，即可化简得“非p”，说明这时可以不考虑在实数集中对定义域求非，此时可直接得“≥”的否定是“＜”．而解一元不等式（或方程）时得出的结果不会超出定义域的范围，故“p且q”可简写成“p”．必须注意的是，二者的运算不能混淆：一是求“非”；一是等价变形．
例1求下列命题的否定： x-3 ≤0．
解：因为原命题： x-3 ≤0且x-3≥0 (可化简为：x=3).
所以否定命题： x-3 ＞0或 x-3＜0 （可得：x≠3).
由此可见，据此方法对一元不等式（或方程）求“非”，则简洁规范、易于操作，是本质解法．请再看几例．
例2写出下列命题的否定：（1） y2-14y+13=0;(2)x+5 x-2 ＞0;(3) x2=900. (x为负数）； （4）1 x|x| +1=0; (5) log2(x+3)≥0；
（6） (x+7)(y-10)≠0．
解：（1） 因为原命题： y2-14y+13=0且y是实数（可化简为：y=1或y=13).
所以否定命题：y2-14y+13≠0或y不是实数（可得：y≠1且y≠13).
(2) 因为原命题： x+5 x-2 ＞0且x-2≠0 （可化简为：x＞2或x＜-5).
所以否定命题： x+5 x-2 ≤0或x-2=0 （可化简得：-5≤x≤2)．
（3） 因为原命题：x2=900且x为负数（可化简为：x=-30)．
所以否定命题：x2≠900或x不为负数（可化简得：x≠-30).
(4) 因为原命题： 1 x|x| +1=0且x|x|≠0(可化简为：x=-1)．
所以否定命题： 1 x|x| +1≠0或x|x|=0（可化简得：x≠-1).
（5） 因为原命题：log2(x+3)≥0且x+3＞0(可化简为：x≥-2)．
所以否定命题：log2(x+3)＜0或x+3≤0（可化简得：x＜-2)．
（6） 因为原命题：(x+7)(y-10)≠0且x、y是实数（可化简为:x≠-7且y≠10)．
所以否定命题：（x+7)(y-10)=0或x、y不都是实数（可得：x=-7或y=10)．
［注］：当q为实数集的真子集时，把原命题改写成“p且q”形式是直接求“非”的必要步骤．
综上，我们对一元不等式（或方程）求“非”可以发现两种解法：（1） （直接法）先求“非”，后化简；（2） （间接法）先化简，后求“非”．我们还注意到，这里的原命题与它的否定命题具有对立统一的关系，它们的“与”关系是空集，“或”关系是实数集．这一特点可用于解题过程的检查核对．值得一提是，最后一题给出了一个对二元不等式求“非”的例子．
参考文献
吴先全．“≥”的否定是“＜”吗？［J］．数学教学通讯，2005（2上）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文