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【摘 要】本文围绕数学分析教学的难点分析，总结了数学分析教学中的一些思考和做法，探讨数学分析课程的教学改革。
【关键词】数学分析；教学方法；教学效果
【中图分类号】G642 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）22-0022-01
数学分析是大学数学专业的一门重要基础课，是进一步学习各类后续课程的关键。相对大学数学分析课程而言，中学的数学知识更多的具有直观性，可操作性。但是数学分析课程，经过近三百多年的发展和完善，形成了一套严密、抽象、形式化，以及逻辑性很强的理论体系。因此，对大学一年级新生来说，学习数学分析课程通常会遇到很大的困难。不仅要由常量数学转变为变量数学，后更重要的是静态思维要转变为动态思维。因此，教师应该如何教，才能使学生较好地掌握这门课程的知识、技巧、思想和方法，是大多数担任数学分析课程教学的教师经常思考和关注的问题。本文总结近几年的教学实践经验，给出了数学分析教学中需要注意的几个问题。
一、深刻理解基本概念，熟练掌握数学语言
在数学分析教学中，概念多且较集中，深刻理解基本概念是学好这门课程的关键。数学分析中最重要的概念，莫过于极限。而连续、导数、定积分、级数等微积分学中关键的概念都是通过极限来定义的。可以说，数学分析的大厦建立在极限概念之上。因此，充分理解极限的本质是学好微积分的必要条件。概念教学过程中，应该遵循两大原则，一是循序渐进的原则，通过各类实例引入，逐步由形象思维到抽象逻辑思维。例如极限的“ε一N”定義的学习，就是循序渐进最经典的体现。二是数形结合的原则，结合几何以及物理学意义，揭示概念的本质属性。比如导数的概念，结合切线斜率、瞬时速度等不同背景，理解其本质是函数的变化率。
其次，符号语言是数学语言的重要特征，它使数学思维过程更加简明、准确。“ε一N”语言定义极限更是“人类思想的伟大胜利”。数学分析语言包括文字、符号和图形。在数学分析教学中，要注意引导学生把文字语言转化成数学符号和数学图形，用数学符号、图形来表达和思考问题。当学生能够顺利地使用数学符号语言描述一个新知识，就接近于掌握了。
二、重视计算能力和软件运用能力的培养。
在注重推理的过程中，重视计算能力和软件应用能力的培养。为了适应新形势下教学的需要，与过去非常强调逻辑、证明相比，现在的数学分析教学过程中应强调软件使用能力和计算能力。利用软件进行教学，可是教学过程体现出解决问题的过程。比如，定积分概念中“分割、近似、求和、取极限”的过程，如果应用Matlab软件进行教学，就显得生动、明了。计算能力和数据处理能力的提高，更是目前数学专业学生需解决的短板问题。我们在教学过程中，采取了逐步课堂渗透和专题讲座的办法，使学生掌握软件的用法。一方面，在课堂知识点学习过程中，演示软件的用法，同时在练习册中设计相关习题让学生练习。另一方面，每学期举办2-3次专题讲座，集中介绍Matlab软件在数学分析各个知识模块中的应用。进一步，为了促进学生主动学习软件知识，我们修改了数学分析的过程化考核大纲，其中软件学习占了成绩的5%，通过设计机考试题，组织学生上机考试获得成绩。通过这几方面的努力，学生的计算和软件应用能力得到了有效的提高。
三、突出知识应用性
在学习过程中，重视应用性的体现，回归数学为解决问题的本源。为此，除了知识引用尽量使用实力引入外，教学过程中，我们加入了大量的实际应用的教学举例。如：讲解级数得的概念，我们讨论了药物在身体内的浓度变化和残留量；海岸线的测量等实际问题的模型；在讲解导数定义、中值定理的时候，我们加入了平均速度、瞬时速度的测量、测不准原理的讨论、边际函数（成本、收入）的应用等。为了提高教学质量，突出应用案例的教学，一方面，我们正在将实例编纂整理，形成讲义和书稿。另一方便，为了使师生重视应用，我们规定，每一次考试必须设计相应的应用题，且占比逐渐提高。通过几个学期的实施，同学老师对这个形式都逐步理解和认同，由一开始的应用题得分很低，到现在大部分学生不再害怕应用题，得分比逐步提高。同时，越来越多的同学开始饶有兴致的讨论应用问题。后续考虑，在条件允许的情况下，组织学生研究应用案例，并将其作为教学需完成的项目纳入数学分析这门课程的考核体系。
四、领会数学思想与方法
数学分析的内容蕴涵丰富的数学思想方法。目前，应用型潮流之下，似乎数学思想与方法的地位下降了。“够用、会用”成为标准，似乎数学的思想方法可以不去追求了。然而，“没有思想的数学等于废了武功”，张莫宙老师指出：“微积分教学应该怎样做呢？揭示数学的思想当然是第一位。”数学分析的内容蕴涵丰富的数学思想方法。这些思想方法，既是人类认识世界的结果，也是人类认识世界的工具。同时，微积分就是在应用过程中诞生与发展起来的，正是由于微积分的诞生，世界才进入了工业革命时代。脱离了思想方法而只谈应用，就脱离了根本，就不可能真正用的对，用得好。不知根源的应用是走不远，挖不深的。因此，我们在教学中，仍然强调基本思想方法的重要意义，尽可能揭示各种现象背后的数学本质。比如，级数的本质是无穷和。无穷和是否存在？存在的条件是什么？追根溯源，它是有限和的发展，根本上都要依赖于极限的定义。有了这个思想，级数的概念、收敛发散的依据都比较容易理解了。学习基本的数学分析思想方法是形成和发展数学分析能力的基础。我们在教学中，紧紧抓住极限一基本定义，基本思想，就可以达到事半功倍的教学效果。
五、感受数学之美
在数学分析的教学过程中，经常和学生一起感受数学知识的博大精深和优美无暇。极限所反映的辩证思想，体现出数学的哲学之美。各种积分之间的转换体现了世界的和谐之美。级数基础上的分形图形让学生的心灵感受到前所未有的慨叹，自然之鬼斧神工，高深莫测。复数的出现，看似奇异，但确实给数学分析带来了另一重天地，复分析。使得人类对世界的认识，进一步加强。让人不由地相信，数学就是宇宙的语言。在教学过程中，我们始终注意挖掘这些体现数学之美的素材，经常和学生一起分享和感受，久而久之，学生的心理也发生潜移默化的改变。 综上所述，数学分析的教与学，都应该从上述几个方面不断地探索和改进。我们经过几年的实践，注意培养学生学习的兴趣和能力，取得了明显的进步。希望能够借助教育改革的东风，让数学分析这门基础课程在培养学生方面提供更加有力的保障。
参考文献
[1]张伟年， 本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J]. 高等理科教育， 2003， （1）：：19-21.
[2]温瑞平，王文霞等. 关于数学分析教学改革的几点思考和尝试[J]. 太原师范学院学报， 2007， （06）：19-22.
[3]陈顺清，数学分析教学改革谈[J]. 四川文理学院学报（自然科学版）， 2009， 19（2）：73-76.
[4]陈翠芳. 谈数学分析中哲学思想的渗透[J]. 山西高等学校社会科学学报， 2001， 13（8）：98-99.
[5] 唐玉萍. 数学分析中关于审美能力的培养[J]. 怀化学院学报， 2008，27（2）：155-156.
[6] 邵为爽， 李晓红， 韩旸，等. 基于微课的高师数学专业常微分方程课程翻转课堂教学模式[J]. 高师理科学刊， 2016， 36（4）：50-52.
[7] 敏志奇. 数学分析入门教学的探索与实践[J]. 甘肃高师学报， 2003， 8（5）：82-83.
[8]Walter Rudin.数学分析原理（中文版·原书第3版）[M].北京：机械工业出版社，2004.
[9]华东师范大学数学系，数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.
资助项目：上海应用技术大学教学改革项目， 10110T171014.
【关键词】数学分析；教学方法；教学效果
【中图分类号】G642 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）22-0022-01
数学分析是大学数学专业的一门重要基础课，是进一步学习各类后续课程的关键。相对大学数学分析课程而言，中学的数学知识更多的具有直观性，可操作性。但是数学分析课程，经过近三百多年的发展和完善，形成了一套严密、抽象、形式化，以及逻辑性很强的理论体系。因此，对大学一年级新生来说，学习数学分析课程通常会遇到很大的困难。不仅要由常量数学转变为变量数学，后更重要的是静态思维要转变为动态思维。因此，教师应该如何教，才能使学生较好地掌握这门课程的知识、技巧、思想和方法，是大多数担任数学分析课程教学的教师经常思考和关注的问题。本文总结近几年的教学实践经验，给出了数学分析教学中需要注意的几个问题。
一、深刻理解基本概念，熟练掌握数学语言
在数学分析教学中，概念多且较集中，深刻理解基本概念是学好这门课程的关键。数学分析中最重要的概念，莫过于极限。而连续、导数、定积分、级数等微积分学中关键的概念都是通过极限来定义的。可以说，数学分析的大厦建立在极限概念之上。因此，充分理解极限的本质是学好微积分的必要条件。概念教学过程中，应该遵循两大原则，一是循序渐进的原则，通过各类实例引入，逐步由形象思维到抽象逻辑思维。例如极限的“ε一N”定義的学习，就是循序渐进最经典的体现。二是数形结合的原则，结合几何以及物理学意义，揭示概念的本质属性。比如导数的概念，结合切线斜率、瞬时速度等不同背景，理解其本质是函数的变化率。
其次，符号语言是数学语言的重要特征，它使数学思维过程更加简明、准确。“ε一N”语言定义极限更是“人类思想的伟大胜利”。数学分析语言包括文字、符号和图形。在数学分析教学中，要注意引导学生把文字语言转化成数学符号和数学图形，用数学符号、图形来表达和思考问题。当学生能够顺利地使用数学符号语言描述一个新知识，就接近于掌握了。
二、重视计算能力和软件运用能力的培养。
在注重推理的过程中，重视计算能力和软件应用能力的培养。为了适应新形势下教学的需要，与过去非常强调逻辑、证明相比，现在的数学分析教学过程中应强调软件使用能力和计算能力。利用软件进行教学，可是教学过程体现出解决问题的过程。比如，定积分概念中“分割、近似、求和、取极限”的过程，如果应用Matlab软件进行教学，就显得生动、明了。计算能力和数据处理能力的提高，更是目前数学专业学生需解决的短板问题。我们在教学过程中，采取了逐步课堂渗透和专题讲座的办法，使学生掌握软件的用法。一方面，在课堂知识点学习过程中，演示软件的用法，同时在练习册中设计相关习题让学生练习。另一方面，每学期举办2-3次专题讲座，集中介绍Matlab软件在数学分析各个知识模块中的应用。进一步，为了促进学生主动学习软件知识，我们修改了数学分析的过程化考核大纲，其中软件学习占了成绩的5%，通过设计机考试题，组织学生上机考试获得成绩。通过这几方面的努力，学生的计算和软件应用能力得到了有效的提高。
三、突出知识应用性
在学习过程中，重视应用性的体现，回归数学为解决问题的本源。为此，除了知识引用尽量使用实力引入外，教学过程中，我们加入了大量的实际应用的教学举例。如：讲解级数得的概念，我们讨论了药物在身体内的浓度变化和残留量；海岸线的测量等实际问题的模型；在讲解导数定义、中值定理的时候，我们加入了平均速度、瞬时速度的测量、测不准原理的讨论、边际函数（成本、收入）的应用等。为了提高教学质量，突出应用案例的教学，一方面，我们正在将实例编纂整理，形成讲义和书稿。另一方便，为了使师生重视应用，我们规定，每一次考试必须设计相应的应用题，且占比逐渐提高。通过几个学期的实施，同学老师对这个形式都逐步理解和认同，由一开始的应用题得分很低，到现在大部分学生不再害怕应用题，得分比逐步提高。同时，越来越多的同学开始饶有兴致的讨论应用问题。后续考虑，在条件允许的情况下，组织学生研究应用案例，并将其作为教学需完成的项目纳入数学分析这门课程的考核体系。
四、领会数学思想与方法
数学分析的内容蕴涵丰富的数学思想方法。目前，应用型潮流之下，似乎数学思想与方法的地位下降了。“够用、会用”成为标准，似乎数学的思想方法可以不去追求了。然而，“没有思想的数学等于废了武功”，张莫宙老师指出：“微积分教学应该怎样做呢？揭示数学的思想当然是第一位。”数学分析的内容蕴涵丰富的数学思想方法。这些思想方法，既是人类认识世界的结果，也是人类认识世界的工具。同时，微积分就是在应用过程中诞生与发展起来的，正是由于微积分的诞生，世界才进入了工业革命时代。脱离了思想方法而只谈应用，就脱离了根本，就不可能真正用的对，用得好。不知根源的应用是走不远，挖不深的。因此，我们在教学中，仍然强调基本思想方法的重要意义，尽可能揭示各种现象背后的数学本质。比如，级数的本质是无穷和。无穷和是否存在？存在的条件是什么？追根溯源，它是有限和的发展，根本上都要依赖于极限的定义。有了这个思想，级数的概念、收敛发散的依据都比较容易理解了。学习基本的数学分析思想方法是形成和发展数学分析能力的基础。我们在教学中，紧紧抓住极限一基本定义，基本思想，就可以达到事半功倍的教学效果。
五、感受数学之美
在数学分析的教学过程中，经常和学生一起感受数学知识的博大精深和优美无暇。极限所反映的辩证思想，体现出数学的哲学之美。各种积分之间的转换体现了世界的和谐之美。级数基础上的分形图形让学生的心灵感受到前所未有的慨叹，自然之鬼斧神工，高深莫测。复数的出现，看似奇异，但确实给数学分析带来了另一重天地，复分析。使得人类对世界的认识，进一步加强。让人不由地相信，数学就是宇宙的语言。在教学过程中，我们始终注意挖掘这些体现数学之美的素材，经常和学生一起分享和感受，久而久之，学生的心理也发生潜移默化的改变。 综上所述，数学分析的教与学，都应该从上述几个方面不断地探索和改进。我们经过几年的实践，注意培养学生学习的兴趣和能力，取得了明显的进步。希望能够借助教育改革的东风，让数学分析这门基础课程在培养学生方面提供更加有力的保障。
参考文献
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[9]华东师范大学数学系，数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2001.
资助项目：上海应用技术大学教学改革项目， 10110T171014.