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摘要：本文基于VMD算法和ARIMA模型，构建VMD-ARIMA模型，选取2015年10月28日到2018年4月30日的BDI日数据作为测试集，预测未来4天的BDI值。实证结果表明，VMD-ARIMA模型的预测结果优于ARIMA模型的预测结果。
关键词：VMD算法;ARIMA模型;BDI;预测
1.引言
在波罗的海航交所发布的众多指数中，波罗的海干散货运价指数（Baltic Dry Index，BDI）是目前最具代表性的，BDI被称为国际干散货运输市场走势的晴雨表。为把握市场方向以及为航运企业提供参考，多年来对于BDI预测方面的研究已经相当深入。前期的研究是从单一时间尺度出发，预测BDI。李正宏[1]对剔除趋势性和季节性因素的BFI，构建ARMA预测模型。杜昭玺[2]，武佩剑[3]都建立ARMA模型对BDI进行短期预测。聂金龙和李序颖[4]使用ARFIMA模型对波罗的海干散货运价指数进行预测。近年来，学者们开始从多时间尺度角度，预测BDI。刘子健[5]，宋扬[6]和靳廉洁[7]先使用小波分析处理数据，再使用其他方法对运价指数进行预测，发现构建的组合模型预测精度优于单一模型。
本文构建VMD-ARIMA模型预测BDI。首先运用VMD[8]算法分解BDI序列，产生若干模态;然后用ARIMA模型分别预测各模态未来值;之后把各模态的预测值相加，即为BDI的预测值;最后比较VMD-ARIMA模型和ARIMA模型的预测效果。
2.模型介绍
2.1 VMD算法
VMD算法的总体思路是求解变分问题，具有十分坚实的理论基础。该算法假设信号（序列BDI）是由K个具有中心频率为ωk的模态分量（具有有限带宽）uk（t）组成，由此构造变分问题。再通过乘法算子交替方向法不断搜寻变分问题最优解，使得每个模态的估计带宽之和最小。最终，自适应地将信号中的单一组分模态成功分离。
（1）变分问题
其中：{uk}={uu，u2，…，uk}表示分解出的K个模态分量uk（t），{ωk}={ω1，ω2，…，ωk}表示个分量的频率中心，
（2）求解变分问题所用到的增广拉格朗日表达式
（3） 转到频域的表达式
（4） 转换到频域的表达式
（5）迭代停止条件
2.2 ARIMA模型
ARIMA模型是用于处理非平稳时间序列的一种模型，是时间序列预测分析方法的其中之一。ARIMA（p，d，q）中，AR是表示“自回归”，p为自回归阶数;MA为“滑动平均”，q为滑动平均阶数，d为把非平稳序列化为平稳序列所做的差分次数（阶数）。
ARIMA（p，d，q）模型可以表示为：
其中是L滞后算子，d∈Z，d>0。
3.模型实证分析
3.1数据选取与分析
文中选取从2015年10月28日到2018年5月4日的BDI日数据（数据源自clarksons网站）。为了方便预测，文中把数据分为训练集和测试集。训练集的时间范围为2015年10月28日到2018年4月30日（共624个数据），测试集的时间范围为2018年5月1日到2018年5月4日（共4个数据）。
本文选用平均绝对误差（MAE），均方根误差（RMSE）和平均绝对百分比误差（MAPE）作为衡量预测精度的指标，具体公式形式分别如下：
其中yt表示BDI的实际值， 表示BDI的预测值，n是预测集数据的个数。
3.2 BDI的VMD分解
VMD算法的解产生的模态数量K需要提前设定，K对于VMD算法的分解效果有较大影响，本文是通过观察中心频率的方法选择K值[9]。通过观察不同K值条件下的中心频率，本文中VMD算法的K=10，其他的参数设定为：惩罚因子 =2000，判别精度e=10-7。BDI分解的结果如图1（从上到下依次为u1，u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8，u9和u10。
3.3 模型预测结果
对VDM算法分解得到的各模态数据，使用ARIMA模型，预测10个模态和未来4天的值，10个模态对应日期的预测值相加，所得结果，即为VMD-ARIMA模型的预测值（见表1）。对训练集数据，使用ARIMA模型预测BDI未来4天的值，所得结果即为ARIMA模型预测值（见表1）。測试集数据为未来4天BDI实际值（见表1）。
3.4 模型预测效果对比
本文使用模型评价指标MAE，RMSE和MAPE，评价VMD-ARIMA模型和ARIMA模型的预测精度，两个模型的预测精度结果见表2。
从表2可以看出，VMD-ARMA模型的MAE，RMAE和MAPE均小于ARIMA模型的MAE，RMAE和MAPE，说明VMD-ARIMA模型的预测效果优于ARIMA模型的预测效果。
4.结论与展望
本文选取2015年10月28日到2018年4月30日的BDI日数据作为测试集，分别使用VMD-ARIMA模型和ARIMA模型，预测2018年5月1日到2018年5月4日BDI的值，结果表明VMD-ARIMA模型的预测精度优于ARIMA模型的预测精度。
本文所选取的时间区间比较单一，使用的预测模型仅为ARIMA模型，后续的研究可以从以下两个方面继续探索。
一方面，可以选取多组时间区间，验证VMD-ARIMA模型预测精度优于ARIMA模型预测精度这一结论的适用性。另一方面，可以选用新的预测模型，如神经网络（BP）和SVM算法等预测模型，比较组合预测模型和单一预测模型的精度。
参考文献：
[1]李正宏，袁绍宏.波罗的海运价指数相关性分析[J].水运管理，2004（08）：24-27.
[2]杜昭玺，李阳，靳志宏.波罗的海干散货运价指数预测及实证分析[J].大连海事大学学报（社会科学版），2009，8（01）：77-80.
[3]武佩剑，陈永平.波罗的海干散货运价指数波动规律及对我国的启示——国际干散货运输市场走势的晴雨表[J].价格理论与实践，2010（11）：50-51.
[4]聂金龙，李序颖.波罗的海干散货运价指数的ARFIMA模型研究[J].中国水运（下半月），2009，9（04）：57-58.
[5]刘子建.基于小波理论的国际干散货航运市场周期波动及预测研究[D].大连海事大学，2009.
[6]宋扬.金融危机下的国际干散货运价指数预测研究[D].大连海事大学，2009.
[7]靳廉洁.基于支持向量机的干散货运价指数预测研究[D].大连海事大学，2010.
[8]DRAGOMIRETSKIY K，ZOSSO D.Variational Mode Decomposition[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2014，62（3）：531-544.
[9]刘长良，武英杰，甄成刚.基于变分模态分解和模糊C均值聚类的滚动轴承故障诊断[J].中国电机工程学报，2015，35（13）：3358-3365.
关键词：VMD算法;ARIMA模型;BDI;预测
1.引言
在波罗的海航交所发布的众多指数中，波罗的海干散货运价指数（Baltic Dry Index，BDI）是目前最具代表性的，BDI被称为国际干散货运输市场走势的晴雨表。为把握市场方向以及为航运企业提供参考，多年来对于BDI预测方面的研究已经相当深入。前期的研究是从单一时间尺度出发，预测BDI。李正宏[1]对剔除趋势性和季节性因素的BFI，构建ARMA预测模型。杜昭玺[2]，武佩剑[3]都建立ARMA模型对BDI进行短期预测。聂金龙和李序颖[4]使用ARFIMA模型对波罗的海干散货运价指数进行预测。近年来，学者们开始从多时间尺度角度，预测BDI。刘子健[5]，宋扬[6]和靳廉洁[7]先使用小波分析处理数据，再使用其他方法对运价指数进行预测，发现构建的组合模型预测精度优于单一模型。
本文构建VMD-ARIMA模型预测BDI。首先运用VMD[8]算法分解BDI序列，产生若干模态;然后用ARIMA模型分别预测各模态未来值;之后把各模态的预测值相加，即为BDI的预测值;最后比较VMD-ARIMA模型和ARIMA模型的预测效果。
2.模型介绍
2.1 VMD算法
VMD算法的总体思路是求解变分问题，具有十分坚实的理论基础。该算法假设信号（序列BDI）是由K个具有中心频率为ωk的模态分量（具有有限带宽）uk（t）组成，由此构造变分问题。再通过乘法算子交替方向法不断搜寻变分问题最优解，使得每个模态的估计带宽之和最小。最终，自适应地将信号中的单一组分模态成功分离。
（1）变分问题
其中：{uk}={uu，u2，…，uk}表示分解出的K个模态分量uk（t），{ωk}={ω1，ω2，…，ωk}表示个分量的频率中心，
（2）求解变分问题所用到的增广拉格朗日表达式
（3） 转到频域的表达式
（4） 转换到频域的表达式
（5）迭代停止条件
2.2 ARIMA模型
ARIMA模型是用于处理非平稳时间序列的一种模型，是时间序列预测分析方法的其中之一。ARIMA（p，d，q）中，AR是表示“自回归”，p为自回归阶数;MA为“滑动平均”，q为滑动平均阶数，d为把非平稳序列化为平稳序列所做的差分次数（阶数）。
ARIMA（p，d，q）模型可以表示为：
其中是L滞后算子，d∈Z，d>0。
3.模型实证分析
3.1数据选取与分析
文中选取从2015年10月28日到2018年5月4日的BDI日数据（数据源自clarksons网站）。为了方便预测，文中把数据分为训练集和测试集。训练集的时间范围为2015年10月28日到2018年4月30日（共624个数据），测试集的时间范围为2018年5月1日到2018年5月4日（共4个数据）。
本文选用平均绝对误差（MAE），均方根误差（RMSE）和平均绝对百分比误差（MAPE）作为衡量预测精度的指标，具体公式形式分别如下：
其中yt表示BDI的实际值， 表示BDI的预测值，n是预测集数据的个数。
3.2 BDI的VMD分解
VMD算法的解产生的模态数量K需要提前设定，K对于VMD算法的分解效果有较大影响，本文是通过观察中心频率的方法选择K值[9]。通过观察不同K值条件下的中心频率，本文中VMD算法的K=10，其他的参数设定为：惩罚因子 =2000，判别精度e=10-7。BDI分解的结果如图1（从上到下依次为u1，u2，u3，u4，u5，u6，u7，u8，u9和u10。
3.3 模型预测结果
对VDM算法分解得到的各模态数据，使用ARIMA模型，预测10个模态和未来4天的值，10个模态对应日期的预测值相加，所得结果，即为VMD-ARIMA模型的预测值（见表1）。对训练集数据，使用ARIMA模型预测BDI未来4天的值，所得结果即为ARIMA模型预测值（见表1）。測试集数据为未来4天BDI实际值（见表1）。
3.4 模型预测效果对比
本文使用模型评价指标MAE，RMSE和MAPE，评价VMD-ARIMA模型和ARIMA模型的预测精度，两个模型的预测精度结果见表2。
从表2可以看出，VMD-ARMA模型的MAE，RMAE和MAPE均小于ARIMA模型的MAE，RMAE和MAPE，说明VMD-ARIMA模型的预测效果优于ARIMA模型的预测效果。
4.结论与展望
本文选取2015年10月28日到2018年4月30日的BDI日数据作为测试集，分别使用VMD-ARIMA模型和ARIMA模型，预测2018年5月1日到2018年5月4日BDI的值，结果表明VMD-ARIMA模型的预测精度优于ARIMA模型的预测精度。
本文所选取的时间区间比较单一，使用的预测模型仅为ARIMA模型，后续的研究可以从以下两个方面继续探索。
一方面，可以选取多组时间区间，验证VMD-ARIMA模型预测精度优于ARIMA模型预测精度这一结论的适用性。另一方面，可以选用新的预测模型，如神经网络（BP）和SVM算法等预测模型，比较组合预测模型和单一预测模型的精度。
参考文献：
[1]李正宏，袁绍宏.波罗的海运价指数相关性分析[J].水运管理，2004（08）：24-27.
[2]杜昭玺，李阳，靳志宏.波罗的海干散货运价指数预测及实证分析[J].大连海事大学学报（社会科学版），2009，8（01）：77-80.
[3]武佩剑，陈永平.波罗的海干散货运价指数波动规律及对我国的启示——国际干散货运输市场走势的晴雨表[J].价格理论与实践，2010（11）：50-51.
[4]聂金龙，李序颖.波罗的海干散货运价指数的ARFIMA模型研究[J].中国水运（下半月），2009，9（04）：57-58.
[5]刘子建.基于小波理论的国际干散货航运市场周期波动及预测研究[D].大连海事大学，2009.
[6]宋扬.金融危机下的国际干散货运价指数预测研究[D].大连海事大学，2009.
[7]靳廉洁.基于支持向量机的干散货运价指数预测研究[D].大连海事大学，2010.
[8]DRAGOMIRETSKIY K，ZOSSO D.Variational Mode Decomposition[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2014，62（3）：531-544.
[9]刘长良，武英杰，甄成刚.基于变分模态分解和模糊C均值聚类的滚动轴承故障诊断[J].中国电机工程学报，2015，35（13）：3358-3365.