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【摘要】本文在比较一元质量控制与多元质量控制特性差异的基础上，提出解决工业企业中的生产过程质量控制问题必须利用多元质量控制理论，指出在实际应用中把多元质量控制问题简单化处理的不当之处，在分析的基础上给出了现代质量控制的统计模型，并将统计模型用于生产企业中的实际，验证了统计模型的正确性。
【关键词】现代质量控制 统计模型 T2控制图
【中图分类号】O212.4 【文献标识码】A 【文章编号】1009-8585(2011)02-00-02
1 引言
在企业质量管理中，常常遇到对复杂产品生产过程进行控制的问题。由于复杂产品生产过程存在多个质量特性相互作用共同对产品质量产生影响，因此多个质量特性的协同控制成为保证产品质量的一个重要方面。1947年美国侯铁林（H.Hotelling）提出多元T2图控制图，从此开辟了多元质量控制的时代。T2分布实际上就是一元t分布的多元对应式。
2 一元质量控制与多元质量控制的比较
多元情形要比一元情形复杂得多。例如，在生产线的工序中，指标往往是多个，因此多元情形必须采用多元控制图进行控制，通行的做法是采用多元T2控制图，而不能把多个因素多个指标的问题简单分解为多个一元问题进行处理，多元并不是一元的简单累加，两者间有很大的差异。
2.1一元控制图的控制与判稳思想
在稳态下，一元控制图的分布及其分布参数稳定不变。一元控制图的控制就是以一元稳态为基准对生产过程的未来进行控制。为了了解过程是否处于稳态，首先作分析用控制图。若过程不是稳态，则控制图将显示异常，这时应逐步消除异常因素，改进质量，最终使过程能达到稳态。
一元控制图判异很简单，国内外通常采用的方法是八条准则，其中最基本的一条是：点出界就判异。对于一元控制图来说，它仅仅利用过程现场的信息，对于整个样本序列的信息没有考虑，使得过程的小变动反映不够敏感。
2.2多元控制图的控制与判稳
多元控制图的控制就是以多元稳态为基准对未来进行控制。所谓多元稳态是指所控制多个变量的多元分布的分布参数受到控制，稳定于多元稳态这个基准。
多元控制图的判异则复杂得多，必须从整个系统看问题。例如，设变量：构成一个系统，对此系统可应用多元控制图T2控制图进行控制，多元控制图的判异必须从整个系统出发，应用一个综合评价指标对整个系统进行总评价。T2控制图的统计量T2值就是一个评价整个系统的科学总评价值。T2控制图的判异准则只有点出界就判异这一条。由于多元情况十分复杂，故至今尚未有人提出有关T2图的界内点排列不随机判异的准则。
对一元正态分布，均值与方差这两个参数是互相独立的，故控制正态分布就需要对均值与方差分别应用相应的控制图进行控制。同理，在多元正态分布条件下，均值向量与多元协方差矩阵这两个参数相互独立，故控制多元正态分布也需要分别应用相应控制图对均值向量与多元协方差矩阵进行控制。
3 多元质量控制简单化处理的危害
对于多指标的控制问题，一个很自然的想法是：应用休哈特控制图分别对每一个指标进行控制。当每个指标都控制在其控制界限内时就认为过程正常，这是现场常见的做法。但是，这样做没有考虑指标间的相关性，将会导致错误的结论。
设某过程有5个指标，分别表示为，在生产过程中若按一元控制图对指标均值进行控制，每个指标都控制在控制界限内且点子排列随机，这样就控制了5个指标的均值，而实际中指标间具有相关性，5个指标间相关关系的协方差矩阵为：
其中，为方差，，为协方差，并且，共有10个协方差。控制的参数理应是5个均值和5个方差以及10协方差，只有这20个参数全部受控才能说过程是受控的，在多元情况下将各指标割裂开来分别进行控制时则有占全部参数50%的反映协方差的参数一个也没考虑，因此多元质量控制问题简单化处理时，只控制了部分参数，反映指标或因素间相关关系的协方差系数一个也没有加以控制，这样就会导致错误的结论。如果这样去在生产现场使用将会造成一定的危害。
4 多元质量控制的统计模型
与一元控制图要求在方差受控前提下才能讨论均值的控制问题一样，多元T2图控制图也是在假定协方差矩阵保持不变的前提下讨论均值向量控制才有意义。1985年阿尔特（F.B.Alt）提出了基于似然比检验的多元协方差控制图。其它的多元协方差控制图还有样本广义方差‖S‖，W图、L图等。这些控制图的缺点是要求多元协方差矩阵为已知，这在现场并不容易做到。1997年北京科技大学博士生刘艳永提出了当多元协方差矩阵未知时的样本广义方差多元协方差控制图以及最大、最小特征根多元协方差控制图。
在八十年代至九十年代初，多元CUSUM控制图得到了发展，只是应用多元CUSUM控制图对多元过程進行控制时，也应分别控制过程的均值向量与多元协方差矩阵。从实用的角度看，均值向量的控制更重要些。
4.1多元T2控制图
对于一元情况下，当总体标准差未知时，可以用样本无偏方差代替总体方差，对于总体均值用统计量t进行检验，对于二元及以上时，即时，可以得到关于总体均值向量的检验统计量，记为
(1)
上式中，为维向量，为样本协方差矩阵。在一般情况下，也是未知的，可用代替，于是有
(2)
Hotelling证明了：式（1）或（2）给出的T2统计量服从自由度为,的分布[4]，即
取显著水平为，则图的上控制界限为
(3)
式（3）中，表示自由度为和的分布分位数，如果样本的计算值大于上控制界，就认为工序失控。
5．实例分析
下面用具体实例说明多元质量控制的T2控制图法。
某产品材料有两个质量指标需要控制，一个是抗拉强度(x1)，另一个是断截面（x2），要求：两总体均值分别为265，470，两总体方差分别为100，121，两指标间相关系数为是0.6，取显著性水平为。现从生产现场每天抽取10个样品作为一个样本，连续抽取一个月20个样本，每个样本平均值、方差和协方差计算如表1所示.
由,计算T2值：上控制限
总体均值向量:协差阵
由公式: 计算出各样本的T2值,填入表1。
从计算值T2可以看出9号，13号，18号样本的值超出上控制限，为异常点，应加以分析，采取相应的措施。
样本值数据表1
利用上述方法可以对生产过程中的多指标均值向量进行控制，发现异常及时告警。对于异常情况的诊断可利用我国质量管理和质量控制专家张公绪教授提出的两种多元质量诊断理论进行分析，从而找到异常原因所在。
参考文献
[1]赵丽萍,王明东.经济性性多元质量控制诊断模型的研究与应用[J ].组合机床与自动化加工技术,2005(1):1-3.
[2]张公绪.多元统计过程诊断理论[J].质量与可靠性, 2003 (4):23-27.
[3]王成斌.多元质量控制[M] .北京:宇航出版社,1990.
[4]Hotelling,H.Multivariate quality control illustrated by air testing of sample bombsights,Selected Theniques of Statistical Analysis,New York
[5]方开泰.实用多元统计分析[M].上海:华东师范大学出版社,1989.
[6]F.K.Wang.Comparison of three Multivariate process capability indices[J].Journal of Quality Technology,2003,32(3):263-275.
【关键词】现代质量控制 统计模型 T2控制图
【中图分类号】O212.4 【文献标识码】A 【文章编号】1009-8585(2011)02-00-02
1 引言
在企业质量管理中，常常遇到对复杂产品生产过程进行控制的问题。由于复杂产品生产过程存在多个质量特性相互作用共同对产品质量产生影响，因此多个质量特性的协同控制成为保证产品质量的一个重要方面。1947年美国侯铁林（H.Hotelling）提出多元T2图控制图，从此开辟了多元质量控制的时代。T2分布实际上就是一元t分布的多元对应式。
2 一元质量控制与多元质量控制的比较
多元情形要比一元情形复杂得多。例如，在生产线的工序中，指标往往是多个，因此多元情形必须采用多元控制图进行控制，通行的做法是采用多元T2控制图，而不能把多个因素多个指标的问题简单分解为多个一元问题进行处理，多元并不是一元的简单累加，两者间有很大的差异。
2.1一元控制图的控制与判稳思想
在稳态下，一元控制图的分布及其分布参数稳定不变。一元控制图的控制就是以一元稳态为基准对生产过程的未来进行控制。为了了解过程是否处于稳态，首先作分析用控制图。若过程不是稳态，则控制图将显示异常，这时应逐步消除异常因素，改进质量，最终使过程能达到稳态。
一元控制图判异很简单，国内外通常采用的方法是八条准则，其中最基本的一条是：点出界就判异。对于一元控制图来说，它仅仅利用过程现场的信息，对于整个样本序列的信息没有考虑，使得过程的小变动反映不够敏感。
2.2多元控制图的控制与判稳
多元控制图的控制就是以多元稳态为基准对未来进行控制。所谓多元稳态是指所控制多个变量的多元分布的分布参数受到控制，稳定于多元稳态这个基准。
多元控制图的判异则复杂得多，必须从整个系统看问题。例如，设变量：构成一个系统，对此系统可应用多元控制图T2控制图进行控制，多元控制图的判异必须从整个系统出发，应用一个综合评价指标对整个系统进行总评价。T2控制图的统计量T2值就是一个评价整个系统的科学总评价值。T2控制图的判异准则只有点出界就判异这一条。由于多元情况十分复杂，故至今尚未有人提出有关T2图的界内点排列不随机判异的准则。
对一元正态分布，均值与方差这两个参数是互相独立的，故控制正态分布就需要对均值与方差分别应用相应的控制图进行控制。同理，在多元正态分布条件下，均值向量与多元协方差矩阵这两个参数相互独立，故控制多元正态分布也需要分别应用相应控制图对均值向量与多元协方差矩阵进行控制。
3 多元质量控制简单化处理的危害
对于多指标的控制问题，一个很自然的想法是：应用休哈特控制图分别对每一个指标进行控制。当每个指标都控制在其控制界限内时就认为过程正常，这是现场常见的做法。但是，这样做没有考虑指标间的相关性，将会导致错误的结论。
设某过程有5个指标，分别表示为，在生产过程中若按一元控制图对指标均值进行控制，每个指标都控制在控制界限内且点子排列随机，这样就控制了5个指标的均值，而实际中指标间具有相关性，5个指标间相关关系的协方差矩阵为：
其中，为方差，，为协方差，并且，共有10个协方差。控制的参数理应是5个均值和5个方差以及10协方差，只有这20个参数全部受控才能说过程是受控的，在多元情况下将各指标割裂开来分别进行控制时则有占全部参数50%的反映协方差的参数一个也没考虑，因此多元质量控制问题简单化处理时，只控制了部分参数，反映指标或因素间相关关系的协方差系数一个也没有加以控制，这样就会导致错误的结论。如果这样去在生产现场使用将会造成一定的危害。
4 多元质量控制的统计模型
与一元控制图要求在方差受控前提下才能讨论均值的控制问题一样，多元T2图控制图也是在假定协方差矩阵保持不变的前提下讨论均值向量控制才有意义。1985年阿尔特（F.B.Alt）提出了基于似然比检验的多元协方差控制图。其它的多元协方差控制图还有样本广义方差‖S‖，W图、L图等。这些控制图的缺点是要求多元协方差矩阵为已知，这在现场并不容易做到。1997年北京科技大学博士生刘艳永提出了当多元协方差矩阵未知时的样本广义方差多元协方差控制图以及最大、最小特征根多元协方差控制图。
在八十年代至九十年代初，多元CUSUM控制图得到了发展，只是应用多元CUSUM控制图对多元过程進行控制时，也应分别控制过程的均值向量与多元协方差矩阵。从实用的角度看，均值向量的控制更重要些。
4.1多元T2控制图
对于一元情况下，当总体标准差未知时，可以用样本无偏方差代替总体方差，对于总体均值用统计量t进行检验，对于二元及以上时，即时，可以得到关于总体均值向量的检验统计量，记为
(1)
上式中，为维向量，为样本协方差矩阵。在一般情况下，也是未知的，可用代替，于是有
(2)
Hotelling证明了：式（1）或（2）给出的T2统计量服从自由度为,的分布[4]，即
取显著水平为，则图的上控制界限为
(3)
式（3）中，表示自由度为和的分布分位数，如果样本的计算值大于上控制界，就认为工序失控。
5．实例分析
下面用具体实例说明多元质量控制的T2控制图法。
某产品材料有两个质量指标需要控制，一个是抗拉强度(x1)，另一个是断截面（x2），要求：两总体均值分别为265，470，两总体方差分别为100，121，两指标间相关系数为是0.6，取显著性水平为。现从生产现场每天抽取10个样品作为一个样本，连续抽取一个月20个样本，每个样本平均值、方差和协方差计算如表1所示.
由,计算T2值：上控制限
总体均值向量:协差阵
由公式: 计算出各样本的T2值,填入表1。
从计算值T2可以看出9号，13号，18号样本的值超出上控制限，为异常点，应加以分析，采取相应的措施。
样本值数据表1
利用上述方法可以对生产过程中的多指标均值向量进行控制，发现异常及时告警。对于异常情况的诊断可利用我国质量管理和质量控制专家张公绪教授提出的两种多元质量诊断理论进行分析，从而找到异常原因所在。
参考文献
[1]赵丽萍,王明东.经济性性多元质量控制诊断模型的研究与应用[J ].组合机床与自动化加工技术,2005(1):1-3.
[2]张公绪.多元统计过程诊断理论[J].质量与可靠性, 2003 (4):23-27.
[3]王成斌.多元质量控制[M] .北京:宇航出版社,1990.
[4]Hotelling,H.Multivariate quality control illustrated by air testing of sample bombsights,Selected Theniques of Statistical Analysis,New York
[5]方开泰.实用多元统计分析[M].上海:华东师范大学出版社,1989.
[6]F.K.Wang.Comparison of three Multivariate process capability indices[J].Journal of Quality Technology,2003,32(3):263-275.