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在函数概念的题型中，关键要把握函数的概念，从而解决函数概念的不同的题型.需要特别注意的是，设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数.需要特别注意的是函数的实质是从非空数集A到非空数集B 的一个特殊的对应.
一、函数的判断
例1 下列式子是否能确定y是x的函数：（1）x2+y2=2；（2） x-1+
y-1=1；
（3）y=x-2+
1-x.
分析：判断一个式子是否是y关于x的函数，就是判断使式子有意义的x的取值集合中，对于每一个y的值是否都有唯一确定的一个y值与之相对应，也可以由子解出y关于的解析式，看其是否唯一.
解：（1）由x2+y2=2得y=±2-x2，因此不能确定y是x的函数，如当x=1时，由她所确定的y值有±1两个.
（2）由
x-1+
y-1=1，得
y=（1-x-1）2+1，所以当x在{x|x≥1}中任意取一个值时，有唯一的一个y与之对应，故由它可以确定y是x的函数.
（3）由x-2≥0，
1-x≥0
得到x∈，故由它不能确定y是x的函数.
点评：抓住函数定义，也即对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，即一对一或多对一的判断方法来确定.
二、函数相等的判断
例2 判断下列各组中两个函数是否相等：（1）f （x）=x-1·
x+1，g（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x2+1，g（t）=2t2+t+1.
分析：定义域和对应法则是函数的两个要素，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，其才是相同函数.
解：（1）不相等，由于函数f （x）的定义域是{x|x≥1}，而函数g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.
（2）两个函数相等，因为它们的定义域及对应法则都相同.
点评：判断两个函数相等的一般步骤，分别求得已知函数的定义域，若其定义域相同，再看函数的对应法则是否相同，若对应法则也相同，则两个函数相等.
三、求一般函数的定义域
例3 （1）y=x2-1+
1-x2；（2）
y=
11+1/x.
分析：函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，当一个函数有两个或两个以上的式子的和、差、积、商的形式构成时，其定义域是使各部分有意义的自变量的交集.
解：（1）要使函数有意义，则
x2-1≥0，
x2-1≤0，
即x2=1，则x=±1，因此函数的定义域为{1，-1}.
（2）要使函数有意义，则
x≠0，
1+1/x≠0，
即x≠0，
x+1≠0，
，所以x≠0且x≠-1，
因此函数的定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠0}.
点评：求函数的定义域一般转化为解不等式或不等式组问题，注意函数的定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
四、求函数值
例4 已知f （x）=
12-x
（x∈R，x≠2），
g（x）=x+4（x∈R），（1）求f （1）、g（1）的值；（2）求f（g（1））
、g（f （1））的值；（3）求
f （g（x））、g（f（x））的表达式.
分析：求函数值时，只需要将f （x）中的x用对应的值（包括代数式）代替即可.
解：（1）
f （1）=12-1
=1，g（1）=1+4=5.
（2） f（g（1））=f（5）=
12-5
=-13
，g（f（1））=g（1）=1+4=5；
（3）f（g（x））=f（x+4）=
12-（x+4）
=1-2-x；
（4）g（f（x））=g（12-x）
=12-x+4.
点评：当已知函数的解析式求函数值时，直接将自变量的值代入解析式中则可以求解，若自变量是以代数式的形式出现，则将代数式看做一个整体代替解析式中的自变量；当解析式含参变量时，先通过已知条件确定参量，再将自变量的值代入解析式中求值.
五、求函数的值域
例5 求下列函数的值域：（1）
y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）
y=x+1；
（3）y=x+2x-1；（4）
y=3x+2x-1 .
分析：求函数的值域方法很多，要根据具体的题型来确定一定的方法，如观察法、配方法、分离常数法.
解：（1）（观察法）由于y=2x+1，
x∈{1，2，3，4，5}，则可以得到y∈{3，5，7，9，11}.
（2）（观察法）由于
x≥0，则
x+1≥1，则函数的值域为[1，+∞].
（3）（换元法）令u=
2x-1，则u≥0，
x=u2+12，则
y=u2+12+u=
12（u+1）2≥
12，
则函数的值域为[1/2，+∞）.
（4）（分离常数法） y=
3x+2x-1=
3（x-1）+5x-1=
3+5x-1≠3，则函数的值域为{y|y≠3，y∈R}.
点评：在解决上述问题时，一定要根据函数的特征采取灵活不同的方法解决.
一、函数的判断
例1 下列式子是否能确定y是x的函数：（1）x2+y2=2；（2） x-1+
y-1=1；
（3）y=x-2+
1-x.
分析：判断一个式子是否是y关于x的函数，就是判断使式子有意义的x的取值集合中，对于每一个y的值是否都有唯一确定的一个y值与之相对应，也可以由子解出y关于的解析式，看其是否唯一.
解：（1）由x2+y2=2得y=±2-x2，因此不能确定y是x的函数，如当x=1时，由她所确定的y值有±1两个.
（2）由
x-1+
y-1=1，得
y=（1-x-1）2+1，所以当x在{x|x≥1}中任意取一个值时，有唯一的一个y与之对应，故由它可以确定y是x的函数.
（3）由x-2≥0，
1-x≥0
得到x∈，故由它不能确定y是x的函数.
点评：抓住函数定义，也即对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，即一对一或多对一的判断方法来确定.
二、函数相等的判断
例2 判断下列各组中两个函数是否相等：（1）f （x）=x-1·
x+1，g（x）=x2-1；
（2）f（x）=2x2+1，g（t）=2t2+t+1.
分析：定义域和对应法则是函数的两个要素，当且仅当两个函数的定义域和对应法则分别相同时，其才是相同函数.
解：（1）不相等，由于函数f （x）的定义域是{x|x≥1}，而函数g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤-1}.
（2）两个函数相等，因为它们的定义域及对应法则都相同.
点评：判断两个函数相等的一般步骤，分别求得已知函数的定义域，若其定义域相同，再看函数的对应法则是否相同，若对应法则也相同，则两个函数相等.
三、求一般函数的定义域
例3 （1）y=x2-1+
1-x2；（2）
y=
11+1/x.
分析：函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围，当一个函数有两个或两个以上的式子的和、差、积、商的形式构成时，其定义域是使各部分有意义的自变量的交集.
解：（1）要使函数有意义，则
x2-1≥0，
x2-1≤0，
即x2=1，则x=±1，因此函数的定义域为{1，-1}.
（2）要使函数有意义，则
x≠0，
1+1/x≠0，
即x≠0，
x+1≠0，
，所以x≠0且x≠-1，
因此函数的定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠0}.
点评：求函数的定义域一般转化为解不等式或不等式组问题，注意函数的定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
四、求函数值
例4 已知f （x）=
12-x
（x∈R，x≠2），
g（x）=x+4（x∈R），（1）求f （1）、g（1）的值；（2）求f（g（1））
、g（f （1））的值；（3）求
f （g（x））、g（f（x））的表达式.
分析：求函数值时，只需要将f （x）中的x用对应的值（包括代数式）代替即可.
解：（1）
f （1）=12-1
=1，g（1）=1+4=5.
（2） f（g（1））=f（5）=
12-5
=-13
，g（f（1））=g（1）=1+4=5；
（3）f（g（x））=f（x+4）=
12-（x+4）
=1-2-x；
（4）g（f（x））=g（12-x）
=12-x+4.
点评：当已知函数的解析式求函数值时，直接将自变量的值代入解析式中则可以求解，若自变量是以代数式的形式出现，则将代数式看做一个整体代替解析式中的自变量；当解析式含参变量时，先通过已知条件确定参量，再将自变量的值代入解析式中求值.
五、求函数的值域
例5 求下列函数的值域：（1）
y=2x+1，x∈{1，2，3，4，5}；（2）
y=x+1；
（3）y=x+2x-1；（4）
y=3x+2x-1 .
分析：求函数的值域方法很多，要根据具体的题型来确定一定的方法，如观察法、配方法、分离常数法.
解：（1）（观察法）由于y=2x+1，
x∈{1，2，3，4，5}，则可以得到y∈{3，5，7，9，11}.
（2）（观察法）由于
x≥0，则
x+1≥1，则函数的值域为[1，+∞].
（3）（换元法）令u=
2x-1，则u≥0，
x=u2+12，则
y=u2+12+u=
12（u+1）2≥
12，
则函数的值域为[1/2，+∞）.
（4）（分离常数法） y=
3x+2x-1=
3（x-1）+5x-1=
3+5x-1≠3，则函数的值域为{y|y≠3，y∈R}.
点评：在解决上述问题时，一定要根据函数的特征采取灵活不同的方法解决.