摘 要：Duffing系统是非线性系统中常用的混沌模型之一，它具有非常丰富的动力学行为，也是众多科学家热衷探究Duffing方程的原因。本论文通过介绍Duffing系统的背景，利用Matlab软件中Simulink模块搭建方程进行仿真，并且利用Mutisim软件进行电路设计与模拟，得到了理想的结果。
　　关键词：Duffing系统;Matlab仿真;模拟电路仿真
　　引言
　　20世纪初，德国科学家Duffing在他的论文中描述了一个受到强迫振动的非线性系统引起的物理现象。这个系统的一般形式表示为：
　　（1）
　　式中，为外加强迫振动的振幅，为振动的频率，为阻尼因子;对非线性硬性弹簧系统来说，、均为正;而非线性软性弹簧系统，为正，为负。方程（1）中具有非常丰富的动力学行为，至今尚未被人们完全认识。
　　一、杜芬方程的背景介绍
　　1979年，Holmes将方程进一步修改，描述了在两个永久磁铁中的非均匀场中的支架梁的强迫振动，即Duffing-Holmes方程：
　　（2）
　　式中，阻尼因子、驱动力的频率和幅值是可变参数。此方程可看成一个质点在双势阱中非线性振动行为的简单数学模型。当系统的结构参数一定时，随着驱动力幅值的增加其运动状态经历同宿轨道、分岔、混沌和大周期运动等各个状态，成为研究混沌的常用模型之一[1，2]。
　　二、 Duffing系统的Matlab模型的建立
　　方程（2）中，除外加周期力振幅 是可变参数外，其余参数都取定值，=0.3，=-1，=1，=1.2，得到下面的方程：
　　（3）
　　根据式（3）提供的杜芬振子的理论数学模型，利用Matlab软件中的Simulink模块进行计算机仿真[3]，以模块化设计思想为核心指导，对运算单元进行布局，设计模块化的非线性动力学方程。杜芬方程的Simlink模型如图1所示，仿真相图结果如图2所示。
　　改变 的取值，观察随着时间变化的曲线可知，当 <0.3时，方程的解是周期振荡的，并且随着 的增大，解的周期也成倍增加;当 =0.2时，振荡周期;当 =0.28时，;当 =0.2867时，;由此可以大胆的猜想，如果 继续增大， 应为，此时周期运动变为无穷大振荡，也就是说不在是周期运动了，并且开始出现混沌现象。当 =0.32时，系统由倍周期分岔进入混沌状态。
　　图3可以观察到，系统运动的曲线都是闭合的。在周期振荡图（图3 （a）～（b））过程中，振荡周期为，对应的相图中就有n条走向相近的轨迹。图3 （c）为混沌现象，它的运动轨迹看似杂乱无章。
　　上述过程，可以解释为：受迫振荡可以看成杜芬线性振子和外加周期力两个运动系统的叠加。当 很小，线性振子系统与外加周期力的作用都很弱，系统就会处于周期振荡状态。当 增大，外加周期力将处于主导地位，系统将会处于混沌状态。
　　三、 Duffing系统的电路模拟
　　根据杜芬系统的Simulink仿真框图1，建立对应Multisim电路仿真模型[4]，确定所需要的元器件及其参数，可以得到理想的仿真效果。当=1.2， =0.32，杜芬系统的模拟仿真电路图如图4所示，仿真相图如图5所示：
　　图5的仿真结果与图2中杜芬系统的Simlink仿真相图进行对比，输出的相图一致，表明该模拟电路符合要求。
　　参考文献：
　　[1] Holmes P J，Rand D A. The difurcations of Duffings’ equatinn： an application of catastrophe theory [J].J Sound and Vibration，1976，44（2）：237-253.
　　[2]黄永念.非线性动力学引论[M].北京：北京大学出版社，2010.
　　[3] 杨素行.模拟电子技术基础简明教程[M].北京：高等教育出版社，2005.
　　[4]贾红艳.混沌与超混沌系统模型分析及模拟电路研究[D].天津：南开大学信息技术科学学院，2010.
　　作者简介：王玉璞（1985-），女，河北石家庄人，硕士研究生，现就职于辽宁铁道职业技术学院，专业教师。