【摘要】本文将第25届国际数学奥林匹克竞赛的第一题推广到一般的情形,并给出了证明。
　　【关键词】不等式竞赛数学构造思想
　　【中图分类号】O122.3 【文献标识码】A 【文章编号】1673-8209(2010)02-0-02
　　
　　原题:若x,y,z满足x+y+z=1,且均为非负数,证明:0≤xy+yz+zx-2xyz
　　推广:若a,b,c满足a+b+c=1,且均为非负数,n为正整数,求
　　的取值范围。
　　解:(1)当n<0时,
　　设,由a+b+c=1得
　　…………………………①
　　当x=时,=
　　
　　因为n<0, 所以
　　则……………②
　　(当且仅当a=b=c时,取到最大值)
　　又
　　所以
　　因为n<0,0≤a,b,c≤1,f(n)=ab+bc+ac-nabc≥0,且根据a,b,c的对称性
　　当且a,b,c中有两个数为0时,另一个为1时,f(n)取到最小值
　　即
　　(2)当n=0,1时,
　　令x=1时;g(1)=f(1)=ab+bc+ac-abc=(1-a)(1-b)(1-c)
　　………③
　　(当且仅当a=b=c时,取到最大值)
　　根据,a,b,c均为非负数,a+b+c=1可得
　　(当且仅當a=b=c时,取到最大值)…………④
　　由③④得:f(0)=g(1)+abc(当且仅当a=b=c时,取到最大值)
　　由f(0)=ab+bc+ac且0≤a,b,c≤1知f(0)≥0;f(1)=g(1)且0≤a,b,c≤1知f(1)≥0.
　　又a+b+c=1,f(0),f(1)为轮换多项式;
　　所以a,b,c中两个数为0,另一个为1时f(0),f(1)取到最小值。
　　所以,f(1)
　　(3)当n=2,3时,
　　f(2),证明见参考文献[1]。
　　f(3)max=。证明见参考文献[2],下面求n=3时的最小值。
　　令x=,代入方程①得:g()=
　　所以,
　　由题意及a,b,c对称性可设ⅰ:a或ⅱ:
　　a
　　符合ⅰg()≥0,符合ⅱg()≤0,所以最小值在第二种情况中,
　　根据0≤a,b,c≤1可得:当a=b=0,c=1时g()min=
　　所以f
　　即:a,b,c三个数中有两个为0,另一个为1时,f(3)取到最小值为0
　　所以
　　(4)当n≥4时,
　　由题意及a,b,c的对称性
　　可设Ⅰ或Ⅱ或Ⅲ
　　
　　满足Ⅰ时,
　　根据不等式②可得:(当且仅当a=b=c时,等号成立)
　　满足Ⅱ时
　　
　　(当且仅当a=b时等号成立)
　　因为
　　所以<0,在上单调减少;所以当c=0时,取到最大值,
　　即在a=b=,c=0时取到最大值
　　所以由;在a,b,c中有两个数为一个为0时,取到最大值
　　满足Ⅲ时
　　(当且仅当a=b=c时,等号成立)
　　综合Ⅰ,Ⅲ
　　综合Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ
　　
　　参考文献
　　[1] 陈传理,张同君.竞赛数学教程(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2005,297.
　　[2] 张同君,陈传理.竞赛数学解题研究(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2006,335-336.
　　[3] 刘陪杰.历届IMO试题集[M].哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,2006.
　　[4] 冯丽珠,IMO25-1的推广[J]湖北:湖北师范学院学报(自然科学版)2002,2(22):109-110.