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摘要：动点最值问题是初中数学中一类综合性很强的问题，是初中数学教学中的一个重要组成部分，贯穿在整个初中数学的学习中，这类试题也是近几年中考的热点问题之一，它主要考查学生对平时所学的内容综合运用，突出了对学生数学素质的考查。通过这类试题的教学，可以培养学生的探究能力和创新意识，培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力，提高学生举一反三的能力，对学生思维能力的提高有较大的帮助。
关键词： 动点 最值 解题策略
【中图分类号】G633.6
解这类题目要尽可能运用数形结合思想，把几何图形转化成代数式，或是结合动点运动属性，分析图形特征，根据题目的条件写出关系式，将动态的几何问题静态化，抓住静态的瞬间，将一般问题转化成一些特殊的情况，从而找到动、静之间的关系来求解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨：.（1）出现一个动点两个定点；（2）出现两个动点一个定点；（3）出现两个动点两个定点，这3中情况下的解题方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，对称到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由"两点之间线段最短"或者"垂线段最短"可知动点的位置及其最值情况。
课后习题（引例）：如图，已知AB是一条河，河的一边有两个村庄M和N，现要在河AB上修一个抽水站，同时向M和N这两个村庄供水，为了节约供水的费用，就要使所铺的管道最短，请你找到AB上的点P，使点P到点M和点N的距离之和最短.
解：过点M作AB的对称点M'，连接M'N，即PM+PN≧M'N
要使得PM+PN最小，即P在M'N与AB的交点处
总结：对称共线法，如果不定的两条线段之和由一个动点决定，我们可以用"轴对称"的性质将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，对称到直线的另一侧，将不共线的线段进行等量转移，在借助"两点之间的距离最短"找到特殊情况下的动点P的位置，将动态问题转化成静态的几何问题，进而求解。
类型一：一动两定型（两个定点到一个动点的距离和最小问题）
变式1：从直线到三角形中
例1：在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为 。
解：作点C关于AB的对称点P，连结DP，PB由引例可知，点E即为DP与BC的交点，
∵AC=BC=2，∠ACB=900，
∴∠PCB=450即△CBP为等腰直角三角形
∴BD==1，PB=2
∴PD=
变式2：从三角形模型转移到四边形模型
如图：菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_______。
解法：
变式3：从四边形转移到圆柱体中
如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________。
误解：学生一看到这一个圆柱体问题，很容易产生一个定向思维：将圆柱体展开，找到展开图中的对应的点C，构造RT△ADC，利用勾股定理AC2=CD2+AD2，在利用已知的条件求出CD=9，AD=4，进而求出AC=，但是这个问题到底出现在什么地方呢？我们在前面的练习中绝大多数情况下碰到的是蚂蚁绕圆柱体的外壁从一点爬到这一点，此时考虑到柱体是一个曲面，利用转化思想，将它转化为平面图形进而求解，但是此时这个问题中这只蚂蚁是从杯外绕着杯口爬到杯子的内壁中去，不再是我们曾经多次练习的外壁问题，此题已经转化成了在杯口在一个点P，使得PA+PC的值最小，从而变成我们熟悉的一动两定问题型。
正确的解：将圆柱体展开（如右图），找到点C的位置，根据上述一动两定型问题的基本模型解法，找到A的对应点A'，此时PA'+PCCA'利用两点之间线段最短确定点P的位置，在RT△A'DC中，求出CA'=15。
方法总结：一动两定型问题主要是由一个动点引起，将动态问题通过轴对称转化成静态下的几何问题，运用"勾股定理"找到最小值。
类型二：一定两动型（一个定点到两个动点的距离最短问题）
即两个动点分别在两条直线上运动，一个动点分别到一个定点和另一个动点的距离最短问题
例2：△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小为________。
解：作点C关于AB的对称点C'，此时PC=PC'，CP+PM=M C'
∵M是线段BC上的动点即线段M C'仍在变化
∴当M C'⊥BC时，M C'最短
即点P为M C'与线段AB的交点
在RT△MC C'中，C C'= ，∠ C'CM=∠A，∠C'MC=∠ACB
∴△MC C'∽△ACB
∴ ∴M C'=
变式一：从直角三角形到一般的锐角三角形，形变意不变。
方法总结：如果不定的两条线段由两个动点决定，我们用"轴对称"的性质、"两点之间线段最短"可以找到最短距离，但是与例1不同的是这条最短的线段大小还在不断的变化中，此时再可以利用"垂线段最短"可得到其最值。
类型三：两动两定型
即两个定点，一个动点一个定点，两个动点之间的四边形周长最小问题。
求动点最值问题的内涵非常丰富，能更好的考察学生观察转移的能力，培养他们数形结合的思想和转化的思想，希望以上的几个模型，对我们今后分析解决动点最值问题有一定的帮助。
参考文献：
1刘鹏； "特例"让数学复习课更加有效[J]；数学之友；2012年01期
2李玉荣；最值问题新考[J]；数学教学通讯；2010年03期
3王念超；最大（小）值问题[J]；青苹果；2003年10期
4 王柏校；探究直线上动点与两定点的距离和的最值问题[J]；数学大世界；2010 年09期
关键词： 动点 最值 解题策略
【中图分类号】G633.6
解这类题目要尽可能运用数形结合思想，把几何图形转化成代数式，或是结合动点运动属性，分析图形特征，根据题目的条件写出关系式，将动态的几何问题静态化，抓住静态的瞬间，将一般问题转化成一些特殊的情况，从而找到动、静之间的关系来求解。本文试从以下几个方面对这类问题作一些简单的探讨：.（1）出现一个动点两个定点；（2）出现两个动点一个定点；（3）出现两个动点两个定点，这3中情况下的解题方法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，对称到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由"两点之间线段最短"或者"垂线段最短"可知动点的位置及其最值情况。
课后习题（引例）：如图，已知AB是一条河，河的一边有两个村庄M和N，现要在河AB上修一个抽水站，同时向M和N这两个村庄供水，为了节约供水的费用，就要使所铺的管道最短，请你找到AB上的点P，使点P到点M和点N的距离之和最短.
解：过点M作AB的对称点M'，连接M'N，即PM+PN≧M'N
要使得PM+PN最小，即P在M'N与AB的交点处
总结：对称共线法，如果不定的两条线段之和由一个动点决定，我们可以用"轴对称"的性质将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，对称到直线的另一侧，将不共线的线段进行等量转移，在借助"两点之间的距离最短"找到特殊情况下的动点P的位置，将动态问题转化成静态的几何问题，进而求解。
类型一：一动两定型（两个定点到一个动点的距离和最小问题）
变式1：从直线到三角形中
例1：在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=900，D是BC边的中点，E是AB上的一动点，则EC+ED的最小值为 。
解：作点C关于AB的对称点P，连结DP，PB由引例可知，点E即为DP与BC的交点，
∵AC=BC=2，∠ACB=900，
∴∠PCB=450即△CBP为等腰直角三角形
∴BD==1，PB=2
∴PD=
变式2：从三角形模型转移到四边形模型
如图：菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是_______。
解法：
变式3：从四边形转移到圆柱体中
如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为 cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________。
误解：学生一看到这一个圆柱体问题，很容易产生一个定向思维：将圆柱体展开，找到展开图中的对应的点C，构造RT△ADC，利用勾股定理AC2=CD2+AD2，在利用已知的条件求出CD=9，AD=4，进而求出AC=，但是这个问题到底出现在什么地方呢？我们在前面的练习中绝大多数情况下碰到的是蚂蚁绕圆柱体的外壁从一点爬到这一点，此时考虑到柱体是一个曲面，利用转化思想，将它转化为平面图形进而求解，但是此时这个问题中这只蚂蚁是从杯外绕着杯口爬到杯子的内壁中去，不再是我们曾经多次练习的外壁问题，此题已经转化成了在杯口在一个点P，使得PA+PC的值最小，从而变成我们熟悉的一动两定问题型。
正确的解：将圆柱体展开（如右图），找到点C的位置，根据上述一动两定型问题的基本模型解法，找到A的对应点A'，此时PA'+PCCA'利用两点之间线段最短确定点P的位置，在RT△A'DC中，求出CA'=15。
方法总结：一动两定型问题主要是由一个动点引起，将动态问题通过轴对称转化成静态下的几何问题，运用"勾股定理"找到最小值。
类型二：一定两动型（一个定点到两个动点的距离最短问题）
即两个动点分别在两条直线上运动，一个动点分别到一个定点和另一个动点的距离最短问题
例2：△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，试在AB上找一点P，在BC上取一点M，使CP+PM的值最小为________。
解：作点C关于AB的对称点C'，此时PC=PC'，CP+PM=M C'
∵M是线段BC上的动点即线段M C'仍在变化
∴当M C'⊥BC时，M C'最短
即点P为M C'与线段AB的交点
在RT△MC C'中，C C'= ，∠ C'CM=∠A，∠C'MC=∠ACB
∴△MC C'∽△ACB
∴ ∴M C'=
变式一：从直角三角形到一般的锐角三角形，形变意不变。
方法总结：如果不定的两条线段由两个动点决定，我们用"轴对称"的性质、"两点之间线段最短"可以找到最短距离，但是与例1不同的是这条最短的线段大小还在不断的变化中，此时再可以利用"垂线段最短"可得到其最值。
类型三：两动两定型
即两个定点，一个动点一个定点，两个动点之间的四边形周长最小问题。
求动点最值问题的内涵非常丰富，能更好的考察学生观察转移的能力，培养他们数形结合的思想和转化的思想，希望以上的几个模型，对我们今后分析解决动点最值问题有一定的帮助。
参考文献：
1刘鹏； "特例"让数学复习课更加有效[J]；数学之友；2012年01期
2李玉荣；最值问题新考[J]；数学教学通讯；2010年03期
3王念超；最大（小）值问题[J]；青苹果；2003年10期
4 王柏校；探究直线上动点与两定点的距离和的最值问题[J]；数学大世界；2010 年09期