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[摘 要]中国古代之“数”，皆“术”，教有其“术”，学更有之“术”。在小学数学教学中，教师可以采取“切”“磋”“琢”“磨”的教学策略，引导学生在“画”中“切”、“圈”中“切”、“比”中“磋”、“逆”中“磋”、“教”中“琢”、“议”中“琢”、题组“磨”、反思“磨”，从而提高学生思维能力。
[关键词]小学数学；切磋琢磨；教学策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-041
【信其言】
“有匪君子，如切如磋，如琢如磨。”
——《诗经·卫风》
【解其语】
古代把骨头加工成器物叫“切”，把象牙加工成器物叫“磋”，把玉加工成器物叫“琢”，把石头加工成器物叫“磨”。后引申为学问上的研究、探讨，指共同研究学习，互相取长补短。
结合数学教学，“切磋”就是要求学生自己有深入的思考，还要有与同伴进行思维的碰撞。“琢磨”则更多地立足于自己的用心思考，强调自我的反思，立足于自己的学习过程。
【行其道】
“切磋琢磨”教学是指在课堂教学中，先让学生对教学内容按照“预学、互学、共学、悟学”的流程进行学习，再通过或“切”或“磋”，或“琢”或“磨”的探究活动，最终获得新知的一种学习方式。当学生经历了“切”“磋”“琢”“磨”的学习过程后，他对知识的记忆会特别深刻，真正成为研究学习的主人。
一、“切”——课前预学
学生在学习新知识时常常会有一种不准确的知识建构。对此，教师可以在课前设计“预学单”，根据学习计划给定学生一个预学目标，让学生在“预学单”的指引下，根据已有知识和经验进行自主学习。在自主学习的过程中，学生会主动在易混淆处或疏忽处“切一切”，这样不仅可以促使学生形成完整的知识概念，而且还可以加深学生对概念本质的理解。
1.“画”中“切”
在教学三角形三条边的关系时，为了有效落实 “三角形的任意两边之和都大于第三边”这个知识点，可以设计如下的“预学单”。
预学单
（1）已知一个等腰三角形的一边为5cm，另一边为6cm，求这个三角形的周长。
（2）已知一个等腰三角形的一边为3cm，另一边为5cm，求这个三角形的周长。
（3）已知一个等腰三角形的一边为4cm，另一边为9cm，求这个三角形的周长。
（4）请画出以上3题所有可能的三角形，并说说你有什么发现。
第（4）题要求学生画出这些三角形，显然第（3）题中有一个可能性学生无法画出，原因是周长为17cm的那个三角形根本不存在。画的过程就是“切”的过程，学生在“切”中恍然大悟，反思后发现题目中的隐含条件“三角形的任意两边之和都大于第三边”。这样的“切”可以有效培养学生对知识理解的深刻性。
2.“圈”中“切”
在教学“用分数解决问题”练习课前，为了打破学生思维定式，教师可以设计如下的“预学单”。
预学单
（1）一堆20吨的煤，第一天运了全部的 ，第二天又运了 吨，还剩多少吨？
（2）一堆20吨的煤，第一天运了全部的 ，第二天又运了 ，还剩多少吨？
（3）请分别圈出第（1）题和第（2）题的 ，你发现了什么？
对于第（1）题，学生一看到题目就会联想到“剩下的吨数=总吨数×剩下的占总数的几分之几”这个数量关系，把具体的数量“ 吨”当作一个分率，从而错误列式为20×（1- - ）=11（吨）。当学生做到第（2）题时，很快就发现不对劲，回过头来反思第（1）题，在比较中就知道了其中的“奥秘”。第（3）题的“圈一圈”，更是让人一目了然，“切”中要害，打破学生的思维定式，培养学生良好的审题习惯。
二、“磋”——小组互学
“磋”这个阶段，教师重在提出问题、教给方法，向学生提供从已知到未知的过渡桥梁，学生则重在交流讨论。学生通过相互之间的“磋”获得进一步的感知和感悟，不同层次的学生都能获得不同的发展。
1.“比”中“磋”
例如在“用字母表示数”的学习中，学生根据“学习单”，在组内进行“磋”。
学习单
（1）我今年（ ）岁，我的同桌今年（ ）岁。
（2）小红今年（ ）岁，小红的爸爸今年（ ）岁。
提示：不知道的岁数可以用字母表示哦！
想一想：小红的年龄与爸爸的年龄，能用相同的字母表示吗？为什么？
小组内讨论“小红”和“小红的爸爸”两人的岁数，一起“磋”“是用数字表示，还是用字母表示；是用两个不同字母表示，还是用含有相同字母的式子表示”。最终，学生围绕“小红的爸爸的岁数用字母a以外的其他字母表示好，還是用a 30表示好”进行了深入的“磋”。“磋”的过程，其实就是对照自己的思维过程，“磋”让其学习他人之长处，修正自己与他人的错误、不足，找到解决问题的最优方法。
2.“逆”中“磋”
在教学多边形面积时，为了让学生深入理解三角形面积与平行四边形面积之间的关系，可设计逆向思维的“磋”，并让其“逆向思考”。
学习单
请判断：一个三角形的面积是一个平行四边形面积的一半，那么这个三角形和平行四边形一定等底等高。
小组讨论：
（1）三角形可以等面积变形吗？两个三角形的底和高均不相等，它们的面积可能相等吗？
（2）当三角形的面积等于平行四边形面积的一半时，是否一定要等底等高？
学生已有“如果三角形和平行四边形等底等高，那么三角形的面积是平行四边形面积的一半”这样的经验，但理解不深，逆向逻辑思维能力不强。而此时引导学生反过来思考，在“逆向思考”中讨论，当他们在讨论中猛然醒悟时，必将留下深刻印象。若在学生做出正确判断后，再要求他们举出实例加以证明，那么“磋”的效果会更好。 三、“琢”——全班共学
《礼记·学记》曾有“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。故曰教学相长也。”说明“教”和“学”是相互促进的。而所谓的“琢”，正是“小老师”上讲台“教”，全班一起“议”的过程。在“琢”中，“小老师”要把自己所掌握的知识用语言、图片、动作等形式表达出来，可以利用板书、多媒体、实验等进行辅助，以期达到在“琢”中“学”的目的。
1.“教”中“琢”
在“切”“磋”后，有些“沉默一族”明明对学习的内容还未理解，但不愿把自己心中的困惑表达出来，这时需要“小老师”的主动“琢”。“小老师”可以在组内“琢”，也可以上讲台来展示“琢”。
案例：
判断题：（1）3700÷900=37÷9=4……1；（2）42÷12=（42÷2）÷（12÷2）。
学生很容易判断第（1）题为正确。根据商不变的性质，得3700÷900=37÷9，而37÷9=4……1是成立的，学生很容易“迁移”前面的经验，得出3700÷900=4……1。在判断第（2）题时，学生又会迁移第（1）题的思维过程，先计算出42÷12=3……6，得（42÷2）÷（12÷2）=42÷12=3……6。这时“小老师”上来说一说，讲解其错误的原因，引导大家检查自己的思维过程，再去反思、去批判。当学生“琢”出门道后，就意味着获得了新知，也完善了其认知结构。
2.“议”中“琢”
在教学“负数的认识”时，学生经常把正数与负数表示“相反意义的量”当成“不同意义的量”。为此，在学生这种思维薄弱处“琢”一“琢”非常有必要。
案例：
“小老师”：如果零上12℃记作 12℃，那么零下5℃记作 ℃。（答：-5。）
“小老师”：若-3表示顺时针方向转了3圈，那么逆时针转7圈应记为 圈。（答： 7。）
“小老师”：如果冬冬向西走100m记作 100m，那么-50m表示 。（答：冬冬向東走了50m。）
“小老师”：若爸爸上个月做生意盈利5000元记作
5000元，那么爸爸本月借出1000元记为 元。
生1：-1000元。
“小老师”： 错了！不能记为-1000元。（众生惊讶！）
“小老师”：你们知道为什么吗？
生2：因为盈利和出借不是两个相反的量。（众生恍然大悟！）
“小老师”：那谁能改一改，使它能用“ ”“-”来表示？
生3：把“借出1000元”改为“亏损1000元”。
生4：或者把“盈利5000元”改为“收回5000元”。
“小老师”与同学之间、同学与同学之间的相互“琢”，不仅让学生学中有教，教中有学，互学互教，相互促进，还能使学生的自主学习能力、表达能力、倾听能力、总结反思能力等都得以提升。
四、“磨”——自我悟学
“磨”，其核心就是强调“自我反思”，根据学习内容，“悟”出知识的本质，掌握学习的科学方法，以及形成良好的学习习惯。“磨”着眼于终身学习、终身发展，是学生不可缺少的学习过程。
1.题组“磨”
学生在进行四则混合运算时，往往急于求成或跟着“运算定律”走。这时，教师就可以让学生在“题组”对比中“磨”。
学习单
计算：（1） ÷ × ；（2） ÷3。
第（1）题中的 与第（2）中的 ，它们的和刚好分别等于“1”，这样，学生就很容易将思维“迁移”到“简便运算”中，先算加法，造成错解。
在解决问题的过程中，除了解决单个数学问题外，有时还要连续解决几个前后有联系的问题，探索题组之间存在的联系、区别及规律，学生在经历这样的题组后若“悟”到了其中的奥秘，不仅可以强化运用运算法则的规范性，而且激活了思维的灵活性。
2.反思“磨”
在解方程时，学生经常会把除法与乘法“纠缠”在一起，导致对“等式的基本性质”的认识模糊不清，把“等式两边同时加上、减去、乘以或除以一个相同的数（0除外）”中的“相同的数”固定为数字，认为用字母就不行了。因此，在教学时，教师可以针对学生这些易错的地方，进行反思性“磨”学。
思考：你刚才为什么出错？
学生将方程的解代入原方程验算，并检查其解题过程中出错的地方，然后反思辨析“等式的基本性质”，得出运用其性质解此类方程时要“把0.2x看作一个数”的结论。在整个自我反思性中的“磨”，是学生掌握知识、形成技能、发展智力的有效手段。
【证其果】
“如切如磋者，道学也；如琢如磨者，自修也。”
——《礼记·大学》
“切”要求教师对教学之初的学情要加以分析，对教学初始情境进行思考，就如同要对山野顽石进行切割一样。“磋”要求教师将“切”下来的学习任务和问题转化为一个可以为课堂教学所利用的学习单、案例、活动内容等。“琢”要求教师围绕教学目标和活动意图，对学习的内容加以深度开发，为课堂所用。“磨”则要求教师站在为学生“终身发展”的高度上，去培养和发展学生的综合素质。
“切”“磋”“琢”“磨”的教学策略迫使教师要从学生可接受的角度去落实教学内容，将学生放在主体位置，让课程、教材和教法适应学生，把教学的过程演绎成充满生命活力、思想激荡的过程，把传授知识的过程提升到素质形成的过程，这一过程自然而然是充满快乐的。
（责编 李琪琦）
[关键词]小学数学；切磋琢磨；教学策略
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）02-041
【信其言】
“有匪君子，如切如磋，如琢如磨。”
——《诗经·卫风》
【解其语】
古代把骨头加工成器物叫“切”，把象牙加工成器物叫“磋”，把玉加工成器物叫“琢”，把石头加工成器物叫“磨”。后引申为学问上的研究、探讨，指共同研究学习，互相取长补短。
结合数学教学，“切磋”就是要求学生自己有深入的思考，还要有与同伴进行思维的碰撞。“琢磨”则更多地立足于自己的用心思考，强调自我的反思，立足于自己的学习过程。
【行其道】
“切磋琢磨”教学是指在课堂教学中，先让学生对教学内容按照“预学、互学、共学、悟学”的流程进行学习，再通过或“切”或“磋”，或“琢”或“磨”的探究活动，最终获得新知的一种学习方式。当学生经历了“切”“磋”“琢”“磨”的学习过程后，他对知识的记忆会特别深刻，真正成为研究学习的主人。
一、“切”——课前预学
学生在学习新知识时常常会有一种不准确的知识建构。对此，教师可以在课前设计“预学单”，根据学习计划给定学生一个预学目标，让学生在“预学单”的指引下，根据已有知识和经验进行自主学习。在自主学习的过程中，学生会主动在易混淆处或疏忽处“切一切”，这样不仅可以促使学生形成完整的知识概念，而且还可以加深学生对概念本质的理解。
1.“画”中“切”
在教学三角形三条边的关系时，为了有效落实 “三角形的任意两边之和都大于第三边”这个知识点，可以设计如下的“预学单”。
预学单
（1）已知一个等腰三角形的一边为5cm，另一边为6cm，求这个三角形的周长。
（2）已知一个等腰三角形的一边为3cm，另一边为5cm，求这个三角形的周长。
（3）已知一个等腰三角形的一边为4cm，另一边为9cm，求这个三角形的周长。
（4）请画出以上3题所有可能的三角形，并说说你有什么发现。
第（4）题要求学生画出这些三角形，显然第（3）题中有一个可能性学生无法画出，原因是周长为17cm的那个三角形根本不存在。画的过程就是“切”的过程，学生在“切”中恍然大悟，反思后发现题目中的隐含条件“三角形的任意两边之和都大于第三边”。这样的“切”可以有效培养学生对知识理解的深刻性。
2.“圈”中“切”
在教学“用分数解决问题”练习课前，为了打破学生思维定式，教师可以设计如下的“预学单”。
预学单
（1）一堆20吨的煤，第一天运了全部的 ，第二天又运了 吨，还剩多少吨？
（2）一堆20吨的煤，第一天运了全部的 ，第二天又运了 ，还剩多少吨？
（3）请分别圈出第（1）题和第（2）题的 ，你发现了什么？
对于第（1）题，学生一看到题目就会联想到“剩下的吨数=总吨数×剩下的占总数的几分之几”这个数量关系，把具体的数量“ 吨”当作一个分率，从而错误列式为20×（1- - ）=11（吨）。当学生做到第（2）题时，很快就发现不对劲，回过头来反思第（1）题，在比较中就知道了其中的“奥秘”。第（3）题的“圈一圈”，更是让人一目了然，“切”中要害，打破学生的思维定式，培养学生良好的审题习惯。
二、“磋”——小组互学
“磋”这个阶段，教师重在提出问题、教给方法，向学生提供从已知到未知的过渡桥梁，学生则重在交流讨论。学生通过相互之间的“磋”获得进一步的感知和感悟，不同层次的学生都能获得不同的发展。
1.“比”中“磋”
例如在“用字母表示数”的学习中，学生根据“学习单”，在组内进行“磋”。
学习单
（1）我今年（ ）岁，我的同桌今年（ ）岁。
（2）小红今年（ ）岁，小红的爸爸今年（ ）岁。
提示：不知道的岁数可以用字母表示哦！
想一想：小红的年龄与爸爸的年龄，能用相同的字母表示吗？为什么？
小组内讨论“小红”和“小红的爸爸”两人的岁数，一起“磋”“是用数字表示，还是用字母表示；是用两个不同字母表示，还是用含有相同字母的式子表示”。最终，学生围绕“小红的爸爸的岁数用字母a以外的其他字母表示好，還是用a 30表示好”进行了深入的“磋”。“磋”的过程，其实就是对照自己的思维过程，“磋”让其学习他人之长处，修正自己与他人的错误、不足，找到解决问题的最优方法。
2.“逆”中“磋”
在教学多边形面积时，为了让学生深入理解三角形面积与平行四边形面积之间的关系，可设计逆向思维的“磋”，并让其“逆向思考”。
学习单
请判断：一个三角形的面积是一个平行四边形面积的一半，那么这个三角形和平行四边形一定等底等高。
小组讨论：
（1）三角形可以等面积变形吗？两个三角形的底和高均不相等，它们的面积可能相等吗？
（2）当三角形的面积等于平行四边形面积的一半时，是否一定要等底等高？
学生已有“如果三角形和平行四边形等底等高，那么三角形的面积是平行四边形面积的一半”这样的经验，但理解不深，逆向逻辑思维能力不强。而此时引导学生反过来思考，在“逆向思考”中讨论，当他们在讨论中猛然醒悟时，必将留下深刻印象。若在学生做出正确判断后，再要求他们举出实例加以证明，那么“磋”的效果会更好。 三、“琢”——全班共学
《礼记·学记》曾有“学然后知不足，教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。故曰教学相长也。”说明“教”和“学”是相互促进的。而所谓的“琢”，正是“小老师”上讲台“教”，全班一起“议”的过程。在“琢”中，“小老师”要把自己所掌握的知识用语言、图片、动作等形式表达出来，可以利用板书、多媒体、实验等进行辅助，以期达到在“琢”中“学”的目的。
1.“教”中“琢”
在“切”“磋”后，有些“沉默一族”明明对学习的内容还未理解，但不愿把自己心中的困惑表达出来，这时需要“小老师”的主动“琢”。“小老师”可以在组内“琢”，也可以上讲台来展示“琢”。
案例：
判断题：（1）3700÷900=37÷9=4……1；（2）42÷12=（42÷2）÷（12÷2）。
学生很容易判断第（1）题为正确。根据商不变的性质，得3700÷900=37÷9，而37÷9=4……1是成立的，学生很容易“迁移”前面的经验，得出3700÷900=4……1。在判断第（2）题时，学生又会迁移第（1）题的思维过程，先计算出42÷12=3……6，得（42÷2）÷（12÷2）=42÷12=3……6。这时“小老师”上来说一说，讲解其错误的原因，引导大家检查自己的思维过程，再去反思、去批判。当学生“琢”出门道后，就意味着获得了新知，也完善了其认知结构。
2.“议”中“琢”
在教学“负数的认识”时，学生经常把正数与负数表示“相反意义的量”当成“不同意义的量”。为此，在学生这种思维薄弱处“琢”一“琢”非常有必要。
案例：
“小老师”：如果零上12℃记作 12℃，那么零下5℃记作 ℃。（答：-5。）
“小老师”：若-3表示顺时针方向转了3圈，那么逆时针转7圈应记为 圈。（答： 7。）
“小老师”：如果冬冬向西走100m记作 100m，那么-50m表示 。（答：冬冬向東走了50m。）
“小老师”：若爸爸上个月做生意盈利5000元记作
5000元，那么爸爸本月借出1000元记为 元。
生1：-1000元。
“小老师”： 错了！不能记为-1000元。（众生惊讶！）
“小老师”：你们知道为什么吗？
生2：因为盈利和出借不是两个相反的量。（众生恍然大悟！）
“小老师”：那谁能改一改，使它能用“ ”“-”来表示？
生3：把“借出1000元”改为“亏损1000元”。
生4：或者把“盈利5000元”改为“收回5000元”。
“小老师”与同学之间、同学与同学之间的相互“琢”，不仅让学生学中有教，教中有学，互学互教，相互促进，还能使学生的自主学习能力、表达能力、倾听能力、总结反思能力等都得以提升。
四、“磨”——自我悟学
“磨”，其核心就是强调“自我反思”，根据学习内容，“悟”出知识的本质，掌握学习的科学方法，以及形成良好的学习习惯。“磨”着眼于终身学习、终身发展，是学生不可缺少的学习过程。
1.题组“磨”
学生在进行四则混合运算时，往往急于求成或跟着“运算定律”走。这时，教师就可以让学生在“题组”对比中“磨”。
学习单
计算：（1） ÷ × ；（2） ÷3。
第（1）题中的 与第（2）中的 ，它们的和刚好分别等于“1”，这样，学生就很容易将思维“迁移”到“简便运算”中，先算加法，造成错解。
在解决问题的过程中，除了解决单个数学问题外，有时还要连续解决几个前后有联系的问题，探索题组之间存在的联系、区别及规律，学生在经历这样的题组后若“悟”到了其中的奥秘，不仅可以强化运用运算法则的规范性，而且激活了思维的灵活性。
2.反思“磨”
在解方程时，学生经常会把除法与乘法“纠缠”在一起，导致对“等式的基本性质”的认识模糊不清，把“等式两边同时加上、减去、乘以或除以一个相同的数（0除外）”中的“相同的数”固定为数字，认为用字母就不行了。因此，在教学时，教师可以针对学生这些易错的地方，进行反思性“磨”学。
思考：你刚才为什么出错？
学生将方程的解代入原方程验算，并检查其解题过程中出错的地方，然后反思辨析“等式的基本性质”，得出运用其性质解此类方程时要“把0.2x看作一个数”的结论。在整个自我反思性中的“磨”，是学生掌握知识、形成技能、发展智力的有效手段。
【证其果】
“如切如磋者，道学也；如琢如磨者，自修也。”
——《礼记·大学》
“切”要求教师对教学之初的学情要加以分析，对教学初始情境进行思考，就如同要对山野顽石进行切割一样。“磋”要求教师将“切”下来的学习任务和问题转化为一个可以为课堂教学所利用的学习单、案例、活动内容等。“琢”要求教师围绕教学目标和活动意图，对学习的内容加以深度开发，为课堂所用。“磨”则要求教师站在为学生“终身发展”的高度上，去培养和发展学生的综合素质。
“切”“磋”“琢”“磨”的教学策略迫使教师要从学生可接受的角度去落实教学内容，将学生放在主体位置，让课程、教材和教法适应学生，把教学的过程演绎成充满生命活力、思想激荡的过程，把传授知识的过程提升到素质形成的过程，这一过程自然而然是充满快乐的。
（责编 李琪琦）