【问题】如图1，在平面直角坐标系中，点A坐标为(12，0)，点B坐标为(6，8)，点C为OB的中点，点D从点O出发，沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度每秒的速度运动一周．
　　（1）点C坐标是(，)，当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是(，)；
　　（2）设点D运动的时间为t秒，试用含t的代数式表示△OCD的面积S，并指出t为何值时，S最大；
　　（3）点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动，如图2，若点E与点D同时出发，问：在运动5秒钟内，以点D、A、E为顶点的三角形何时与△OCD相似(只考虑以点A、O为对应顶点的情况)？
　　
　　
　　【命题意图】本题是2010年淮安市的一道中考试题，它涉及平面直角坐标系内点的坐标的求法、一次函数的最值、相似三角形的性质等知识点．着重考查了运动变化、分类讨论的数学思想，以及同学们应用数学知识解决综合问题的能力．
　　【解题指导】（1）求点C的坐标时，我们可以过该点作x轴的垂线，直接应用相似三角形的性质求出点C的坐标；要求运动了8.5秒时点D的坐标，我们不妨先确定点D所在的位置，再寻找图形中的相似三角形，进而应用相似三角形的性质求出点D的坐标；（2）当点D在不同的边上时，三角形的形状发生了变化，其面积也是不同的，因此，解答时，需要我们应用分类讨论的思想，并根据图形之间的关系求出函数解析式，然后根据求最值的方法解决；（3）根据三角形相似的性质，建立关于时间t的方程进行解答．
　　【解题过程】（1）C(3，4)、D(9，4)．
　　（2）当D在OA上运动时，S=■×4×2t=4t(0＜t＜6).
　　当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图3.
　　设D点运动的时间为t秒，
　　所以DA=2t-12，BD=22-2t，
　　又因为C为OB的中点，
　　所以CF为△BOE的中位线，所以CF=■OE.
　　又因为■AB·OE=■OA×8，所以OE=■，所以CF=■.
　　因为BN⊥OA，DM⊥OA，所以△ADM∽△ABN.
　　所以■=■，所以DM=■.
　　又因为S△OCD=S△OAB-S△OAD-S△BCD，
　　所以S△OCD=■×12×8-■×12×■-■（22-2t）×■，
　　即S△OCD=-■+■(6≤t＜11)，
　　所以当t=6时，△OCD面积最大，为：S△OCD=-■+■=24.
　　当D在OB上运动时，O、C、D在同一直线上，S=0(11≤t≤16)．
　　（3）设当运动t秒时，△OCD∽△ADE，则■=■，即■=■，所以t
　　=3.5；
　　设当运动t秒时，△OCD∽△AED，则■=■，即■=■，
　　所以2t2+5t-30=0，所以t1=■，t2=■(舍去).
　　所以，当t为3.5秒或■秒时，两三角形相似．
　　【追根溯源】本题源于苏科版《数学》九年级上册教材第97页“思考与探索”：
　　如图4，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿AB向点B 以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问：几秒后△PBQ的面积等于8cm2？
　　
　　【变式拓展】
　　如图5，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形AOCB是梯形，AB∥OC，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（10，0），OB=OC．
　　（1）求点B的坐标；
　　（2）点P从C点出发，沿线段CO以5个单位每秒的速度向终点O匀速运动，过点P作PH⊥OB，垂足为H，设△HBP的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）．
　　【参考答案】
　　（1）如图，过点B作BN⊥OC，垂足为N．由题意知OB=OC=10，BN=OA=8，∴ON=■=6，∴B（6，8）；（2）∠BON=∠POH，∠ONB=∠OHP=90°，∴△BON∽△POH，■=■=■.∵PC=5t，∴OP=10-5t，∴OH=6-3t，PH=8-4t，∴BH=OB-OH=10-(6-3t)=3t+4，∴S＝■（3t+4）（8-4t）=-6t2+4t+16（0≤t≤2）.
　　
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