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【摘要】高考中概率问题越来越凸现出它的重要位置，成为高考命题的一个新视角，主要是18或19题，应用意识强，背景丰富。人教版数学必修三的古典概型与几何概型是教学中的重点内容，也是高考的热点。教育教学中概率问题中的等可能性是我们研究古典概型与几何概型的基础与关键。
【关键词】概率；古典概型；几何概型；等可能性
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）07-0188-02
古典概型与几何概型是教学中的重点内容。而明确概率问题中的等可能性是我们研究古典概型与几何概型的基础与关键。当等可能的角度不同时，其相应随机事件发生的概率通常也是不同的。不能准确的判断问题中等可能性会使我们的解题失去方向，使判断失误从而得出错误的结果。笔者将从下面几个例子来说明如何准确把握“等可能性”。
·在古典概型教学中
·决策中的公平性
现实生活中，有时会碰到难以取舍、难以抉择的问题，对于这种问题很多时
候采用抽签的方法来解决。而在具体抽签过程中，有人认为中签的机会不等，这与抽签的顺序有关；有人则认为这跟抽签的顺序无关。到底谁是谁非，下面以例题说明。
例1：某单位组织一次出国学习的活动，某科室有6名成员，只有一个名额，每个人都很想参加，无奈之下，采用抽签的方式决定谁去参加活动。6张同样卡片，只有一张上面写有“参加活动”的字样，其余均为空白。放在一起、洗匀，让6个人依次抽取，计算一下每人中签的概率。
解析：记表示“第个人抽到‘参加活动’卡片”的概率（）。
第1个人抽到“参加活动”卡片的概率，若第2个人抽到“参加活动”卡片，那第1个人一定没有抽到，第1个人没有抽到“参加活动”卡片的概率为，则。
同理，要想第3个人抽到“参加活动”卡片，则第1、2个人都没抽到，则。
同理，，即6个人抽签，每个人中签的概率相等。
正是由于抽签中不管是第几次抽取，每次抽中的概率都相等，从而确保了公平、公正的原则，所以在实际生活中应用非常多，包括一些重大的比赛中也都利用抽簽法来决定出场顺序、对阵形式等。在数学中，也有很多类似于抽签法原理的问题，如摸球问题等。以下例说明。
例2：一个口袋中有a只黑球，b只白球，它们大小相同编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，则第k次摸出的球是黑球的概率是
解析：由上例同理可知，每次摸出任何球的可能性都是相同的。所以不论是第几次摸出黑球，其概率都是相同的，它都与第一次摸出黑球的概率相同，即为。
·抓住关键仔细审题
例3：有红、黄、蓝三种颜色的小旗各3
面，任取其中3面挂于一根旗杆上，求：
（1）三面旗子全是红色的概率；
（2）恰有二面旗子是红色的概率。
解法1：
（1）共有种着色方法，三面旗子全是红色的概率；
（2）恰有二面旗子是红色的概率为。
解法2：挂第1、2、3面小旗时分别有9、8、7种不同的结果，
故由树状图易知“任取其中3面挂于一根旗杆上”包含的基本事件共有个。
（1）记“三面旗子全是红色”为事件A，则A包含的事件数为个，所以；
（2）记“恰有二面旗子是红色”为事件B，则B包含的事件数确定如下（先取后挂）：“恰有二面旗子是红色”包含的结果数为；“取出的3面小旗子挂于旗杆上”有6中不同的挂法，故事件B包含种不同结果，所以。
评析：题设“任取其中3面”之中包含的等可能性是指：每次取旗时，每面旗子被取到的可能性相等。由此并不能得出每次取三面小旗时，每种搭配被取到的可能性相等，如（黄，黄，黄），（红，黄，蓝）发生的概率分别为，故解法2确。
·在几何概型的教学中
1、准确区分几何概型的类型
例4：直角三角形ABC中，，在斜边AB上任取一点P，
求AP小于AC的概率。
解析：在AB上任取AM=AC，当点P在线段AM内时，有AP小于AC。这里应选取长度为测度，得其概率
变形：直角三角形ABC中，，过直角顶点C在内部任做一条射线CP，与线段AB相交于点P，求AP小于AC的概率。
解析：在AB上任取AM=AC，过C点的射线在内旋转，与AB交于点P，则问题转化为求的概率。这里应选取角度为测度，得其概率。
评析：在利用几何概型的概率公式求解其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中對于几何度量为长度、面积、体积时的等可能性，主要体现在点落在区域Ω上任一位置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的。因此，对于背景相似的问题，一定要认真推敲，注意区别。
例5：用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假如橡皮泥中
混入一个很小的沙砾，求这个沙砾距球心不小于1cm的概率。
解法1：记“沙砾距球心不小于1cm”为事件A，球心为O，
沙砾位置为M，则事件A发生就是OM≥1成立。因为球的半径为3cm，而3-OM≤2，所以。
解法2：设“沙砾距球心不小于1cm”为事件A，球心为O，
沙砾位置为M，则事件A发生就是OM≥1成立。因为，，所以，故沙砾距离球心不小于1cm的概率为。
评析：本题的等可能性为：沙砾在球内的三维区域内任一位
置的可能性相等，而不是在某条半径上任一位（下转192页）（上接188页）置的可能性相等，故本题应用体积测度来解题。所以解法1错误，解法2正确。
明确问题中的等可能性是我们运用两种概型中的概率公式解题的基础与关键，平时学习要深刻理解有关公式的内涵与应用前提，而不要盲目到套用，这样才能让我们从似是而非的盲区中走出来，提高我们分析问题解决问题的能力。
参考文献
[1]朱成万.标准.教材.课堂：中学数学核心内容结构与建构[M].北京：中国经济出版社，2015.6.
[2]高慧明.高考数学命题规律与教学策略[M].福州：福建教育出版社，2016.3.
【关键词】概率；古典概型；几何概型；等可能性
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）07-0188-02
古典概型与几何概型是教学中的重点内容。而明确概率问题中的等可能性是我们研究古典概型与几何概型的基础与关键。当等可能的角度不同时，其相应随机事件发生的概率通常也是不同的。不能准确的判断问题中等可能性会使我们的解题失去方向，使判断失误从而得出错误的结果。笔者将从下面几个例子来说明如何准确把握“等可能性”。
·在古典概型教学中
·决策中的公平性
现实生活中，有时会碰到难以取舍、难以抉择的问题，对于这种问题很多时
候采用抽签的方法来解决。而在具体抽签过程中，有人认为中签的机会不等，这与抽签的顺序有关；有人则认为这跟抽签的顺序无关。到底谁是谁非，下面以例题说明。
例1：某单位组织一次出国学习的活动，某科室有6名成员，只有一个名额，每个人都很想参加，无奈之下，采用抽签的方式决定谁去参加活动。6张同样卡片，只有一张上面写有“参加活动”的字样，其余均为空白。放在一起、洗匀，让6个人依次抽取，计算一下每人中签的概率。
解析：记表示“第个人抽到‘参加活动’卡片”的概率（）。
第1个人抽到“参加活动”卡片的概率，若第2个人抽到“参加活动”卡片，那第1个人一定没有抽到，第1个人没有抽到“参加活动”卡片的概率为，则。
同理，要想第3个人抽到“参加活动”卡片，则第1、2个人都没抽到，则。
同理，，即6个人抽签，每个人中签的概率相等。
正是由于抽签中不管是第几次抽取，每次抽中的概率都相等，从而确保了公平、公正的原则，所以在实际生活中应用非常多，包括一些重大的比赛中也都利用抽簽法来决定出场顺序、对阵形式等。在数学中，也有很多类似于抽签法原理的问题，如摸球问题等。以下例说明。
例2：一个口袋中有a只黑球，b只白球，它们大小相同编号不同，现在把球随机地一只一只摸出来，则第k次摸出的球是黑球的概率是
解析：由上例同理可知，每次摸出任何球的可能性都是相同的。所以不论是第几次摸出黑球，其概率都是相同的，它都与第一次摸出黑球的概率相同，即为。
·抓住关键仔细审题
例3：有红、黄、蓝三种颜色的小旗各3
面，任取其中3面挂于一根旗杆上，求：
（1）三面旗子全是红色的概率；
（2）恰有二面旗子是红色的概率。
解法1：
（1）共有种着色方法，三面旗子全是红色的概率；
（2）恰有二面旗子是红色的概率为。
解法2：挂第1、2、3面小旗时分别有9、8、7种不同的结果，
故由树状图易知“任取其中3面挂于一根旗杆上”包含的基本事件共有个。
（1）记“三面旗子全是红色”为事件A，则A包含的事件数为个，所以；
（2）记“恰有二面旗子是红色”为事件B，则B包含的事件数确定如下（先取后挂）：“恰有二面旗子是红色”包含的结果数为；“取出的3面小旗子挂于旗杆上”有6中不同的挂法，故事件B包含种不同结果，所以。
评析：题设“任取其中3面”之中包含的等可能性是指：每次取旗时，每面旗子被取到的可能性相等。由此并不能得出每次取三面小旗时，每种搭配被取到的可能性相等，如（黄，黄，黄），（红，黄，蓝）发生的概率分别为，故解法2确。
·在几何概型的教学中
1、准确区分几何概型的类型
例4：直角三角形ABC中，，在斜边AB上任取一点P，
求AP小于AC的概率。
解析：在AB上任取AM=AC，当点P在线段AM内时，有AP小于AC。这里应选取长度为测度，得其概率
变形：直角三角形ABC中，，过直角顶点C在内部任做一条射线CP，与线段AB相交于点P，求AP小于AC的概率。
解析：在AB上任取AM=AC，过C点的射线在内旋转，与AB交于点P，则问题转化为求的概率。这里应选取角度为测度，得其概率。
评析：在利用几何概型的概率公式求解其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中對于几何度量为长度、面积、体积时的等可能性，主要体现在点落在区域Ω上任一位置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在 的区域（事实也是角）任一位置是等可能的。因此，对于背景相似的问题，一定要认真推敲，注意区别。
例5：用橡皮泥做成一个直径为6cm的小球，假如橡皮泥中
混入一个很小的沙砾，求这个沙砾距球心不小于1cm的概率。
解法1：记“沙砾距球心不小于1cm”为事件A，球心为O，
沙砾位置为M，则事件A发生就是OM≥1成立。因为球的半径为3cm，而3-OM≤2，所以。
解法2：设“沙砾距球心不小于1cm”为事件A，球心为O，
沙砾位置为M，则事件A发生就是OM≥1成立。因为，，所以，故沙砾距离球心不小于1cm的概率为。
评析：本题的等可能性为：沙砾在球内的三维区域内任一位
置的可能性相等，而不是在某条半径上任一位（下转192页）（上接188页）置的可能性相等，故本题应用体积测度来解题。所以解法1错误，解法2正确。
明确问题中的等可能性是我们运用两种概型中的概率公式解题的基础与关键，平时学习要深刻理解有关公式的内涵与应用前提，而不要盲目到套用，这样才能让我们从似是而非的盲区中走出来，提高我们分析问题解决问题的能力。
参考文献
[1]朱成万.标准.教材.课堂：中学数学核心内容结构与建构[M].北京：中国经济出版社，2015.6.
[2]高慧明.高考数学命题规律与教学策略[M].福州：福建教育出版社，2016.3.