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摘 要：操作是数学学习中很重要的一种学习方式。新课程标准把基本活动经验纳入到课程培养目标之后，越来越多的教师更加关注学生学习的过程。而根据小学生的认知规律，学习过程当中的很多感悟多半都是在操作中产生的。那怎样设计与实施操作活动才能使课堂教学更有效呢？教师可以结合“倍的认识”教学，从操作方式、操作人选、操作形式和操作内容四个方面进行思考与探讨。
关键词：操作活动；有效性；设计
中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）28-0107-02
DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.28.067
《义务教育数学课程标准（2011版）》对学生的培养目标作了重要修改，在传统的“双基”基础上提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。小学生数学操作活动能力是形成基本活动经验的重要组成部分，操作活动是否有效也是帮助学生形成基本活动经验的关键。在操作活动充分被关注的今天，有更多的教师开展了对操作教学的研究。本人也进行了多次操作教学的尝试，但仍对如何提高學生操作的有效性存在困惑。前不久，我很有幸参与了对《倍的认识》一课的研究观摩课活动。本课中有关操作的教学环节，设计和实施颇具匠心，怎么样求得操作活动的有效性，教学中的几个有关操作活动的尝试值得大家去借鉴和探讨。
一、操作方式的选择
小学数学课堂中，操作的方式有很多，或摆、或拼、或剪，要根据不同的学习内容确定。即便是同一种操作方式，先做什么，再做什么，怎么做，其中也大有学问。虽然没有统一的模式、统一的要求，但随心所欲、信手拈来的做法一定是不可取的。经过精心设计，合乎逻辑联系的操作，才能使学生更容易地获得知识，才能真正发挥操作活动的最大效用。例如：为了让学生认识“倍”并加深对“倍”的认识，教师设计了一个连续的情境，在梨总数不变的前提下，不断改变苹果的数量，也就是作为标准的量。让学生在有趣的“变化”中不断认识“倍”，感受到比较倍数关系时标准的重要性。
【片段一】学“倍”
1.在黑板上贴出6个梨，2个苹果。
师：如果把2个苹果看作一份，那么6个梨子里面有这样的几份？怎样摆能让人一眼看出？（一个学生在黑板上摆，把6个梨子摆为每2个为一份。）
小结：苹果有2个，看作1份，梨子有这样的3份，在数学上我们可以说，梨的个数是苹果的3倍。（板书：梨的个数是苹果的3倍）
2.在黑板上增加1个苹果。（6个梨，3个苹果）
师：它们之间还有没有倍数关系？怎样摆，更容易看出倍数关系？请同学到黑板上边摆边讲。（学生把3个苹果摆为一份，把6个梨子摆为这样的两份。）
对比：刚才我们都是把苹果看作一份，梨子有这样的几份，就是几倍。
3.取走2个苹果。（6个梨，1个苹果）
师：现在还有没有倍数关系呢？怎么看出来？请同学上台摆。（学生把6个梨子一个一个拨开，分为6个1。）
4.增加5个苹果。（6个梨，6个苹果）
师：现在还有没有倍数关系呢？怎么看出来？请同学上台摆。（学生把6个苹果合为1份，把6个梨子合为1份。）
5.四次操作对比。
思考：刚才这组练习当中，谁的数量没有变过？（梨子都是6个）
追问：那为什么比较出来的倍数关系，梨的个数是苹果的3倍、2倍、6倍又或是1倍呢？
小结：1份苹果的数在变，所以它们的倍数关系也在变化。也就是标准很重要，在比较的时候，我们要看清楚1份是多少。（板书：标准“一份量”）
在这个过程中，学生共经历了4次操作，分别是6个梨子比2个苹果，6个梨子比3个苹果，6个梨子比1个苹果和6个梨子比6个苹果。这4次操作都采用了学生在黑板上进行“拨”的方式。随着苹果数量的不断变化，学生先是把6个梨子拨为每2个一份，再拨为每3个一份，然后再拨为1个为一份，最后又把6个梨子合为1份。通过这种直观的一组组分开，或者一个个合在一起的操作，学生不仅能清晰地看到两种量之间的倍数关系，而且对于“几个为一份”，也就是对“标准”的认识也越来越深入。此时的操作“拨”起到了无声胜有声的作用。
二、操作人选的安排
在组织学生操作的过程中，哪个环节安排学生全体操作，哪个环节安排部分操作，要充分考虑实际教学内容的需要，这样才能使操作活动更有效。例如：在片段一中，引導学生学“倍”的操作，就只是教师和部分同学的操作，其他更多的学生则是在观察和思考。这样做，使被关注的对象更集中，学生不仅可以借助个别同学的操作，建立直观的表象，深入理解“1份”与“几份”之间的关系。而且有比较充分的时间静心思考，从而提炼出自己的数学思考结果。
三、操作形式的设计
以往教师在执教本课时，师生都要准备比较多的学具，如：小棒、红花等。先不谈准备学具给教师或学生带来的负担，就从学生的年龄特点来看，三年级的学生年龄还比较小，操作能力有限，所以观课中会感觉他们整个操作过程都比较忙乱，经常是整理学具的时间多过了操作时间。
本节课，没有按照传统的形式让学生进行实物操作，而是在练习纸上出示了3种图形，让学生按照一定的要求进行涂色，以模拟操作的形式代替了繁忙的实物操作，大大提高了操作的效率。在学生充分认识“倍”之后，教师出示了这样一组练习：
【片段2】做“倍”
通过苹果和梨子个数的比较，知道了“倍”是什么意思后，接下来进行“涂一涂”的活动。
△△△△△△△△△△△△
□□□□□□□□□□□□
○○○○○○○○○○○○
要求：从中任选两种图形进行比较，要使其中一种图形的个数是另一种的2倍。 学生热情很高，按照先选定两种图形？邛选定标准？邛标准是几？邛另一个图形是几的思路完成这道练习。这道题给出了三种不同的图形，模拟的是三种不同的实物学具。学生思考后，只是进行涂色即可，改变了以往本课教学中学生操作忙、慢、乱的现象。此外，这种操作形式的背后也蕴含着更多的思维过程。学生要先从三种图形中选定两种图形，然后确定以哪种图形作为标准，再确定标准是几，最后才能涂色。操作中所蕴含的数学思考更有意义。此外，本环节的这种纸上操作的方式也为接下来学生学习用“圈一圈”的方法直观的表示出“几份数”埋下了伏笔。
四、操作内容的开放
新课标在课程实施建议部分指出：数学活动经验的積累是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。目前的数学课堂上，很多的操作活动看似热热闹闹，学生体验很充分，但实质上操作的内容只停留在表面，缺乏深层次探索。杨健辉教师认为，只有当在操作活动融入更多观察、比较、想象、探究等深层次的思维活动，操作才是有价值的。所以教师在学生进行操作时应该尽量走出形式化的误区，努力提升操作所蕴含的思维价值。
本课的片段二中，让学生从三种图形中任选两种图形进行比较，使其中一种图形的个数是另一种的2倍。这道题目也充分体现了操作内容的开放性。学生即可以任意选择其中两种图形进行比较，也可以自由选择到底以“几个为一份”作为“标准”。即便是两个学生选择的都是三角形和正方形，但由于他们选择的“标准”不同，所以最后涂色的数量也不一样。操作内容的开放，为学生的自主创造提供了空间，不但大大激发了学生的探究兴趣，满足他们的创造欲望。而且内容的开放，也使得学生接下来得出的素材丰富多样。有的学生是拿三角形和正方形比，有的是拿正方形和圆形比，有的是以3个为一份作为标准，有的以4个为一份作为标准等等。在多样化素材的对比中，学生就会发现其实不管图形如何变化，数量如何变化，但两种量之间的倍数关系却始终没有改变，异中求同，从而更深入地领会“倍”的本质，这是本次操作内容开放背后更有意义的精髓所在。不过，需要探讨的是，如果把原有的三种图形再增加一种，学生的选择就会更多一些，这样是不是会更有利于学生去发现，创造性也会更大一些？此外，在这组题目中，教师给定的图形数量只有12个，那就意味着学生可以选择的“1份数”的范围只能在6个或以下，是不是可以在每行图形后面加上省略号，使数量再开放一些，这样是不是给一部分学优生又提供了“跳一跳”的空间？
这个案例给我们带来了很多思考，操作不仅仅是只是表面的动动手，看似热闹，在关注操作的同时，更要关注操作背后的数学思考。如何辩证的理解操作，找到更有效的操作方式，是值得后续研究的问题。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 楊健辉，温伟明.降低复杂性，提升思考性——课堂操作活动研究一例[J].中小学数学（小学版），2008（Z1）：12-13.
关键词：操作活动；有效性；设计
中图分类号：G62 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）28-0107-02
DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2017.28.067
《义务教育数学课程标准（2011版）》对学生的培养目标作了重要修改，在传统的“双基”基础上提出了“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。小学生数学操作活动能力是形成基本活动经验的重要组成部分，操作活动是否有效也是帮助学生形成基本活动经验的关键。在操作活动充分被关注的今天，有更多的教师开展了对操作教学的研究。本人也进行了多次操作教学的尝试，但仍对如何提高學生操作的有效性存在困惑。前不久，我很有幸参与了对《倍的认识》一课的研究观摩课活动。本课中有关操作的教学环节，设计和实施颇具匠心，怎么样求得操作活动的有效性，教学中的几个有关操作活动的尝试值得大家去借鉴和探讨。
一、操作方式的选择
小学数学课堂中，操作的方式有很多，或摆、或拼、或剪，要根据不同的学习内容确定。即便是同一种操作方式，先做什么，再做什么，怎么做，其中也大有学问。虽然没有统一的模式、统一的要求，但随心所欲、信手拈来的做法一定是不可取的。经过精心设计，合乎逻辑联系的操作，才能使学生更容易地获得知识，才能真正发挥操作活动的最大效用。例如：为了让学生认识“倍”并加深对“倍”的认识，教师设计了一个连续的情境，在梨总数不变的前提下，不断改变苹果的数量，也就是作为标准的量。让学生在有趣的“变化”中不断认识“倍”，感受到比较倍数关系时标准的重要性。
【片段一】学“倍”
1.在黑板上贴出6个梨，2个苹果。
师：如果把2个苹果看作一份，那么6个梨子里面有这样的几份？怎样摆能让人一眼看出？（一个学生在黑板上摆，把6个梨子摆为每2个为一份。）
小结：苹果有2个，看作1份，梨子有这样的3份，在数学上我们可以说，梨的个数是苹果的3倍。（板书：梨的个数是苹果的3倍）
2.在黑板上增加1个苹果。（6个梨，3个苹果）
师：它们之间还有没有倍数关系？怎样摆，更容易看出倍数关系？请同学到黑板上边摆边讲。（学生把3个苹果摆为一份，把6个梨子摆为这样的两份。）
对比：刚才我们都是把苹果看作一份，梨子有这样的几份，就是几倍。
3.取走2个苹果。（6个梨，1个苹果）
师：现在还有没有倍数关系呢？怎么看出来？请同学上台摆。（学生把6个梨子一个一个拨开，分为6个1。）
4.增加5个苹果。（6个梨，6个苹果）
师：现在还有没有倍数关系呢？怎么看出来？请同学上台摆。（学生把6个苹果合为1份，把6个梨子合为1份。）
5.四次操作对比。
思考：刚才这组练习当中，谁的数量没有变过？（梨子都是6个）
追问：那为什么比较出来的倍数关系，梨的个数是苹果的3倍、2倍、6倍又或是1倍呢？
小结：1份苹果的数在变，所以它们的倍数关系也在变化。也就是标准很重要，在比较的时候，我们要看清楚1份是多少。（板书：标准“一份量”）
在这个过程中，学生共经历了4次操作，分别是6个梨子比2个苹果，6个梨子比3个苹果，6个梨子比1个苹果和6个梨子比6个苹果。这4次操作都采用了学生在黑板上进行“拨”的方式。随着苹果数量的不断变化，学生先是把6个梨子拨为每2个一份，再拨为每3个一份，然后再拨为1个为一份，最后又把6个梨子合为1份。通过这种直观的一组组分开，或者一个个合在一起的操作，学生不仅能清晰地看到两种量之间的倍数关系，而且对于“几个为一份”，也就是对“标准”的认识也越来越深入。此时的操作“拨”起到了无声胜有声的作用。
二、操作人选的安排
在组织学生操作的过程中，哪个环节安排学生全体操作，哪个环节安排部分操作，要充分考虑实际教学内容的需要，这样才能使操作活动更有效。例如：在片段一中，引導学生学“倍”的操作，就只是教师和部分同学的操作，其他更多的学生则是在观察和思考。这样做，使被关注的对象更集中，学生不仅可以借助个别同学的操作，建立直观的表象，深入理解“1份”与“几份”之间的关系。而且有比较充分的时间静心思考，从而提炼出自己的数学思考结果。
三、操作形式的设计
以往教师在执教本课时，师生都要准备比较多的学具，如：小棒、红花等。先不谈准备学具给教师或学生带来的负担，就从学生的年龄特点来看，三年级的学生年龄还比较小，操作能力有限，所以观课中会感觉他们整个操作过程都比较忙乱，经常是整理学具的时间多过了操作时间。
本节课，没有按照传统的形式让学生进行实物操作，而是在练习纸上出示了3种图形，让学生按照一定的要求进行涂色，以模拟操作的形式代替了繁忙的实物操作，大大提高了操作的效率。在学生充分认识“倍”之后，教师出示了这样一组练习：
【片段2】做“倍”
通过苹果和梨子个数的比较，知道了“倍”是什么意思后，接下来进行“涂一涂”的活动。
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○○○○○○○○○○○○
要求：从中任选两种图形进行比较，要使其中一种图形的个数是另一种的2倍。 学生热情很高，按照先选定两种图形？邛选定标准？邛标准是几？邛另一个图形是几的思路完成这道练习。这道题给出了三种不同的图形，模拟的是三种不同的实物学具。学生思考后，只是进行涂色即可，改变了以往本课教学中学生操作忙、慢、乱的现象。此外，这种操作形式的背后也蕴含着更多的思维过程。学生要先从三种图形中选定两种图形，然后确定以哪种图形作为标准，再确定标准是几，最后才能涂色。操作中所蕴含的数学思考更有意义。此外，本环节的这种纸上操作的方式也为接下来学生学习用“圈一圈”的方法直观的表示出“几份数”埋下了伏笔。
四、操作内容的开放
新课标在课程实施建议部分指出：数学活动经验的積累是提高学生数学素养的重要标志。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀。目前的数学课堂上，很多的操作活动看似热热闹闹，学生体验很充分，但实质上操作的内容只停留在表面，缺乏深层次探索。杨健辉教师认为，只有当在操作活动融入更多观察、比较、想象、探究等深层次的思维活动，操作才是有价值的。所以教师在学生进行操作时应该尽量走出形式化的误区，努力提升操作所蕴含的思维价值。
本课的片段二中，让学生从三种图形中任选两种图形进行比较，使其中一种图形的个数是另一种的2倍。这道题目也充分体现了操作内容的开放性。学生即可以任意选择其中两种图形进行比较，也可以自由选择到底以“几个为一份”作为“标准”。即便是两个学生选择的都是三角形和正方形，但由于他们选择的“标准”不同，所以最后涂色的数量也不一样。操作内容的开放，为学生的自主创造提供了空间，不但大大激发了学生的探究兴趣，满足他们的创造欲望。而且内容的开放，也使得学生接下来得出的素材丰富多样。有的学生是拿三角形和正方形比，有的是拿正方形和圆形比，有的是以3个为一份作为标准，有的以4个为一份作为标准等等。在多样化素材的对比中，学生就会发现其实不管图形如何变化，数量如何变化，但两种量之间的倍数关系却始终没有改变，异中求同，从而更深入地领会“倍”的本质，这是本次操作内容开放背后更有意义的精髓所在。不过，需要探讨的是，如果把原有的三种图形再增加一种，学生的选择就会更多一些，这样是不是会更有利于学生去发现，创造性也会更大一些？此外，在这组题目中，教师给定的图形数量只有12个，那就意味着学生可以选择的“1份数”的范围只能在6个或以下，是不是可以在每行图形后面加上省略号，使数量再开放一些，这样是不是给一部分学优生又提供了“跳一跳”的空间？
这个案例给我们带来了很多思考，操作不仅仅是只是表面的动动手，看似热闹，在关注操作的同时，更要关注操作背后的数学思考。如何辩证的理解操作，找到更有效的操作方式，是值得后续研究的问题。
参考文献：
[1] 中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 楊健辉，温伟明.降低复杂性，提升思考性——课堂操作活动研究一例[J].中小学数学（小学版），2008（Z1）：12-13.