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小学数学里所讲的平均数一般是指算术平均数。在统计中算术平均数常用于表示统计对象的一般水平,它是描述数据集中程度的一个统计量。对于三年级的学生而言,“平均数”虽然是一个新的概念,但在此之前学生已掌握了“把一个数平均分成几份,求每份是多少”的技能,具有了学习简单平均数计算的基础。
《平均数》作为各级各类教研活动中的常客,不少名师都曾演绎过这节课。因此正式设计前,我们就在思考:想要突破必须从新的角度入手。首先要抓住平均数的本质,其次可以从平均数诸多性质中进行选择性教学,让学生体验平均数的统计意义。那么我又该抓住平均数的哪些性质呢?经过多次试教与反思,最后确定除让学生深刻体验所有性质中最基础的虚拟性外,还应充分体验平均数的敏感性。正是平均数具有敏感性,所以出现极端数据时,用平均数来描述一组数据的集中趋势就不合理,这样为高年级引入新的集中量数(中位数、众数)来描述做伏笔。基于上述思考,本课在平均数统计意义的设计中,有意放大了敏感性的教学。下面就结合几个教学片段具体谈谈我们在磨课过程中的思考。
一、平均数教学的引入
三年级前的学生通常不会将一组数据看做一个整体来描述,当一组数据出现在眼前时,他会对一些个别的数据感兴趣,只知道一组数据能被组织与排序。排序后能发现这组数的一些规律。教学的关键是从对一组数的个别关注转移到对一组数的整体关注。其中较为典型的思路是:通过组织两组人数不等的比赛,在学生初步体会到“比个人或比总数”不公平的前提下,过渡到“通过求出平均每人的数量,再作比较”的思路上来。“平均数”由此自然生成。对于上述的设计有人提出了质疑:为什么“求出平均每人的数量”再比较就公平了?
通过学习与思考,我们有了自己的想法。平均数是用来描述“一组数据的集中趋势”的指标之一。所谓数据的“集中趋势”,就是数据“向某一中心值聚拢的倾向”,或者说是数据的“一般水平、代表值或典型值”。 一组数据少则几十,多则上千,甚至过万,由于我们的思维不能思考所有的数据,需要选取一个合适的代表值表达一组数据的特征。平均数便是统计中一个重要的集中量数,它具有一定的代表性。比如有人问你“班上同学的身高是多少”,你不可能把张三、李四、王五的身高一一报出——这样太过琐碎,不仅对你来说很麻烦,对于提问的人也没有意义。实际上,这时候你最好报出全班的平均身高,这也是提问人更想了解“一般值”,即通常情况、典型情况下的身高。
基于以上思考,新课引入时我们采用了直接从寻找数据代表的角度来引入平均数。
[实践]
师(创设情境):妈妈给小新100颗牛肉粒,并吩咐他每天不要吃太多。小新是根据每天做功课的表现来自我奖励的,第一天吃8颗,第二天吃4颗,第三天吃5颗……20天后便吃完了。你想小新会怎样向妈妈汇报吃牛肉粒的情况?
(师呈现下表)
生:平均每天吃5颗。
……
追问:“平均”是什么意思?平均每天吃5颗。你怎么想的? 那他是不是真的每天都吃5颗?
如果小新这样汇报:第一天吃8颗、第二天吃4颗、第三天吃7颗……这样一天一天地说下去,你感觉怎样?
小结:看来大家还是赞同用假设每天一样多的数据来表示20天吃牛肉粒的一般情况。
[感悟]在上课之初通过创设“怎样向妈妈汇报吃牛肉粒的情况”的情境,使学生初步体会到选取一个合适的代表值表达一组数据特征的必要性,同时沟通平均分与平均数之间的联系,使新课的学习切入学生的经验系统,激活了学生的思维,从而让学生以良好的状态进入后继学习。
真正磨课时,其实还遇到不少的障碍。比如100粒这个数据要不要隐藏起来?天数是不是可以再放大些?最后考虑到教学对象是三年级学生,没有具体的粒数就太抽象了,20天已经是除数是整十数的除法,再放大就完全超出学生的计算能力。当然如果可以的话,“天数”是成千上万更好,这样选取一个合适的代表值(平均数)表达一组数据的特征的需要就更迫切。
二、敏感性教学的设计
[实践一]
1.教学3天(7,3,5)吃牛肉粒的一般情况。
2.想一想他如果再吃一天后,4天的平均数还会是5粒吗?
3.同时呈现(7,3,5,1)、(7,3,5,5)、(7,3,5,9)及相应的平均数的直方图。请学生观察这3幅图,把自己的发现在小组里说一说。
4.全班交流。
小结:任何一个数据的改变,都会使平均数发生改变。
课后反思:在统计教学中随意改变数据的做法会给学生留下什么?学生能理解敏感性的原因吗?经过反复思考,想到利用 “篮球比赛换队员”的学习材料来解决上面的问题,同时通过追问让学生体验平均数敏感性的原因,深化学生对平均数内涵的理解与把握。
[实践二]
光明小学篮球队主力队员的身高情况:
请你估一估平均身高在哪两个数之间,平均身高怎么算?
教师再出示替补队员身高情况:
当一名替补队员顶替下场休息的4号队员时,场上的平均身高会变吗?
小结:平均数与这组数据中的每一个数都有关系,所以任何一个数据的改变都会引起平均数的改变。
当两个替补队员同时换两个主力队员时,场上的平均身高一定变吗?什么时候不变?
为什么改变一个数据,平均数一定改变;而改变两个数据平均数却可能不变呢?
小结:改变一个数据,这组数据的总数也就改变了,所以它们的平均数才发生了改变。而改变几个数据,这组数据的总数却可能没变,所以它们的平均数也可能不变。
[感悟]学习材料是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的基本载体,是学生感受数学与生活联系的重要资源。敏感性的教学实践使我们深深地体会到:学习材料的选择和使用必须把握数学本质、突出数学思考。
三、算法与意义的统一
传统的平均数教学与现在的平均数教学,最大的变化就是对算法的把握程度。传统的平均数教学,主要关注平均数这一算法的概念性和操作性理解,将课堂构筑在“总数÷份数=平均数”这一基础上;而现在的平均数教学,则淡化了对算法的练习,使学生重点理解平均数在统计学中的意义,也就是强化平均数是一组数据的代表以及平均数所具有的各种性质的感受、体验。鉴于这样的认识,产生了平均数算法教学的第一次实践。
[实践一]
1.新课教学部分不总结平均数的算法,只是提炼到“移多补少”“先合再分”。
2.后面的教学中有2次涉及到求平均数。
3.敏感性教学时,为了讲清楚原因,又提到总数、份数等术语。
课后反思:从学生的课后反映看,学生对平均数的基本算法掌握比较好,但是稍有变式,正确率就大幅下降。课后讨论时,大家对平均数算法教学的目标定位进行了探讨,都觉得问题出在过分淡化算法上。有听课教师提出是否可以寻找一条将平均数算法与意义教学相结合的路子。于是有了平均数算法教学的第二次实践。
[实践二]
1.新课教学部分总结平均数的算法。
2.在平均数“虚拟性”“敏感性”的教学中有2次涉及到求平均数。
3.下表是小明、小强、小新在投篮练习中的投中情况。
表格内容按投篮的轮次分批呈现。第一轮先呈现2与7,告诉学生这是最小数与最大数,请学生估一估平均数,再呈现3,请学生求平均个数;第二轮是先估一估小新的个数比平均数大还是小,再求小新的个数(反馈是引导学生用计算与移多补少来解决),最后追问两个6的意义;第三轮请学生讲出思考的过程,教师随机呈现5、5、5与0、0、15,再追问哪种情况用平均数5来表示显得不合理,哪些情况比较合理。
[感悟]这组练习主要是围绕平均数的算法练习为主线设计的,把算法变式练习与平均数的意义、性质等整合在一起。通过平均数算法练习,进一步加深了学生对平均数意义的理解;同时,也促使学生采用灵活的方法解决平均数问题,重视数量关系的教学,提高数学思维的含量,实现了意义与算法练习的和谐统一。同时通过对比5、5、5与0、0、15两组数据哪种用平均数5表示更合理,使学生初步体验到平均数的缺陷,即容易被极端值拉拢,从而失去其“一般性”“代表性”意义。
磨课暂时告一段落。在磨课的过程中,我们对平均数教学的某些方面形成了清晰的认识,同时新的困惑又开始干扰我们。如本课作为平均数教学的起始课,我们该如何规划本单元的后继学习?如何规划整个集中量数(包括平均数、众数、中位数)的教学?……本次的磨课只是一个开始,我们的思考还将继续延伸。
(浙江省湖州市南浔区洪塘小学 313000
浙江省湖州市南浔区研训中心313000)
《平均数》作为各级各类教研活动中的常客,不少名师都曾演绎过这节课。因此正式设计前,我们就在思考:想要突破必须从新的角度入手。首先要抓住平均数的本质,其次可以从平均数诸多性质中进行选择性教学,让学生体验平均数的统计意义。那么我又该抓住平均数的哪些性质呢?经过多次试教与反思,最后确定除让学生深刻体验所有性质中最基础的虚拟性外,还应充分体验平均数的敏感性。正是平均数具有敏感性,所以出现极端数据时,用平均数来描述一组数据的集中趋势就不合理,这样为高年级引入新的集中量数(中位数、众数)来描述做伏笔。基于上述思考,本课在平均数统计意义的设计中,有意放大了敏感性的教学。下面就结合几个教学片段具体谈谈我们在磨课过程中的思考。
一、平均数教学的引入
三年级前的学生通常不会将一组数据看做一个整体来描述,当一组数据出现在眼前时,他会对一些个别的数据感兴趣,只知道一组数据能被组织与排序。排序后能发现这组数的一些规律。教学的关键是从对一组数的个别关注转移到对一组数的整体关注。其中较为典型的思路是:通过组织两组人数不等的比赛,在学生初步体会到“比个人或比总数”不公平的前提下,过渡到“通过求出平均每人的数量,再作比较”的思路上来。“平均数”由此自然生成。对于上述的设计有人提出了质疑:为什么“求出平均每人的数量”再比较就公平了?
通过学习与思考,我们有了自己的想法。平均数是用来描述“一组数据的集中趋势”的指标之一。所谓数据的“集中趋势”,就是数据“向某一中心值聚拢的倾向”,或者说是数据的“一般水平、代表值或典型值”。 一组数据少则几十,多则上千,甚至过万,由于我们的思维不能思考所有的数据,需要选取一个合适的代表值表达一组数据的特征。平均数便是统计中一个重要的集中量数,它具有一定的代表性。比如有人问你“班上同学的身高是多少”,你不可能把张三、李四、王五的身高一一报出——这样太过琐碎,不仅对你来说很麻烦,对于提问的人也没有意义。实际上,这时候你最好报出全班的平均身高,这也是提问人更想了解“一般值”,即通常情况、典型情况下的身高。
基于以上思考,新课引入时我们采用了直接从寻找数据代表的角度来引入平均数。
[实践]
师(创设情境):妈妈给小新100颗牛肉粒,并吩咐他每天不要吃太多。小新是根据每天做功课的表现来自我奖励的,第一天吃8颗,第二天吃4颗,第三天吃5颗……20天后便吃完了。你想小新会怎样向妈妈汇报吃牛肉粒的情况?
(师呈现下表)
生:平均每天吃5颗。
……
追问:“平均”是什么意思?平均每天吃5颗。你怎么想的? 那他是不是真的每天都吃5颗?
如果小新这样汇报:第一天吃8颗、第二天吃4颗、第三天吃7颗……这样一天一天地说下去,你感觉怎样?
小结:看来大家还是赞同用假设每天一样多的数据来表示20天吃牛肉粒的一般情况。
[感悟]在上课之初通过创设“怎样向妈妈汇报吃牛肉粒的情况”的情境,使学生初步体会到选取一个合适的代表值表达一组数据特征的必要性,同时沟通平均分与平均数之间的联系,使新课的学习切入学生的经验系统,激活了学生的思维,从而让学生以良好的状态进入后继学习。
真正磨课时,其实还遇到不少的障碍。比如100粒这个数据要不要隐藏起来?天数是不是可以再放大些?最后考虑到教学对象是三年级学生,没有具体的粒数就太抽象了,20天已经是除数是整十数的除法,再放大就完全超出学生的计算能力。当然如果可以的话,“天数”是成千上万更好,这样选取一个合适的代表值(平均数)表达一组数据的特征的需要就更迫切。
二、敏感性教学的设计
[实践一]
1.教学3天(7,3,5)吃牛肉粒的一般情况。
2.想一想他如果再吃一天后,4天的平均数还会是5粒吗?
3.同时呈现(7,3,5,1)、(7,3,5,5)、(7,3,5,9)及相应的平均数的直方图。请学生观察这3幅图,把自己的发现在小组里说一说。
4.全班交流。
小结:任何一个数据的改变,都会使平均数发生改变。
课后反思:在统计教学中随意改变数据的做法会给学生留下什么?学生能理解敏感性的原因吗?经过反复思考,想到利用 “篮球比赛换队员”的学习材料来解决上面的问题,同时通过追问让学生体验平均数敏感性的原因,深化学生对平均数内涵的理解与把握。
[实践二]
光明小学篮球队主力队员的身高情况:
请你估一估平均身高在哪两个数之间,平均身高怎么算?
教师再出示替补队员身高情况:
当一名替补队员顶替下场休息的4号队员时,场上的平均身高会变吗?
小结:平均数与这组数据中的每一个数都有关系,所以任何一个数据的改变都会引起平均数的改变。
当两个替补队员同时换两个主力队员时,场上的平均身高一定变吗?什么时候不变?
为什么改变一个数据,平均数一定改变;而改变两个数据平均数却可能不变呢?
小结:改变一个数据,这组数据的总数也就改变了,所以它们的平均数才发生了改变。而改变几个数据,这组数据的总数却可能没变,所以它们的平均数也可能不变。
[感悟]学习材料是学生解决数学问题、获得数学知识、提高数学能力的基本载体,是学生感受数学与生活联系的重要资源。敏感性的教学实践使我们深深地体会到:学习材料的选择和使用必须把握数学本质、突出数学思考。
三、算法与意义的统一
传统的平均数教学与现在的平均数教学,最大的变化就是对算法的把握程度。传统的平均数教学,主要关注平均数这一算法的概念性和操作性理解,将课堂构筑在“总数÷份数=平均数”这一基础上;而现在的平均数教学,则淡化了对算法的练习,使学生重点理解平均数在统计学中的意义,也就是强化平均数是一组数据的代表以及平均数所具有的各种性质的感受、体验。鉴于这样的认识,产生了平均数算法教学的第一次实践。
[实践一]
1.新课教学部分不总结平均数的算法,只是提炼到“移多补少”“先合再分”。
2.后面的教学中有2次涉及到求平均数。
3.敏感性教学时,为了讲清楚原因,又提到总数、份数等术语。
课后反思:从学生的课后反映看,学生对平均数的基本算法掌握比较好,但是稍有变式,正确率就大幅下降。课后讨论时,大家对平均数算法教学的目标定位进行了探讨,都觉得问题出在过分淡化算法上。有听课教师提出是否可以寻找一条将平均数算法与意义教学相结合的路子。于是有了平均数算法教学的第二次实践。
[实践二]
1.新课教学部分总结平均数的算法。
2.在平均数“虚拟性”“敏感性”的教学中有2次涉及到求平均数。
3.下表是小明、小强、小新在投篮练习中的投中情况。
表格内容按投篮的轮次分批呈现。第一轮先呈现2与7,告诉学生这是最小数与最大数,请学生估一估平均数,再呈现3,请学生求平均个数;第二轮是先估一估小新的个数比平均数大还是小,再求小新的个数(反馈是引导学生用计算与移多补少来解决),最后追问两个6的意义;第三轮请学生讲出思考的过程,教师随机呈现5、5、5与0、0、15,再追问哪种情况用平均数5来表示显得不合理,哪些情况比较合理。
[感悟]这组练习主要是围绕平均数的算法练习为主线设计的,把算法变式练习与平均数的意义、性质等整合在一起。通过平均数算法练习,进一步加深了学生对平均数意义的理解;同时,也促使学生采用灵活的方法解决平均数问题,重视数量关系的教学,提高数学思维的含量,实现了意义与算法练习的和谐统一。同时通过对比5、5、5与0、0、15两组数据哪种用平均数5表示更合理,使学生初步体验到平均数的缺陷,即容易被极端值拉拢,从而失去其“一般性”“代表性”意义。
磨课暂时告一段落。在磨课的过程中,我们对平均数教学的某些方面形成了清晰的认识,同时新的困惑又开始干扰我们。如本课作为平均数教学的起始课,我们该如何规划本单元的后继学习?如何规划整个集中量数(包括平均数、众数、中位数)的教学?……本次的磨课只是一个开始,我们的思考还将继续延伸。
(浙江省湖州市南浔区洪塘小学 313000
浙江省湖州市南浔区研训中心313000)