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摘要：为了验证有限元法在弹塑性范围内对过盈联接进行应力分析所得结果比理论计算结果更准确，本文分别利用有限元法和理论算法对不同过盈量的过盈联接进行应力分析，其中理论算法经过推导可用于两种不同材料的过盈联接。通过比较二者的计算结果可以发现有限元法得到结果更符合实际情况。
Abstract： Certification of finite element method for the elasto-plastic stress analysis of press-fit connections gives more complete and accurate results than the analytical method. In this research， stress analyses of press-fit connections for different interference values were implemented by analytical method and finite element method. The analytical method was extended to valid for two different materials. It can be found that the finite element results were consistent with practical situation by comparing finite element results with analytical results.
关键词： 理论算法;过盈联接;有限元法
Key words： analytical method;press-fit assembly;finite element method
中圖分类号：[O242.21] 文献标识码：A 文章编号：1674-957X（2021）18-0089-03
0 引言
由于对性能要求的不断提高，机械零件的几何公差的选取向着逐渐减小的方向发展。为了避免过盈联接组件内部的过度挤压或配合零件间的自由移动，希望在零件之间有一个小且非零的过盈量。常温压装通常是这种过盈联接的更简单快速的组装方式。压装组件的接触表面承受接触压力和摩擦力，这是所有接触问题的共同特征。由于非线性条件的存在，即便是最简单形状的压装组件，解析解与实际情况之间也存在较大的偏差。随着高性能计算机和有限元等高效计算技术的出现，复杂几何形状的压装组件也可以得到精度适当的分析。
基于厚壁圆筒理论的压装分析通常是指具有相同轴对称形状的轴孔过盈联接。通常这种分析都是基于拉Lame方程[1，2]，对于假定的轴和孔都处于平面应力状态的厚壁圆筒。在轴与孔轴向长度相同的条件下，可以计算出整个接触面的理论接触应力;反之，如果轴的长度超过孔的，则在孔的边界区域存在应力集中，这种情况可通过仿真分析来评估。在弹性范围内，已知的平衡公式和协调公式可以确定接触面上的应力分布。耦合的完全应力状态由径向和切向两个主应力[3]表示，只有通过平衡条件才能确定。
到目前为止，许多研究人员对不同情况下的过盈联接压装进行了研究。F.Ozturk[4]研究了相同材料和不同材料的过盈配合，结果表明，不同过盈量或不同材料可以获得相同接触压力。但是该研究没有考虑塑性。T.N.Chakherlou和B.Abazadeh[5]研究了过盈配合螺栓2024-T3铝合金双剪切搭接接头中螺栓夹紧力的变化，并将有限元结果与实验结果进行了比较。结果表明，随着静载荷长度的增加，夹紧力的初始减小量增加。O.Eyercioglu等[6]通过理论算法、有限元法和实验法，分析了精密齿轮锻造模具的过盈配合设计方法。结果表明，该研究结果可以安全地用于精密齿轮锻模的过盈配合设计。M.A.Kutuk等[7]研究了过盈配合精密齿轮锻造模具的设计。在无齿区，理论算法与有限元分析结果吻合较好。有限元法预测的应力比解析法高得多。这些高应力是通过优化参数减小的，如模具和配件之间的过盈量减小。然而，对压装组件的弹塑性应力分析却很少。另外，关于压装组件直径/过盈量比分析的研究较少。
本文的目的是将解析计算推广到两种材料的过盈配合。一旦边界条件和过盈配合的径向过盈量已知，就可以通过对方程组的顺序求解来实现解析计算。通常接触对可以由两种不同的材料制成。在假定存在轴对称几何形状的情况下，推导出了整体解。此外，本文的另一个目的是为了证明有限元分析结果在弹塑性范围内是符合实际的。
1 过盈联接的理论算法
在工程实际中，空心圆柱通常分为薄壁和厚壁两种。如果圆柱体的厚度大于圆柱体内径的10%左右，则称其为厚壁圆筒。受内外压力作用的厚壁圆筒，如图1所示。其径向位移为u。假定圆筒的末端是敞开的、不受约束的。因此，该圆筒处于平面应力状态。
（7）
两种材料过盈联接理论算法的核心思想是内筒外径的径向收缩量与外筒内径的径向扩张量之和等于过盈量，具体计算公式如下： ZR=u1+u2（8）
式中的u1代表内筒外径收缩量，u2代表外筒内径扩张量。双厚壁圆筒过盈联接受力情况如图2所示。 把P1=0和P2=P代入方程（7），u1計算结果如下：
（12）
通过上式可方便地计算过盈配合面上的接触压力，但内筒并不总是中空的，在大多数情况下，内筒是实体的，此时，利用上述方程计算反而更加容易。
2 过盈联接的有限元分析
2.1 接触模型的建立
本文研究的过盈联接是承受内外压力的单层厚壁圆筒过盈联接。之所以选择此种过盈联接进行分析，是因为与其他形式的过盈联接相比，它的使用最广泛且具有一定的代表性。在对它进行有限元分析的基础上，比较两种不同材料的过盈联接的有限元分析结果和理论计算结果，以获得两种结果之间的偏差。最终目的是证明有限元法在过盈联接压装分析中比理论算法更真实、准确。
组件结构尺寸如图3所示。两零件的材料分别是中碳钢和Cr12MoV，它们的力学性能如表1所示。由于在接触边缘存在塑性变形区域，因此该接触模型是一个双线性等向强化的考虑塑性的有限元模型。模型中碳钢的切线模量是1407MPa，而Cr12MoV的切线模量是1308MPa。
2.2 分析设置
边界条件的设置和载荷的施加如图4所示。由于组件本身是轴对称的，因此取1/4模型进行有限元分析。图中的A和B代表在模型断面施加的对称约束，C代表在圆筒件台阶面施加的固定约束，D代表在轴的上表面施加的压装位移。（表2）
3 结果与讨论
通过理论算法对配合接触应力进行计算，具体计算结果如表3所示。
通过有限元法对配合接触应力进行计算，具体计算结果如表4所示。
通过将两种算法的结果进行比较不难发现：在弹性范围内，二者的计算结果基本一致，这个现象证明了有限元模型的正确性;在塑性范围内，二者的计算结果差别很大，理论算法结果仍然按线性规律变化，而有限元算法考虑到在塑性范围内，超过屈服极限的应力会以塑性变形的方式显现出来，因此接触应力不会再有太大变化，这就说明有限元法的计算结果比理论算法所得结果更符合实际情况。
参考文献：
[1]V. Kovan. Separation frequency analysis of interference-fitted hollow shaft hub connections by finite element method. Advances in Engineering Software. 2011， 42：644-648.
[2]K. Subramanian，E.P. Morse.Assembly Analysis of Interference Fits in Elastic Materials. International Federation for Information Processing. 2010， 315：41-49.
[3]D. Croccolo， N. Vincenzi. A generalized theory for shaft hub couplings. Mechanical Engineering Science.2009， 223：2231-2239.
[4]F. Ozturk. Finite-element modelling of two-disc shrink fit assembly and an evaluation of material pairs of discs. Mechanical Engineering Science. 2010， 225：263-273.
[5]T.N. Chakherlou， B. Abazadeh. Investigating clamping force variations in Al2024-T3 interference fitted bolted joints under static and cyclic loading. Materials and Design. 2012， 37：128-136.
[6]O. Eyercioglu， M.A. Kutuk， N.F. Yilmaz. Shrink fitt design for precision gear forging dies. Journal of Materials Processing Technology. 2009， 209：2186-2194.
[7]M.A. Kutuk， O. Eyercioglu， N. Yildirim and A. Akpolat. Finite element analysis of a cylindrical approach for Shrink-fit precision gear forging dies. Journal of Mechanical Engineering Science. 2003， 217：677-686.
Abstract： Certification of finite element method for the elasto-plastic stress analysis of press-fit connections gives more complete and accurate results than the analytical method. In this research， stress analyses of press-fit connections for different interference values were implemented by analytical method and finite element method. The analytical method was extended to valid for two different materials. It can be found that the finite element results were consistent with practical situation by comparing finite element results with analytical results.
关键词： 理论算法;过盈联接;有限元法
Key words： analytical method;press-fit assembly;finite element method
中圖分类号：[O242.21] 文献标识码：A 文章编号：1674-957X（2021）18-0089-03
0 引言
由于对性能要求的不断提高，机械零件的几何公差的选取向着逐渐减小的方向发展。为了避免过盈联接组件内部的过度挤压或配合零件间的自由移动，希望在零件之间有一个小且非零的过盈量。常温压装通常是这种过盈联接的更简单快速的组装方式。压装组件的接触表面承受接触压力和摩擦力，这是所有接触问题的共同特征。由于非线性条件的存在，即便是最简单形状的压装组件，解析解与实际情况之间也存在较大的偏差。随着高性能计算机和有限元等高效计算技术的出现，复杂几何形状的压装组件也可以得到精度适当的分析。
基于厚壁圆筒理论的压装分析通常是指具有相同轴对称形状的轴孔过盈联接。通常这种分析都是基于拉Lame方程[1，2]，对于假定的轴和孔都处于平面应力状态的厚壁圆筒。在轴与孔轴向长度相同的条件下，可以计算出整个接触面的理论接触应力;反之，如果轴的长度超过孔的，则在孔的边界区域存在应力集中，这种情况可通过仿真分析来评估。在弹性范围内，已知的平衡公式和协调公式可以确定接触面上的应力分布。耦合的完全应力状态由径向和切向两个主应力[3]表示，只有通过平衡条件才能确定。
到目前为止，许多研究人员对不同情况下的过盈联接压装进行了研究。F.Ozturk[4]研究了相同材料和不同材料的过盈配合，结果表明，不同过盈量或不同材料可以获得相同接触压力。但是该研究没有考虑塑性。T.N.Chakherlou和B.Abazadeh[5]研究了过盈配合螺栓2024-T3铝合金双剪切搭接接头中螺栓夹紧力的变化，并将有限元结果与实验结果进行了比较。结果表明，随着静载荷长度的增加，夹紧力的初始减小量增加。O.Eyercioglu等[6]通过理论算法、有限元法和实验法，分析了精密齿轮锻造模具的过盈配合设计方法。结果表明，该研究结果可以安全地用于精密齿轮锻模的过盈配合设计。M.A.Kutuk等[7]研究了过盈配合精密齿轮锻造模具的设计。在无齿区，理论算法与有限元分析结果吻合较好。有限元法预测的应力比解析法高得多。这些高应力是通过优化参数减小的，如模具和配件之间的过盈量减小。然而，对压装组件的弹塑性应力分析却很少。另外，关于压装组件直径/过盈量比分析的研究较少。
本文的目的是将解析计算推广到两种材料的过盈配合。一旦边界条件和过盈配合的径向过盈量已知，就可以通过对方程组的顺序求解来实现解析计算。通常接触对可以由两种不同的材料制成。在假定存在轴对称几何形状的情况下，推导出了整体解。此外，本文的另一个目的是为了证明有限元分析结果在弹塑性范围内是符合实际的。
1 过盈联接的理论算法
在工程实际中，空心圆柱通常分为薄壁和厚壁两种。如果圆柱体的厚度大于圆柱体内径的10%左右，则称其为厚壁圆筒。受内外压力作用的厚壁圆筒，如图1所示。其径向位移为u。假定圆筒的末端是敞开的、不受约束的。因此，该圆筒处于平面应力状态。
（7）
两种材料过盈联接理论算法的核心思想是内筒外径的径向收缩量与外筒内径的径向扩张量之和等于过盈量，具体计算公式如下： ZR=u1+u2（8）
式中的u1代表内筒外径收缩量，u2代表外筒内径扩张量。双厚壁圆筒过盈联接受力情况如图2所示。 把P1=0和P2=P代入方程（7），u1計算结果如下：
（12）
通过上式可方便地计算过盈配合面上的接触压力，但内筒并不总是中空的，在大多数情况下，内筒是实体的，此时，利用上述方程计算反而更加容易。
2 过盈联接的有限元分析
2.1 接触模型的建立
本文研究的过盈联接是承受内外压力的单层厚壁圆筒过盈联接。之所以选择此种过盈联接进行分析，是因为与其他形式的过盈联接相比，它的使用最广泛且具有一定的代表性。在对它进行有限元分析的基础上，比较两种不同材料的过盈联接的有限元分析结果和理论计算结果，以获得两种结果之间的偏差。最终目的是证明有限元法在过盈联接压装分析中比理论算法更真实、准确。
组件结构尺寸如图3所示。两零件的材料分别是中碳钢和Cr12MoV，它们的力学性能如表1所示。由于在接触边缘存在塑性变形区域，因此该接触模型是一个双线性等向强化的考虑塑性的有限元模型。模型中碳钢的切线模量是1407MPa，而Cr12MoV的切线模量是1308MPa。
2.2 分析设置
边界条件的设置和载荷的施加如图4所示。由于组件本身是轴对称的，因此取1/4模型进行有限元分析。图中的A和B代表在模型断面施加的对称约束，C代表在圆筒件台阶面施加的固定约束，D代表在轴的上表面施加的压装位移。（表2）
3 结果与讨论
通过理论算法对配合接触应力进行计算，具体计算结果如表3所示。
通过有限元法对配合接触应力进行计算，具体计算结果如表4所示。
通过将两种算法的结果进行比较不难发现：在弹性范围内，二者的计算结果基本一致，这个现象证明了有限元模型的正确性;在塑性范围内，二者的计算结果差别很大，理论算法结果仍然按线性规律变化，而有限元算法考虑到在塑性范围内，超过屈服极限的应力会以塑性变形的方式显现出来，因此接触应力不会再有太大变化，这就说明有限元法的计算结果比理论算法所得结果更符合实际情况。
参考文献：
[1]V. Kovan. Separation frequency analysis of interference-fitted hollow shaft hub connections by finite element method. Advances in Engineering Software. 2011， 42：644-648.
[2]K. Subramanian，E.P. Morse.Assembly Analysis of Interference Fits in Elastic Materials. International Federation for Information Processing. 2010， 315：41-49.
[3]D. Croccolo， N. Vincenzi. A generalized theory for shaft hub couplings. Mechanical Engineering Science.2009， 223：2231-2239.
[4]F. Ozturk. Finite-element modelling of two-disc shrink fit assembly and an evaluation of material pairs of discs. Mechanical Engineering Science. 2010， 225：263-273.
[5]T.N. Chakherlou， B. Abazadeh. Investigating clamping force variations in Al2024-T3 interference fitted bolted joints under static and cyclic loading. Materials and Design. 2012， 37：128-136.
[6]O. Eyercioglu， M.A. Kutuk， N.F. Yilmaz. Shrink fitt design for precision gear forging dies. Journal of Materials Processing Technology. 2009， 209：2186-2194.
[7]M.A. Kutuk， O. Eyercioglu， N. Yildirim and A. Akpolat. Finite element analysis of a cylindrical approach for Shrink-fit precision gear forging dies. Journal of Mechanical Engineering Science. 2003， 217：677-686.