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【摘要】从动点P趋近于定点P0的三种不同方式研究二元函数的二次极限、方向极限和二重极限问题，分析讨论了方向极限、二次极限和二重极限的存在性和关系，给出了用二次极限和方向极限研究计算二重极限的条件和方法。
【关键词】二次极限 方向极限 二重极限 聚点
【基金项目】第二炮兵工程大学科学基金青年项目（编号：EPQN2015002）资助
【中图分类号】O172.1 【文献标识码】B
二元函数微分学是多元函数微分学的核心，二元函数极限是二元函数微积分的基础和关键，二元函数由于动点P趋近于P0的方式任意性，其变化过程远比一元函数复杂，是二元函数微积分的重点和难点。“多重法”和“累次法”是研究多元函数的重要方法，如多元函数的重极限、连续、微分、极值和重积分常用“多重法”研究，而偏导数、方向导数、梯度、极值和重积分的计算基本采用“累次法”。本文拟用“多重法”和“多次法”研究二次极限、方向极限和二重极限的存在性，重点讨论这三种极限之间的关系，并给出典型问题的分析说明，最后指出用方向极限和二次极限研究二重极限的条件和方法。
一、二元函数的极限
根据动点P趋近于点P0方式的不同给出下列三种二元函数极限的定义。
定义1 设二元函数 的定义域为 ， 是 的聚点。如果对于每个固定的 ，极限 存在，并且极限
存在，那么称此极限为函数 在点 的先对 后对 的二次极限。
同理可定义先对 后对 的二次极限 。
定义2 设二元函数 在点 的某去心邻域 内有定义， （ ）为 内一点，若对于任意给定的 ，极限
存在，则称此极限为 在点 沿方向 的方向极限。
定义3 设二元函数 的定义域为D， 是D的聚点。如果存在常数 ，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点 时，都有
成立，那么就称常数 为函数 当 时的极限，记作
。
为了区别于一元函数的极限，我们把上述二元函数的极限叫做二重极限。
事实上，二次极限、方向极限和二重极限三者区别明显。二次极限本质上属于一元函数极限的范畴，是接连两次求一元函数的极限，也就是先把 中的 （或 ）看作不变，对 （或 ）求极限，再将所得的结果对 （或 ）求极限。方向极限是研究动点 沿射线 趋近于 过程中函数 的变化趋势。而二重极限 考察的是在 内，动点 以任意方式趋近于 过程中函数 的变化趋势。
那么，两个不同顺序的二次极限是否同时存在，若存在是否相等？二次极限、方向极限和二重极限三者之间是否存在某种关系呢？下面将对这些问题做一研究。
二、两个二次极限的关系
一般情况下，两个不同顺序的二次极限未必同时存在，即使同时存在也未必相等。下面举例说明。
（1）两个二次极限中一个存在一个不存在。例如函数 （ ），则有 ，但当 时， 不存在，即 在点 先对 后对 的二次极限不存在。
（2）两个二次极限都不存在。例如函数 （ ），因为当 时， 不存在。同理，当 时， 也不存在。所以 在点 的两个二次极限都不存在。
（3）两个二次极限都存在但不相等。例如函数 在点 的两个二次极限都存在但不相等，这是因为
，
。
因此，二元函数的两个二次极限之间并没有必然的联系，也就是说不能随便交换二次极限的顺序。
关于二次极限的顺序交换，有如下两个命题
命题1 若 在点 的某一邻域 内连续，则 在点 的两个二次极限一定存在且相等。
证明：若 在点 的某一邻域 内连续，则对于任意给定的 （使 ），有 。由二元函数的连续性，一元函数 关于 连续，于是
，
同理， 。
值得注意的是，若 仅仅在点 连续，则 在点 的两个二次极限未必都存在。例如函数
在 点连续。但当 为非零有理数时， 取有理数趋近于 时 的极限为 ， 取无理数趋近于 时 的极限为 ，此时 不存在。即 在点 的先对 后对 的二次极限不存在。同理， 在点 的先对 后对 的二次极限也不存在。
命题2 设 （ 中的开集），若
（1）对任意固定的 ， 存在；
（2） 关于 中的 一致地成立，
则 在点 的两个二次极限一定存在且相等。
三、二次极限与二重极限的关系
一般情况下，两个二次极限与二重极限之间没有必然的联系。下面举例说明。
（1）两个二次极限都存在且相等，而二重极限可能不存在。
例如函数 在点 的两个二次极限都为 ，这是因为
， ，
但 不存在。
（2）两个二次极限都不存在，而二重极限可能存在。
例如函数 （ ）在点 的两个二次极限都不存在，但由无穷小和有界函数乘积仍为无穷小性质得，
。
即 存在。
（3）两个二次极限中一个存在一个不存在，而二重极限可能存在。
例如函数 在点 先对 后对 的二次极限等于 ，而先对 后对 的二次极限不存在，但 ，。
也就是说，当二重极限与某一个二次极限都存在时，另一个二次极限未必存在。
特别地，当二重极限存在时，关于二次极限的存在性有下面定理。
定理1 若二元函数 在 点存在二重极限 ，且当 时存在极限 ，那么 在 点先对 后对 的二次极限存在且与二重极限相等，即
。
由定理1可得下面两个推论。
推论1 若二重极限与某一个二次极限都存在，则二者必相等。 推论2 若两个二次极限和二重极限都存在，则三者必相等。
推论2说明当两个二次极限和二重极限都存在时，则可以交换二次极限的顺序。
事实上，当二元函数极限难以计算或存在性难以证明时，可以借助于二次极限来讨论。由推论2可得
推论3 两个二次极限都存在但不相等，则二重极限必不存在。
推论3给出了一种判断二重极限不存在的方法。例如函数 在点 的两个二次极限都存在但不相等，因此 在点 的二重极限不存在。
四、方向极限与二重极限和二次极限的关系
（1） 在点 沿任一方向的方向极限都存在且相等是二重极限存在的必要非充分条件。例如函数 在点 沿任一方向的方向极限都为 ，这是因为当 时，
；
当 时，
。
但 在点 的二重极限不存在，因为当点 沿抛物线 趋近于点 时，有
。
因此， 在点 沿任一方向的方向极限都存在且相等并不能保证二重极限存在。事实上，若 在点 沿某一方向的方向极限不存在或沿两个不同方向的方向极
限都存在但不相等，则 在点 的二重极限不存在。
（2） 在点 沿任一方向的方向极限都存在且相等不能保证两个二次极限都存在。例如函数 在点 处沿任一方向的方向极限都存在且为 ，但 在点 先对 后对 的二次极限等于 ，而先对 后对 的二次极限不存在。
（3） 在点 的两个二次极限都存在且相等不能保证沿任一方向的方向极限都存在。例如函数 在点 的两个二次极限都存在且为 ，且沿方向 、 、 和 的方向极限都为 ，但沿其他任一方向的方向极限都不存在，这是因为
不存在。
二元函数极限是二元函数性态研究的基础，二重极限和二次极限、方向极限的关系复杂。当二重极限和两个二次极限都存在时，可用二次极限和方向极限计算二重极限；同时，也可以根据两个二次极限的不同和方向极限的不存在或两个特殊方向极限的不同判断二重极限的不存在。
参考文献
[1] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册·2版）[M].北京：高等教育出版社，2004：123.
[2] 同济大学数学系.高等数学（下册·6版）[M].北京：高等教育出版社，2007： 58.
[3] 陈汝栋.数学分析中的问题、方法与实践[M].北京：国防工业出版社，2012：64.
[4] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册·2版.）[M].北京：高等教育出版社，2004：124.
第一作者简介：
姓名：张 辉
性别：男
学历：硕士
研究方向：教育教学理论研究、差分方程概周期性
籍贯：河南新乡
出生年月：1982.07
职称：讲师
第二作者简介：
姓名：李应岐
职务：教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会委员
性别：男
学历：博士
导师：硕士生导师
研究方向：数字图像处理与智能计算
籍贯：陕西蓝田
出生年月：1965.02
职称：教授
【关键词】二次极限 方向极限 二重极限 聚点
【基金项目】第二炮兵工程大学科学基金青年项目（编号：EPQN2015002）资助
【中图分类号】O172.1 【文献标识码】B
二元函数微分学是多元函数微分学的核心，二元函数极限是二元函数微积分的基础和关键，二元函数由于动点P趋近于P0的方式任意性，其变化过程远比一元函数复杂，是二元函数微积分的重点和难点。“多重法”和“累次法”是研究多元函数的重要方法，如多元函数的重极限、连续、微分、极值和重积分常用“多重法”研究，而偏导数、方向导数、梯度、极值和重积分的计算基本采用“累次法”。本文拟用“多重法”和“多次法”研究二次极限、方向极限和二重极限的存在性，重点讨论这三种极限之间的关系，并给出典型问题的分析说明，最后指出用方向极限和二次极限研究二重极限的条件和方法。
一、二元函数的极限
根据动点P趋近于点P0方式的不同给出下列三种二元函数极限的定义。
定义1 设二元函数 的定义域为 ， 是 的聚点。如果对于每个固定的 ，极限 存在，并且极限
存在，那么称此极限为函数 在点 的先对 后对 的二次极限。
同理可定义先对 后对 的二次极限 。
定义2 设二元函数 在点 的某去心邻域 内有定义， （ ）为 内一点，若对于任意给定的 ，极限
存在，则称此极限为 在点 沿方向 的方向极限。
定义3 设二元函数 的定义域为D， 是D的聚点。如果存在常数 ，对于任意给定的正数 ，总存在正数 ，使得当点 时，都有
成立，那么就称常数 为函数 当 时的极限，记作
。
为了区别于一元函数的极限，我们把上述二元函数的极限叫做二重极限。
事实上，二次极限、方向极限和二重极限三者区别明显。二次极限本质上属于一元函数极限的范畴，是接连两次求一元函数的极限，也就是先把 中的 （或 ）看作不变，对 （或 ）求极限，再将所得的结果对 （或 ）求极限。方向极限是研究动点 沿射线 趋近于 过程中函数 的变化趋势。而二重极限 考察的是在 内，动点 以任意方式趋近于 过程中函数 的变化趋势。
那么，两个不同顺序的二次极限是否同时存在，若存在是否相等？二次极限、方向极限和二重极限三者之间是否存在某种关系呢？下面将对这些问题做一研究。
二、两个二次极限的关系
一般情况下，两个不同顺序的二次极限未必同时存在，即使同时存在也未必相等。下面举例说明。
（1）两个二次极限中一个存在一个不存在。例如函数 （ ），则有 ，但当 时， 不存在，即 在点 先对 后对 的二次极限不存在。
（2）两个二次极限都不存在。例如函数 （ ），因为当 时， 不存在。同理，当 时， 也不存在。所以 在点 的两个二次极限都不存在。
（3）两个二次极限都存在但不相等。例如函数 在点 的两个二次极限都存在但不相等，这是因为
，
。
因此，二元函数的两个二次极限之间并没有必然的联系，也就是说不能随便交换二次极限的顺序。
关于二次极限的顺序交换，有如下两个命题
命题1 若 在点 的某一邻域 内连续，则 在点 的两个二次极限一定存在且相等。
证明：若 在点 的某一邻域 内连续，则对于任意给定的 （使 ），有 。由二元函数的连续性，一元函数 关于 连续，于是
，
同理， 。
值得注意的是，若 仅仅在点 连续，则 在点 的两个二次极限未必都存在。例如函数
在 点连续。但当 为非零有理数时， 取有理数趋近于 时 的极限为 ， 取无理数趋近于 时 的极限为 ，此时 不存在。即 在点 的先对 后对 的二次极限不存在。同理， 在点 的先对 后对 的二次极限也不存在。
命题2 设 （ 中的开集），若
（1）对任意固定的 ， 存在；
（2） 关于 中的 一致地成立，
则 在点 的两个二次极限一定存在且相等。
三、二次极限与二重极限的关系
一般情况下，两个二次极限与二重极限之间没有必然的联系。下面举例说明。
（1）两个二次极限都存在且相等，而二重极限可能不存在。
例如函数 在点 的两个二次极限都为 ，这是因为
， ，
但 不存在。
（2）两个二次极限都不存在，而二重极限可能存在。
例如函数 （ ）在点 的两个二次极限都不存在，但由无穷小和有界函数乘积仍为无穷小性质得，
。
即 存在。
（3）两个二次极限中一个存在一个不存在，而二重极限可能存在。
例如函数 在点 先对 后对 的二次极限等于 ，而先对 后对 的二次极限不存在，但 ，。
也就是说，当二重极限与某一个二次极限都存在时，另一个二次极限未必存在。
特别地，当二重极限存在时，关于二次极限的存在性有下面定理。
定理1 若二元函数 在 点存在二重极限 ，且当 时存在极限 ，那么 在 点先对 后对 的二次极限存在且与二重极限相等，即
。
由定理1可得下面两个推论。
推论1 若二重极限与某一个二次极限都存在，则二者必相等。 推论2 若两个二次极限和二重极限都存在，则三者必相等。
推论2说明当两个二次极限和二重极限都存在时，则可以交换二次极限的顺序。
事实上，当二元函数极限难以计算或存在性难以证明时，可以借助于二次极限来讨论。由推论2可得
推论3 两个二次极限都存在但不相等，则二重极限必不存在。
推论3给出了一种判断二重极限不存在的方法。例如函数 在点 的两个二次极限都存在但不相等，因此 在点 的二重极限不存在。
四、方向极限与二重极限和二次极限的关系
（1） 在点 沿任一方向的方向极限都存在且相等是二重极限存在的必要非充分条件。例如函数 在点 沿任一方向的方向极限都为 ，这是因为当 时，
；
当 时，
。
但 在点 的二重极限不存在，因为当点 沿抛物线 趋近于点 时，有
。
因此， 在点 沿任一方向的方向极限都存在且相等并不能保证二重极限存在。事实上，若 在点 沿某一方向的方向极限不存在或沿两个不同方向的方向极
限都存在但不相等，则 在点 的二重极限不存在。
（2） 在点 沿任一方向的方向极限都存在且相等不能保证两个二次极限都存在。例如函数 在点 处沿任一方向的方向极限都存在且为 ，但 在点 先对 后对 的二次极限等于 ，而先对 后对 的二次极限不存在。
（3） 在点 的两个二次极限都存在且相等不能保证沿任一方向的方向极限都存在。例如函数 在点 的两个二次极限都存在且为 ，且沿方向 、 、 和 的方向极限都为 ，但沿其他任一方向的方向极限都不存在，这是因为
不存在。
二元函数极限是二元函数性态研究的基础，二重极限和二次极限、方向极限的关系复杂。当二重极限和两个二次极限都存在时，可用二次极限和方向极限计算二重极限；同时，也可以根据两个二次极限的不同和方向极限的不存在或两个特殊方向极限的不同判断二重极限的不存在。
参考文献
[1] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册·2版）[M].北京：高等教育出版社，2004：123.
[2] 同济大学数学系.高等数学（下册·6版）[M].北京：高等教育出版社，2007： 58.
[3] 陈汝栋.数学分析中的问题、方法与实践[M].北京：国防工业出版社，2012：64.
[4] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析（下册·2版.）[M].北京：高等教育出版社，2004：124.
第一作者简介：
姓名：张 辉
性别：男
学历：硕士
研究方向：教育教学理论研究、差分方程概周期性
籍贯：河南新乡
出生年月：1982.07
职称：讲师
第二作者简介：
姓名：李应岐
职务：教育部高等学校大学数学课程教学指导委员会委员
性别：男
学历：博士
导师：硕士生导师
研究方向：数字图像处理与智能计算
籍贯：陕西蓝田
出生年月：1965.02
职称：教授