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我国大数学家华罗庚先生曾说：“数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非。”此言一针见血地点出了“数形结合”的重要性，也简明而深刻地阐释了“数”与“形”的内在关系。作为高中数学中最基本的数学思想之一，数形结合在很多高考真题中有着重要应用。本文拟先对高中阶段数学结合思想作简要概述，而后结合2018贵州省考卷（即2018全国卷3）中的典型题例探讨数学结合思想的具体应用，希望对相关教学工作者有所启示。
一、 高中数学数形结合思想简述
所谓数形结合，概括来说即为按照数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来顺利解决问题，其作用和优势主要是在于通过“以形助数，以数解形”简化较为复杂的思维量和运算量较大的问题，从而大大提高解题效率和正确率。通常来说，在高中数学解题中涉及数形结合的情形主要包括：包含实数与数轴上的点的对应关系；包含函数与图像的对应关系；包含曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显意义。在日常教学中，教师要注重培养学生灵活应用数形结合思想的能力，在解题过程中做到“胸中有图，见数想图”，最终顺利而高效地得到正确答案。以下我们结合高考题例对此进行较为具体的探讨。
二、例谈数形结合思想高考真题解题中的应用
例1：函数f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零点个数为（ ）。
该题为2018理科全国卷3中的第15题，难度不大，但较具典型性，主要考察三角函数图像性质与函数零点问题的结合。在不同的解法中，除了数形结合思想外，也体现了方程思想、换元转化思想、方程思想。我们先来看该题的三种基本解法：
解法一：取点作图，画出函数f（x）=cos（3x+π/6）的图像然后观察和分析[0，π]的零点个数，该解法突出体现数形结合思想，也是最容易想到的方法。根据下图可以很容易得出[0，π]的零点个数为3个。
解法二：先换元，设3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通过y=cost的图像易知，当t=π/2，3π/2，5π/2时，cost=0，即f（x）有三个零点。该解法通过换元转化的方式利用了基本三角函数y=cost的图像，思路上有一定的技巧性，运算量与解法一中的取点作图相比大致相当。
解法三：根据题意，可由cos（3x+π/6）=0得到3x+π/6=π/2+kπ（k∈Z）。故x=π/9+kπ/3（k∈Z），当k=0时，x=π/9；当k=1时，x=4π/9；当k=2时，x=7π/9，均满足题意，故函数f（x）在[0，π]上的有三个零点。该解法运用了方程思想，直接求出函数在定义域内的零点，而后在[0，π]上确定零点的个数。
纵观上述三种解法，解法一和解法二均是以数形结合思想为基础，解法三更侧重于方程思想和数据运算，但從根本上仍不脱数形结合之藩篱，这是题目本身的特征决定的。综合来说，三种解法都属于较有代表性的解法，在讲解该题时，教师要注重剖析数形结合思想在解题中所起的关键性作用，并强调相关的易错点，即取点作图技能掌握不到位，不能正确画出函数的图像；对基本余弦函数的图像及性质掌握不熟悉。不知道如何确定其零点。
此外，要注意函数零点问题的总结。函数零点是沟通函数、方程、图像的常见媒介，以其交汇点的问题往往需要合理地应用数形结合思想才能顺利解答，再有就是正余弦函数及y=Asin（ωx+ψ）+k的图像及性质，要求学生熟练掌握，这是在相关题目中运用数形结合思想的基础条件。
题例2：设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|.
（1）画出y=f（x）的图像；
（2）当x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。
该题是选考题中的第二道题即23题，实际上难度较小属于中档题，该题第二问的解答是基于第一问中画出的图像，较为突出体现了数形结合思想的运用。值得一提的是，第一问运用了基本的分类讨论思想（对定义域进行分类讨论），其设计实际上降低了该题的综合难度，因为该问构成解答第二问的基础，相当于一个明确的指引。这也启示我们，在解答类似题目时，即使题目的设问没有明确的指引，亦应当首先根据题意深入分析，若有需要即画出函数的图像，事实上，这也是运用数形结合的必要和常用手段之一。该题的具体解答过程如下：
解答：（1）f（x）=|2x+1|+|x-1|可变形为：f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1）。其图像如右图所示。
（2）根据第一问可知，y=f（x）的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各段图像所在直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值为5。
三、结语
本文首先简要介绍了高中数学数形结合思想，而后结合高考典型题例探讨了其具体应用。鉴于数形结合思想在高中数学解题中的重要应用，教师应给予其足够重视，并在日常教学中有意识地培养学生灵活运用该思想解题的能力，在使学生切实掌握其内涵和运用方式的基础上多引入一些较为典型的高考真题，使学生在有效的练习过程中获得感悟，实现质的升华。当然，数形结合思想在高考真题解题教学中的研究与实践是一个兼具深度和广度的课题，需要一线教师在教学实践中不断积极探索和总结，本文抛砖引玉，尚盼方家指教。
注：本文为安顺市教育科学规划一般课题“农村高中校本课程的开发与实践研究——以安顺市西秀区高级中学‘高中数形结合’为例”（课题编号：AS2017B017）成果。
（责编 孟 飞）
一、 高中数学数形结合思想简述
所谓数形结合，概括来说即为按照数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来顺利解决问题，其作用和优势主要是在于通过“以形助数，以数解形”简化较为复杂的思维量和运算量较大的问题，从而大大提高解题效率和正确率。通常来说，在高中数学解题中涉及数形结合的情形主要包括：包含实数与数轴上的点的对应关系；包含函数与图像的对应关系；包含曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显意义。在日常教学中，教师要注重培养学生灵活应用数形结合思想的能力，在解题过程中做到“胸中有图，见数想图”，最终顺利而高效地得到正确答案。以下我们结合高考题例对此进行较为具体的探讨。
二、例谈数形结合思想高考真题解题中的应用
例1：函数f（x）=cos（3x+π/6）在[0，π]的零点个数为（ ）。
该题为2018理科全国卷3中的第15题，难度不大，但较具典型性，主要考察三角函数图像性质与函数零点问题的结合。在不同的解法中，除了数形结合思想外，也体现了方程思想、换元转化思想、方程思想。我们先来看该题的三种基本解法：
解法一：取点作图，画出函数f（x）=cos（3x+π/6）的图像然后观察和分析[0，π]的零点个数，该解法突出体现数形结合思想，也是最容易想到的方法。根据下图可以很容易得出[0，π]的零点个数为3个。
解法二：先换元，设3x+π/6=t，由x∈[0，π]得到t∈[π/6，3π+π/6]，然后通过y=cost的图像易知，当t=π/2，3π/2，5π/2时，cost=0，即f（x）有三个零点。该解法通过换元转化的方式利用了基本三角函数y=cost的图像，思路上有一定的技巧性，运算量与解法一中的取点作图相比大致相当。
解法三：根据题意，可由cos（3x+π/6）=0得到3x+π/6=π/2+kπ（k∈Z）。故x=π/9+kπ/3（k∈Z），当k=0时，x=π/9；当k=1时，x=4π/9；当k=2时，x=7π/9，均满足题意，故函数f（x）在[0，π]上的有三个零点。该解法运用了方程思想，直接求出函数在定义域内的零点，而后在[0，π]上确定零点的个数。
纵观上述三种解法，解法一和解法二均是以数形结合思想为基础，解法三更侧重于方程思想和数据运算，但從根本上仍不脱数形结合之藩篱，这是题目本身的特征决定的。综合来说，三种解法都属于较有代表性的解法，在讲解该题时，教师要注重剖析数形结合思想在解题中所起的关键性作用，并强调相关的易错点，即取点作图技能掌握不到位，不能正确画出函数的图像；对基本余弦函数的图像及性质掌握不熟悉。不知道如何确定其零点。
此外，要注意函数零点问题的总结。函数零点是沟通函数、方程、图像的常见媒介，以其交汇点的问题往往需要合理地应用数形结合思想才能顺利解答，再有就是正余弦函数及y=Asin（ωx+ψ）+k的图像及性质，要求学生熟练掌握，这是在相关题目中运用数形结合思想的基础条件。
题例2：设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|.
（1）画出y=f（x）的图像；
（2）当x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。
该题是选考题中的第二道题即23题，实际上难度较小属于中档题，该题第二问的解答是基于第一问中画出的图像，较为突出体现了数形结合思想的运用。值得一提的是，第一问运用了基本的分类讨论思想（对定义域进行分类讨论），其设计实际上降低了该题的综合难度，因为该问构成解答第二问的基础，相当于一个明确的指引。这也启示我们，在解答类似题目时，即使题目的设问没有明确的指引，亦应当首先根据题意深入分析，若有需要即画出函数的图像，事实上，这也是运用数形结合的必要和常用手段之一。该题的具体解答过程如下：
解答：（1）f（x）=|2x+1|+|x-1|可变形为：f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1）。其图像如右图所示。
（2）根据第一问可知，y=f（x）的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各段图像所在直线的斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值为5。
三、结语
本文首先简要介绍了高中数学数形结合思想，而后结合高考典型题例探讨了其具体应用。鉴于数形结合思想在高中数学解题中的重要应用，教师应给予其足够重视，并在日常教学中有意识地培养学生灵活运用该思想解题的能力，在使学生切实掌握其内涵和运用方式的基础上多引入一些较为典型的高考真题，使学生在有效的练习过程中获得感悟，实现质的升华。当然，数形结合思想在高考真题解题教学中的研究与实践是一个兼具深度和广度的课题，需要一线教师在教学实践中不断积极探索和总结，本文抛砖引玉，尚盼方家指教。
注：本文为安顺市教育科学规划一般课题“农村高中校本课程的开发与实践研究——以安顺市西秀区高级中学‘高中数形结合’为例”（课题编号：AS2017B017）成果。
（责编 孟 飞）