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【摘要】本文借助生活中几个常见的实例,利用概率思想,帮助大家还原事件的本来面目,跳出感性的思维,回归理性的分析.
【关键词】概率;赌博
概率学知识不仅在赌博中有广泛的应用,而且与我们的日常生活也存在紧密的联系.可以说,概率学是数学学科中与我们的生活联系最为紧密的领域.掌握概率学的基本知识有助于我们透过现象看清事物的本质.例如,以前你觉得纯属偶然的事件,利用概率学理论也许是必然的,以前你一直确定无疑的事件,也许只是一种错觉.
一、跳舞求雨
据说非洲有个部落,部落的人只要不停地跳求雨的舞蹈,肯定会下雨.现实中,真有这样的事情吗?
答案是:当然会下雨.因为那个部落的人会轮流跳舞,一直不停歇,一直跳到下雨为止.实际上,下雨并不是跳求雨舞的结果,只是那个部落的人会一直跳舞到下雨为止,让人感觉好像是求雨舞蹈起了作用而已.
该实例告诉我们要想成功,坚持不懈的努力非常重要,即使失败也不放弃,坚持到最后就能取得成功.
其实从概率的角度能证明此观点.比如,成功的概率仅为50%,只要我们尝试5次,5次全都失败的概率为0.55=0.03125，则至少有一次成功的概率为1-0.03125=0.9675，也就是说成功概率只有50%的事情,尝试5次后成功的概率就高达96.75%.
同理,如果成功的概率只有30%,只需尝试4次,就可以把成功的概率提高到76%,尝试5次,这个概率将为83%.
当成功的概率只有1%时,只要你愿意,尝试450次后,也有99%的可能取得最后的成功.
即使成功的概率只有0.5%,如能尝试2000次,也可以使成功的概率达到99.9956%.
有一句名言是这样说的:“要在这个世界上获得成功,就必须坚持到底,剑至死都不能离手.”其实任何人成功之前,都会遇到许多的失意,甚至难以计数的失败.自古以来,那些所谓的英雄,并不比普通人更有运气,只是比普通人更有锲而不舍,坚持到底的勇气罢了.
二、剪刀、石头、布
猜拳是小朋友在游戏活动中最常用的一种方法,它能快速实现成员分组,成员先后顺序,甚至确定优胜者.此处我们先以两人为例,讨论一下在剪刀、石头、布的猜拳中,有没有必胜的方法.
1.规定初始拳都是石头
如果大家的初始拳都是石头,胜负的关键是随后的出拳.心理学家研究发现,在剪刀、石头、布的猜拳中,大多数人都不会连续出同一种拳.即对方下一拳可能是剪刀或布,那我们就出剪刀.此时,若对方出布,我们就赢了.若对方出剪刀,出现平局；接下来,对方可能出石头或布,那我们就出布.若对方出石头,我们就赢了,若对方出布,出现平局；再继续……也就是说出拳的顺序应该是石头、剪刀、布、石头、剪刀、布……即下次出的拳应该是上次输给对手的拳.
2.不规定初始拳
如果不规定初始拳,又该如何?因为在剪刀、石头、布三种手势中,剪刀的手势是最难的.据统计,在不规定初始拳的情况下,先出石头或布的人要多于出剪刀的人.因此,在这种情况下,我们的第一拳应该出布.对方出石头,我们获胜,对方出布,则是平局；接下来可以采用前面的策略.也就是说出拳的顺序是布、石头、剪刀、布、石头、剪刀……
3.出现平局
按照上面的分析,不难发现每一个回合都可能出现平局,那会一直平局下去吗?多久才能决出胜负呢?
两人猜拳,每人有三种选择,每回合有3×3=9（种）可能.其中平局有3种,占13,决出胜负的概率为23.即第一回合出胜负的概率为23.
如果第一回合打成平局,第二回合分出胜负的概率为13×23=29.
如果前两回合都打成平局,第三回合决出胜负的概率为13×13×23=227.
根据以上结果,在三个回合内决出胜负的概率为23+29+227=2627=96%.
也就是说,两个人玩石头、剪刀、布猜拳的时候,在三个回合内决出胜负的概率高达96%.也就是说,很少会一直出现平局.
4.三人轮流猜拳
甲、乙、丙三人按下面规则轮流猜拳.第一局由甲乙猜拳,第二局由第一局优胜者与丙猜拳,第三局由第二局优胜者与另一个人猜拳,如此反复,直到有人连续两次获胜.这种方法公平吗?
其实,三个人按照上述规则轮流猜拳时,第一轮猜拳甲、乙两人获胜的概率要稍稍高于丙.具体计算方法如下:
设Ai表示“第i局甲胜”,i=1,2,3…A表示甲最终获胜;
Bi表示“第i局乙胜”，i=1,2,3…B表示乙最终获胜;
Ci表示“第i局丙胜”,i=1,2,3…C表示丙最终获胜.
则最终结果可以用以下形式表示：
A1A2，A1C2C3，A1C2B3B4，A1C2B3A4A5，A1C2B3A4C5C6…
B1B2，B1C2C3，B1C2A3A4，B1C2A3B4B5，B1C2A3B4C5C6…
则P（C）=P（A1C2C3）+P（B1C2C3）+P（A1C2B3A4C5C6）+P（B1C2A3B4C5C6）+…
=2×123+2×126+2×129+…
=2×1231-123=27.
由于甲、乙所处地位对称,所以
P(A)=P(B)=12(1-P(C))=121-27=514.
所以甲、乙、丙成功胜出的概率分别为514,514,414.由此可见,这样的比赛规则对第一局的两人比较有利.
其实这种比赛规则,在日本的相扑比赛中也有应用.显然,如果3个人实力相当,前两个人获胜的概率要高于第三个人.
三、赌博中的概率
17世纪,法国有一位好赌的贵族名叫梅尔.有一次,他和宫廷侍卫在掷骰子赌博时发生分歧,于是便向好友——数学家帕斯卡请教.帕斯卡通过书信与数学家费马、惠更斯进行深入而持久地讨论,最终导致了概率论这一学科的诞生.毫不夸张地说,概率论来源于赌博,此后概率学知识在赌博中得到了广泛的应用.
1.有问题的硬币
硬币因其简单方便在大大小小的赌博中被广泛应用.假如你不信任对方,怀疑硬币被他做过手脚,担心结果对你不利,可又无法拒绝这场赌博,此时该如何是好呢?
在这种情况下,其实不必着急,即使硬币做过手脚,也一样可以进行公平赌博,换一个规则就行了.只要连续抛2次硬币,赌结果就好了.例如,连续抛2次硬币,如果先出正面后出反面,算你胜;如果先出反面后出正面,则算对方胜;如果2次都是正面或反面,则算平局.
按照这样的规则赌博,即使硬币有问题,也不会影响赌博的公正性.假设硬币出现正面的概率为0.8,出现反面的概率为0.2.
连续抛2次,先出正面后出反面的概率为0.8×0.2=0.16，先出反面后出正面的概率为0.2×0.8=0.16.
显然,这两种情况出现的概率是相等的,也就是说,这个比赛规则能保证比赛的公平性.
2.赌金的分配
下面我们来看一下贵族梅尔向帕斯卡请教的问题:梅尔和赌友掷一枚骰子,各押32枚金币,梅尔如果先掷3次6点或赌友先掷3次4点,就赢了对方,当梅尔已掷了2次6点,而对方掷了1次4点时,赌博不得不终止,问如何分配64枚金币才合理?
如果赌博继续进行下去,分出胜负的所有可能性只有3种,包括梅尔赢一局,梅尔先输一局,再赢一局,梅尔连输两局,其中梅尔赢一局的概率为12,先输一局,再赢一局的概率为12×12=14,连输两局的概率也是12×12=14.所以梅尔最终赢的概率为34,其对手赢的概率为14.因此梅尔应分得64枚金币的四分之三,也就是48枚金币,其对手获得剩下的16枚金币.
【参考文献】
［1］谢兴武,李宏伟.概率统计释难解疑.北京：科学出版社,2007.
［2］野口哲典.每天懂一点成功概率学.西安：陕西师范大学出版社，2009.
（上接116页）
总判别式Δ=Δ22-4Δ1.
①Δ>0（或Δ1=0），方程有一个实数根:
当Δ1>0时,x=-b+b2-3acz+1z3a,
z=3Δ2±Δ22-4Δ12Δ1(取正负号均可).
当Δ1=0时，x=-b+3b3-27a2d3a.
当Δ1<0时，x=-b3a-Δ23a(z+z-1+1),
z=3Δ+Δ2Δ22-4Δ1-2Δ1-1.
注：这里三次根号表示在复数范围内求立方根，这样方程的实根和虚根可以统一进一个公式.当Δ1=0时，Δ无意义.
②Δ=0，方程有两个实数根(其中有一个重根):
x1=-b3a+Δ23a,x2,3=-b3a-Δ26a.
③Δ<0，方程有三个实数根：
x=-b+2b2-3accosargz+2kπ33a，(k=0,1,2)，
其中argz=arctan-ΔΔ2,当Δ2>0时,
π+arctan-ΔΔ2,当Δ2<0时.
特别地，当b2-3ac=bc-9ad=0时，方程有三重实数根x1=x2=x3=-b3a.
2.根的判别式
总判别式Δ=Δ22-4Δ1.
Δ>0，方程有一個实数根;
Δ=0，方程有两个不等实数根（有一个二重根）；
Δ<0，方程有三个不等实数根.
【关键词】概率;赌博
概率学知识不仅在赌博中有广泛的应用,而且与我们的日常生活也存在紧密的联系.可以说,概率学是数学学科中与我们的生活联系最为紧密的领域.掌握概率学的基本知识有助于我们透过现象看清事物的本质.例如,以前你觉得纯属偶然的事件,利用概率学理论也许是必然的,以前你一直确定无疑的事件,也许只是一种错觉.
一、跳舞求雨
据说非洲有个部落,部落的人只要不停地跳求雨的舞蹈,肯定会下雨.现实中,真有这样的事情吗?
答案是:当然会下雨.因为那个部落的人会轮流跳舞,一直不停歇,一直跳到下雨为止.实际上,下雨并不是跳求雨舞的结果,只是那个部落的人会一直跳舞到下雨为止,让人感觉好像是求雨舞蹈起了作用而已.
该实例告诉我们要想成功,坚持不懈的努力非常重要,即使失败也不放弃,坚持到最后就能取得成功.
其实从概率的角度能证明此观点.比如,成功的概率仅为50%,只要我们尝试5次,5次全都失败的概率为0.55=0.03125，则至少有一次成功的概率为1-0.03125=0.9675，也就是说成功概率只有50%的事情,尝试5次后成功的概率就高达96.75%.
同理,如果成功的概率只有30%,只需尝试4次,就可以把成功的概率提高到76%,尝试5次,这个概率将为83%.
当成功的概率只有1%时,只要你愿意,尝试450次后,也有99%的可能取得最后的成功.
即使成功的概率只有0.5%,如能尝试2000次,也可以使成功的概率达到99.9956%.
有一句名言是这样说的:“要在这个世界上获得成功,就必须坚持到底,剑至死都不能离手.”其实任何人成功之前,都会遇到许多的失意,甚至难以计数的失败.自古以来,那些所谓的英雄,并不比普通人更有运气,只是比普通人更有锲而不舍,坚持到底的勇气罢了.
二、剪刀、石头、布
猜拳是小朋友在游戏活动中最常用的一种方法,它能快速实现成员分组,成员先后顺序,甚至确定优胜者.此处我们先以两人为例,讨论一下在剪刀、石头、布的猜拳中,有没有必胜的方法.
1.规定初始拳都是石头
如果大家的初始拳都是石头,胜负的关键是随后的出拳.心理学家研究发现,在剪刀、石头、布的猜拳中,大多数人都不会连续出同一种拳.即对方下一拳可能是剪刀或布,那我们就出剪刀.此时,若对方出布,我们就赢了.若对方出剪刀,出现平局；接下来,对方可能出石头或布,那我们就出布.若对方出石头,我们就赢了,若对方出布,出现平局；再继续……也就是说出拳的顺序应该是石头、剪刀、布、石头、剪刀、布……即下次出的拳应该是上次输给对手的拳.
2.不规定初始拳
如果不规定初始拳,又该如何?因为在剪刀、石头、布三种手势中,剪刀的手势是最难的.据统计,在不规定初始拳的情况下,先出石头或布的人要多于出剪刀的人.因此,在这种情况下,我们的第一拳应该出布.对方出石头,我们获胜,对方出布,则是平局；接下来可以采用前面的策略.也就是说出拳的顺序是布、石头、剪刀、布、石头、剪刀……
3.出现平局
按照上面的分析,不难发现每一个回合都可能出现平局,那会一直平局下去吗?多久才能决出胜负呢?
两人猜拳,每人有三种选择,每回合有3×3=9（种）可能.其中平局有3种,占13,决出胜负的概率为23.即第一回合出胜负的概率为23.
如果第一回合打成平局,第二回合分出胜负的概率为13×23=29.
如果前两回合都打成平局,第三回合决出胜负的概率为13×13×23=227.
根据以上结果,在三个回合内决出胜负的概率为23+29+227=2627=96%.
也就是说,两个人玩石头、剪刀、布猜拳的时候,在三个回合内决出胜负的概率高达96%.也就是说,很少会一直出现平局.
4.三人轮流猜拳
甲、乙、丙三人按下面规则轮流猜拳.第一局由甲乙猜拳,第二局由第一局优胜者与丙猜拳,第三局由第二局优胜者与另一个人猜拳,如此反复,直到有人连续两次获胜.这种方法公平吗?
其实,三个人按照上述规则轮流猜拳时,第一轮猜拳甲、乙两人获胜的概率要稍稍高于丙.具体计算方法如下:
设Ai表示“第i局甲胜”,i=1,2,3…A表示甲最终获胜;
Bi表示“第i局乙胜”，i=1,2,3…B表示乙最终获胜;
Ci表示“第i局丙胜”,i=1,2,3…C表示丙最终获胜.
则最终结果可以用以下形式表示：
A1A2，A1C2C3，A1C2B3B4，A1C2B3A4A5，A1C2B3A4C5C6…
B1B2，B1C2C3，B1C2A3A4，B1C2A3B4B5，B1C2A3B4C5C6…
则P（C）=P（A1C2C3）+P（B1C2C3）+P（A1C2B3A4C5C6）+P（B1C2A3B4C5C6）+…
=2×123+2×126+2×129+…
=2×1231-123=27.
由于甲、乙所处地位对称,所以
P(A)=P(B)=12(1-P(C))=121-27=514.
所以甲、乙、丙成功胜出的概率分别为514,514,414.由此可见,这样的比赛规则对第一局的两人比较有利.
其实这种比赛规则,在日本的相扑比赛中也有应用.显然,如果3个人实力相当,前两个人获胜的概率要高于第三个人.
三、赌博中的概率
17世纪,法国有一位好赌的贵族名叫梅尔.有一次,他和宫廷侍卫在掷骰子赌博时发生分歧,于是便向好友——数学家帕斯卡请教.帕斯卡通过书信与数学家费马、惠更斯进行深入而持久地讨论,最终导致了概率论这一学科的诞生.毫不夸张地说,概率论来源于赌博,此后概率学知识在赌博中得到了广泛的应用.
1.有问题的硬币
硬币因其简单方便在大大小小的赌博中被广泛应用.假如你不信任对方,怀疑硬币被他做过手脚,担心结果对你不利,可又无法拒绝这场赌博,此时该如何是好呢?
在这种情况下,其实不必着急,即使硬币做过手脚,也一样可以进行公平赌博,换一个规则就行了.只要连续抛2次硬币,赌结果就好了.例如,连续抛2次硬币,如果先出正面后出反面,算你胜;如果先出反面后出正面,则算对方胜;如果2次都是正面或反面,则算平局.
按照这样的规则赌博,即使硬币有问题,也不会影响赌博的公正性.假设硬币出现正面的概率为0.8,出现反面的概率为0.2.
连续抛2次,先出正面后出反面的概率为0.8×0.2=0.16，先出反面后出正面的概率为0.2×0.8=0.16.
显然,这两种情况出现的概率是相等的,也就是说,这个比赛规则能保证比赛的公平性.
2.赌金的分配
下面我们来看一下贵族梅尔向帕斯卡请教的问题:梅尔和赌友掷一枚骰子,各押32枚金币,梅尔如果先掷3次6点或赌友先掷3次4点,就赢了对方,当梅尔已掷了2次6点,而对方掷了1次4点时,赌博不得不终止,问如何分配64枚金币才合理?
如果赌博继续进行下去,分出胜负的所有可能性只有3种,包括梅尔赢一局,梅尔先输一局,再赢一局,梅尔连输两局,其中梅尔赢一局的概率为12,先输一局,再赢一局的概率为12×12=14,连输两局的概率也是12×12=14.所以梅尔最终赢的概率为34,其对手赢的概率为14.因此梅尔应分得64枚金币的四分之三,也就是48枚金币,其对手获得剩下的16枚金币.
【参考文献】
［1］谢兴武,李宏伟.概率统计释难解疑.北京：科学出版社,2007.
［2］野口哲典.每天懂一点成功概率学.西安：陕西师范大学出版社，2009.
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总判别式Δ=Δ22-4Δ1.
①Δ>0（或Δ1=0），方程有一个实数根:
当Δ1>0时,x=-b+b2-3acz+1z3a,
z=3Δ2±Δ22-4Δ12Δ1(取正负号均可).
当Δ1=0时，x=-b+3b3-27a2d3a.
当Δ1<0时，x=-b3a-Δ23a(z+z-1+1),
z=3Δ+Δ2Δ22-4Δ1-2Δ1-1.
注：这里三次根号表示在复数范围内求立方根，这样方程的实根和虚根可以统一进一个公式.当Δ1=0时，Δ无意义.
②Δ=0，方程有两个实数根(其中有一个重根):
x1=-b3a+Δ23a,x2,3=-b3a-Δ26a.
③Δ<0，方程有三个实数根：
x=-b+2b2-3accosargz+2kπ33a，(k=0,1,2)，
其中argz=arctan-ΔΔ2,当Δ2>0时,
π+arctan-ΔΔ2,当Δ2<0时.
特别地，当b2-3ac=bc-9ad=0时，方程有三重实数根x1=x2=x3=-b3a.
2.根的判别式
总判别式Δ=Δ22-4Δ1.
Δ>0，方程有一個实数根;
Δ=0，方程有两个不等实数根（有一个二重根）；
Δ<0，方程有三个不等实数根.