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摘 要:类比推理题,其特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性,猜测它们之间可能具有其他一些相同或相似的属性的思维方法. 这类试题是以类比思维为轴心,与数学方法、数学思想和数学基础知识相结合,着重考查学生的探究能力、创造能力、推理能力,对考生的能力和素质的要求比较高.
关键词:类比推理;降维;结构;简化
从近几年的高考试题来看,借助类比推理来进行探究、求解的试题越来越多,但是考生对这类试题的解答情况并不理想,得分率偏低,一方面是这类试题有一定的难度,另一方面,学生对如何进行类比,常见的类比有哪些并不清楚. 新课标教材在选修1-2、2-2中分别设置了《推理与证明》这个章节,其中用较大的篇幅阐述了类比推理及其应用,但是,许多一线教师对类比的教学往往是一笔带过,或就题论题,忽视了类比推理的过程性教学. 笔者认为,本节教学中,应充分利用教材对知识点进行类比处理的素材,引导学生寻找一个合适的类比对象,明确进行类比的方向和目标,认识一些基本的类比方法,对学生进行类比思维的熏陶和培养,设置类比性习题,加强类比训练,促进学生类比思维的形成和发展.
按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型.
1. 降维类比
将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.
平面上的一个三角形可与空间中的一个四面体类比.如:Rt△ABC中斜边上的高为h,则+=(a,b为两直角边的长),而在四面体S-ABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,SA=a,SB=b,SC=c,顶点S到底面ABC的距离为h,则有++=. 直角三角形与直角“三棱锥”类比、直角边与侧棱类比、斜边与底面类比、斜边上的高与顶点到底面距离类比,于是,结论就可以类比.
例1(2003全国)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.” 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则.”
分析 关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:
由此,可类比猜测本题的答案为
S+S+S=S(证明略).
评注 本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广,因此平时的教学与复习中不仅要注意类比等思想方法的学习,更要注意研究性学习在数学中的适时切入.
2. 结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.
例2(2000上海)在等差数列{an｝中,若a10=0,则有等式a1+a2+•••+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地,在等比数列{bn｝中,若b9=1,则有等式成立.
分析 本题考查等差数列与等比数列的类比,一种较本质的认识是:
等差数列?邛用减法定义?邛性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);
等比数列?邛用除法定义?邛性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am•an=ap•aq).
由此,猜测本题的答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).
事实上,对等差数列{an｝,如果ak=0,则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0.?摇所以a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1,n∈N+). 从而对等比数列{bn｝,如果bk=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1,n∈N+)成立.
评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题,主要考查观察分析能力,抽象概括能力,还考查运用类比的思想方法由等差数列{an｝而得到等比数列{bn｝的新的、一般性的结论.
例3(2008江苏)在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上(异于端点),设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,一同学已正确算得OE的方程为-x+-y=0,请你求OF的方程:?摇?摇?摇?摇?摇.
分析先作出图形,比较发现:“BP交AC于点E”与“CP交AB于点F ”两者类似,只要把前者的B,C两点位置进行交换,就得到后者. 于是求OF的方程时,只要把OE方程中涉及B,C两点坐标的信息进行交换即可,所以答案为-x+-y=0.
3. 简化类比
简化类比,就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题,通过类比命题解决思路和方法的启发,寻求原命题的解决思路与方法. 如可将多元问题类比为少元问题,高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等.
例4(2008海南与宁夏理)某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为()
A. 2 B. 2
C. 4 D. 2
本题以三视图为载体,考查考生对空间基本几何图形(平面图形或立体图形)的熟悉程度,考查空间想象能力. 解答本题,必须想象出图形,借助图形思考. 为了思考直观、简捷,我们需要对图形进行适当的构造,不妨构造一个长方体,其一条对角线长为,其三个相邻面的对角线长分别为,a和b. 本题在如何构造图形上是开放的,因此,构造的图形是否突出问题的本质,达到直观、简捷,体现了空间想象能力的差异.
例5(2006江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放在棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有()
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 无穷多个
图1
分析本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个.
点评本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型,并不是以计算为主.
波利亚曾说:“如果没有相似推理,那么无论是在初等数学还是在高等数学中,甚至在其他任何领域中,本来可以发现的东西,也可能无从发现.”因此,作为基础教育之一的中学数学,在教学中必须重视培养学生的类比推理和归纳推理的能力. 为此,特提出以下教学建议:
(1)根据教材特点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过类比与归纳得出新的知识,逐步学会类比推理的方法.
(2)在进行知识复习时,经常对相关知识进行类比,培养学生对相关知识进行类比的习惯.
(3)在解题教学中,通过类比,引导学生推广数学命题,或通过类比,探求解题途径,深化对知识的理解,对数学思想方法的掌握.
(4)通过类比,拓展学生的数学能力,提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,提高学生的实践能力和创新精神.
开普勒对类比也情有独钟:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师… …”正因为如此,以上这些有趣而富有启迪的类比题越来越多地受到了命题专家的关注,逐渐成为高考命题的新视角.
关键词:类比推理;降维;结构;简化
从近几年的高考试题来看,借助类比推理来进行探究、求解的试题越来越多,但是考生对这类试题的解答情况并不理想,得分率偏低,一方面是这类试题有一定的难度,另一方面,学生对如何进行类比,常见的类比有哪些并不清楚. 新课标教材在选修1-2、2-2中分别设置了《推理与证明》这个章节,其中用较大的篇幅阐述了类比推理及其应用,但是,许多一线教师对类比的教学往往是一笔带过,或就题论题,忽视了类比推理的过程性教学. 笔者认为,本节教学中,应充分利用教材对知识点进行类比处理的素材,引导学生寻找一个合适的类比对象,明确进行类比的方向和目标,认识一些基本的类比方法,对学生进行类比思维的熏陶和培养,设置类比性习题,加强类比训练,促进学生类比思维的形成和发展.
按寻找类比对象的角度不同,类比法常分为以下三个类型.
1. 降维类比
将三维空间的对象降到二维(或一维)空间中的对象,此种类比方法即为降维类比.
平面上的一个三角形可与空间中的一个四面体类比.如:Rt△ABC中斜边上的高为h,则+=(a,b为两直角边的长),而在四面体S-ABC中,SA,SB,SC两两互相垂直,SA=a,SB=b,SC=c,顶点S到底面ABC的距离为h,则有++=. 直角三角形与直角“三棱锥”类比、直角边与侧棱类比、斜边与底面类比、斜边上的高与顶点到底面距离类比,于是,结论就可以类比.
例1(2003全国)在平面几何中,有勾股定理:“设△ABC的两边AB,AC互相垂直,则AB2+AC2=BC2.” 拓展到空间,类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC,ACD,ADB两两相互垂直,则.”
分析 关于空间问题与平面问题的类比,通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比:
由此,可类比猜测本题的答案为
S+S+S=S(证明略).
评注 本题考查由平面几何的勾股定理到空间的拓展推广,因此平时的教学与复习中不仅要注意类比等思想方法的学习,更要注意研究性学习在数学中的适时切入.
2. 结构类比
某些待解决的问题没有现成的类比物,但可通过观察,凭借结构上的相似性等寻找类比问题,然后通过适当的代换,将原问题转化为类比问题来解决.
例2(2000上海)在等差数列{an｝中,若a10=0,则有等式a1+a2+•••+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N+)成立,类比上述性质,相应地,在等比数列{bn｝中,若b9=1,则有等式成立.
分析 本题考查等差数列与等比数列的类比,一种较本质的认识是:
等差数列?邛用减法定义?邛性质用加法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq);
等比数列?邛用除法定义?邛性质用乘法表述(若m,n,p,q∈N+,且m+n=p+q,则am•an=ap•aq).
由此,猜测本题的答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N+).
事实上,对等差数列{an｝,如果ak=0,则an+1+a2k-1-n=an+2+a2k-2-n=…=ak+ak=0.?摇所以a1+a2+…+an=a1+a2+…+an+(an+1+an+2+…+a2k-2-n+a2k-1-n)(n<2k-1,n∈N+). 从而对等比数列{bn｝,如果bk=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b2k-1-n(n<2k-1,n∈N+)成立.
评注 本题是一道小巧而富于思考的妙题,主要考查观察分析能力,抽象概括能力,还考查运用类比的思想方法由等差数列{an｝而得到等比数列{bn｝的新的、一般性的结论.
例3(2008江苏)在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上(异于端点),设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,一同学已正确算得OE的方程为-x+-y=0,请你求OF的方程:?摇?摇?摇?摇?摇.
分析先作出图形,比较发现:“BP交AC于点E”与“CP交AB于点F ”两者类似,只要把前者的B,C两点位置进行交换,就得到后者. 于是求OF的方程时,只要把OE方程中涉及B,C两点坐标的信息进行交换即可,所以答案为-x+-y=0.
3. 简化类比
简化类比,就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题,通过类比命题解决思路和方法的启发,寻求原命题的解决思路与方法. 如可将多元问题类比为少元问题,高次问题类比到低次问题,普遍问题类比为特殊问题等.
例4(2008海南与宁夏理)某几何体的一条棱长为,在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为()
A. 2 B. 2
C. 4 D. 2
本题以三视图为载体,考查考生对空间基本几何图形(平面图形或立体图形)的熟悉程度,考查空间想象能力. 解答本题,必须想象出图形,借助图形思考. 为了思考直观、简捷,我们需要对图形进行适当的构造,不妨构造一个长方体,其一条对角线长为,其三个相邻面的对角线长分别为,a和b. 本题在如何构造图形上是开放的,因此,构造的图形是否突出问题的本质,达到直观、简捷,体现了空间想象能力的差异.
例5(2006江苏)两相同的正四棱锥组成如图1所示的几何体,可放在棱长为1的正方体内,使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行,且各顶点均在正方体的面上,则这样的几何体体积的可能值有()
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 无穷多个
图1
分析本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形,显然有无穷多个.
点评本题主要考查学生能否迅速构造出一些常见的几何模型,并不是以计算为主.
波利亚曾说:“如果没有相似推理,那么无论是在初等数学还是在高等数学中,甚至在其他任何领域中,本来可以发现的东西,也可能无从发现.”因此,作为基础教育之一的中学数学,在教学中必须重视培养学生的类比推理和归纳推理的能力. 为此,特提出以下教学建议:
(1)根据教材特点,在传授新知识时,有意识地引导学生,通过类比与归纳得出新的知识,逐步学会类比推理的方法.
(2)在进行知识复习时,经常对相关知识进行类比,培养学生对相关知识进行类比的习惯.
(3)在解题教学中,通过类比,引导学生推广数学命题,或通过类比,探求解题途径,深化对知识的理解,对数学思想方法的掌握.
(4)通过类比,拓展学生的数学能力,提高学生发现问题、分析问题和解决问题的能力,提高学生的实践能力和创新精神.
开普勒对类比也情有独钟:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师… …”正因为如此,以上这些有趣而富有启迪的类比题越来越多地受到了命题专家的关注,逐渐成为高考命题的新视角.