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分类是解题中常见的数学思想,要求熟练掌握.然而我们分类时往往会因忽视某种情形而失误,或因运算而错误.对可分可不分类的数学问题能否回避分类,避免这些失误?这里,向同学们介绍几招.
招术一:巧用函数的性质
例1 若(x+1)-15<(3-2x)-15,求x的取值范围.
简析:利用函数y=x-15是奇函数,且在区间(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,
根据x+1与3-2x是否在同一单调区间需分三类:
(Ⅰ) 3-2x 解析:(x+1)-15<(3-2x)-15(1x+1)15<(13-2x)151x+1<13-2x.
解得x<-1或23 评注:函数f(x)=x15在R上单调递增.
例2 已知函数y=f(x)为R上的偶函数,且在\简析:根据1+2x与1-x是否在同一单调区间需分三类:
(Ⅰ)1+2x>1-x≥0;(Ⅱ)1+2x<1-x≤0;
(Ⅲ)1+2x>-(1-x)≥0或1+2x<-(1-x)≤0.(解略)
解析:由已知,得f(1+2x)>f(1-x)|1+2x|>|1-x|(1+2x)2>(1-x)2.
解得x>0或x<-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
评注:函数y=f(x)是R上的偶函数,图象关于y轴对称,
若f(x)在\招术二:巧设术
例3 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上, 且BC∥x轴,求证: A,O,C三点共线.
简析:在设直线AB方程时,需考虑直线的斜率是否存在,这里易忽视对特殊情形(斜率不存在)的讨论.
解析:设经过点F的直线AB的方程为x=my+p2,代入抛物线y2=2px,得
y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.
∵BC∥x轴, 点C在抛物线的准线x=-p2上,
∴C(-p2,y2),而kOA=y1x1,kOC=y2-p2,∵x1=y122p,
∴kOA=y1x1=2Py1=2p-p2y2=-y2p2=kOC
∴A、O、C三点共线.
评注:若直线斜率存在,则设y=kx+b;若直线有可能斜率不存在,或斜率存在但不为0,则设x=my+a(a为直线在x轴上的截距).
例4 有一对称轴是坐标轴的椭圆,它与直线x+y=1的交点为A,B两点, 又AB=22,AB 中点与椭圆中心连线的斜率为22,求椭圆方程.
简析:椭圆的标准方程可分为:
(Ⅰ)x2a2+y2b2=1(a>b>0);
(Ⅱ)y2a2+x2b2=1(a>b>0).(解略).
解析:设椭圆mx2+ny2=1,(m>0,n>0,m≠n),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x+y=1mx2+ny2=1 得(m+n)x2-2nx+n-1=0
∴x1+x2=2nm+n,x1x2=n-1m+n
由弦长公式AB=1+k2|x1-x2|得2(x1+x2)2-4x1x2=22,
即(x1+x2)2-4x1x2=4,(2nm+n)2-4(n-1m+n)=4,化得m-mn+n=(m+n)2①
又kOM=y1+y2x1+x2=22,∵y1+y2=(-x1+1)+(-x2+1)=2-(x+x2)=2mm+n∴得mn=22②
由①②得,m=13,n=23,所以椭圆方程为13x2+23y2=1.
评注:中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆(双曲线)可以统设为mx2+ny2=1的形式.
招术三:变量分离
例5 已知f(x)=lg1+2x+a•4x3在(-∞,1]时有意义,求a的范围.
简析:原命题1+2x+a•4x3>0在x∈(-∞,1]上恒成立.
令t=2x,则原命题g(t)=1+t+a•t2>0在t∈(0,2]上恒成立.
若分类分三种情况:
(Ⅰ)当 a=0时,g(t)=1+t>0,显然成立;
(Ⅱ)当 a>0时,g(t)在t∈(0,2]单调递增,且有g(0)=1>0,所以g(t)=1+t+a•t2>0恒成立;
(Ⅲ)当 a<0时,且g(0)=1>0,
所以当g(2)>0时,g(t)=1+t+a•t2>0成立. (解略)
解析:令t=2x,则原命题g(t)=1+t+a•t2>0在t∈(0,2]恒成立a>-1+tt2,而(-1+tt2)max=-34,所以a>-34.
评注:这里g(t)=1+t+a•t2>0在t∈(0,2]恒成问题,我们往往可以采取分离变量较为方便.
(作者:丁建国,江苏南通市第二中学)
招术一:巧用函数的性质
例1 若(x+1)-15<(3-2x)-15,求x的取值范围.
简析:利用函数y=x-15是奇函数,且在区间(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减,
根据x+1与3-2x是否在同一单调区间需分三类:
(Ⅰ) 3-2x
解得x<-1或23
例2 已知函数y=f(x)为R上的偶函数,且在\简析:根据1+2x与1-x是否在同一单调区间需分三类:
(Ⅰ)1+2x>1-x≥0;(Ⅱ)1+2x<1-x≤0;
(Ⅲ)1+2x>-(1-x)≥0或1+2x<-(1-x)≤0.(解略)
解析:由已知,得f(1+2x)>f(1-x)|1+2x|>|1-x|(1+2x)2>(1-x)2.
解得x>0或x<-2,所以不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
评注:函数y=f(x)是R上的偶函数,图象关于y轴对称,
若f(x)在\招术二:巧设术
例3 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上, 且BC∥x轴,求证: A,O,C三点共线.
简析:在设直线AB方程时,需考虑直线的斜率是否存在,这里易忽视对特殊情形(斜率不存在)的讨论.
解析:设经过点F的直线AB的方程为x=my+p2,代入抛物线y2=2px,得
y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2.
∵BC∥x轴, 点C在抛物线的准线x=-p2上,
∴C(-p2,y2),而kOA=y1x1,kOC=y2-p2,∵x1=y122p,
∴kOA=y1x1=2Py1=2p-p2y2=-y2p2=kOC
∴A、O、C三点共线.
评注:若直线斜率存在,则设y=kx+b;若直线有可能斜率不存在,或斜率存在但不为0,则设x=my+a(a为直线在x轴上的截距).
例4 有一对称轴是坐标轴的椭圆,它与直线x+y=1的交点为A,B两点, 又AB=22,AB 中点与椭圆中心连线的斜率为22,求椭圆方程.
简析:椭圆的标准方程可分为:
(Ⅰ)x2a2+y2b2=1(a>b>0);
(Ⅱ)y2a2+x2b2=1(a>b>0).(解略).
解析:设椭圆mx2+ny2=1,(m>0,n>0,m≠n),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由x+y=1mx2+ny2=1 得(m+n)x2-2nx+n-1=0
∴x1+x2=2nm+n,x1x2=n-1m+n
由弦长公式AB=1+k2|x1-x2|得2(x1+x2)2-4x1x2=22,
即(x1+x2)2-4x1x2=4,(2nm+n)2-4(n-1m+n)=4,化得m-mn+n=(m+n)2①
又kOM=y1+y2x1+x2=22,∵y1+y2=(-x1+1)+(-x2+1)=2-(x+x2)=2mm+n∴得mn=22②
由①②得,m=13,n=23,所以椭圆方程为13x2+23y2=1.
评注:中心在原点,对称轴为坐标轴的椭圆(双曲线)可以统设为mx2+ny2=1的形式.
招术三:变量分离
例5 已知f(x)=lg1+2x+a•4x3在(-∞,1]时有意义,求a的范围.
简析:原命题1+2x+a•4x3>0在x∈(-∞,1]上恒成立.
令t=2x,则原命题g(t)=1+t+a•t2>0在t∈(0,2]上恒成立.
若分类分三种情况:
(Ⅰ)当 a=0时,g(t)=1+t>0,显然成立;
(Ⅱ)当 a>0时,g(t)在t∈(0,2]单调递增,且有g(0)=1>0,所以g(t)=1+t+a•t2>0恒成立;
(Ⅲ)当 a<0时,且g(0)=1>0,
所以当g(2)>0时,g(t)=1+t+a•t2>0成立. (解略)
解析:令t=2x,则原命题g(t)=1+t+a•t2>0在t∈(0,2]恒成立a>-1+tt2,而(-1+tt2)max=-34,所以a>-34.
评注:这里g(t)=1+t+a•t2>0在t∈(0,2]恒成问题,我们往往可以采取分离变量较为方便.
(作者:丁建国,江苏南通市第二中学)