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摘 要:探讨如何将MATLAB引入《线性代数》课程,提出了一些个人的看法和主张。
关键词:MATLAB线性代数
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)06(a)-0154-01
1 当前主流线性代数教材存在的不足
《线性代数》(以下简称《线代》)同济版教材[1],书写简洁、体系完整,知识前后联系紧密,环环相扣。从数学角度而言,该书堪称经典,非常符合一般数学老师要求,而且配套的ppt课件也做的很好,也就不难解释该教材为何在全国采用率如此之高了。
但因为该书是给工科学生用的,对工科学生而言,其内容有些过于偏重理论,缺乏必要的应用实例,缺乏与工程实际及工科专业课的联系。如缺乏对工程实际中广泛涉及的超定方程的讨论,对工程应用中较少涉及的欠定方程组的通解问题花费较多笔墨。而且,由于过于强调内容体系的完整以及知识间的逻辑联系,第一章从古古怪怪的逆序数,引出古古怪怪的行列式的定义,到行列式的性质、克拉默法则,还有不少的习题,这需要花费较多的学时来讲授。但行列式不应该是《线代》的重点,《线代》的核心应该是矩阵、线性方程组等,主轴是矩阵的初等行变换。从行列式开始引入不符合先易后难的认知规律,容易使初学者误认为行列式是重点,不利于学生把握《线代》的重点和主轴。
另外,现在流行的教材仍然没有引入科学计算软件,导致学生学完了该课程也难以求解4阶或4阶以上的矩阵问题,无法实现该课程应有的对学生科学计算能力的培养以及该课程在后续课程中的应用。
2 引入MATLAB的必要性
2.1 更新教学内容,加强课程工科特性,需要引入MATLAB
工科《线代》是面向工科学生,内容必须具有工科特性。要使内容具有工科特性,必须适当地引入具体的应用实例。而一般的实际问题,靠手工计算是不现实的,必须借助必要的科学计算软件。而MATLAB是目前国内外最流行的标准的科学计算软件,借助MATLAB,许多工程应用问题都可以利用线性代数的有关知识进行建模求解,从而增强《线代》的工科特性。有了实际的应用背景,学生才会真正体会到线性代数“有用”,并掌握具体的应用技巧。
2.2 提高学生科学计算能力,需要引入MATLAB
科学计算能力是理工科学生理应具备的一种重要能力。那么,什么是科学计算能力？学生的科学计算能力从何而来？
科学计算能力是指的利用现代计算工具(包括硬件和软件)解决教学和科研中计算问题的能力[2]。既然科学计算能力要求学生掌握现代的计算工具,而MATLAB是目前国内外最流行的标准的科学计算软,那么我们就没有理由仍坚持传统偏重理论的以笔算为主的《线代》课程教学。应将MATLAB融入《线代》课程教学中去,让学生在掌握一般的原理方法的基础上,将学生从低级繁琐的初等行列变换中解脱出来,重点培养学生分析问题、应用知识、建立数学模型,并能应用数学软件进行求解的能力,通过理论与实践的结合,真正培养学生的科学计算能力。
2.3 改革教学手段,提高教学效率,需要引入MATLAB
《线代》中涉及大量的矩阵计算,然而目前的教学仍是以黑板粉笔推演为主。黑板粉笔推演适合一些定理、性质的阐释,适合二三阶矩阵的计算,但对一般《线代》问题的求解,笔算常常是令人生畏的。不借助软件工具,许多实际问题无法在课堂展开,无法将一些规模稍大的工程实际问题引入《线代》课程教学,导致传统的《线代》教学只能从理论到理论,无法体现《线代》的应用特性,学生也几乎兴趣索然。加强笔算与机算的结合,丰富课堂内容,提高教学效率。
3 如何融入MATLAB
如何合理地将MATLAB融入《线代》课程,是个复杂的系统的问题。需要从教材内容的选取、内容的编排,课程实验的设置等等诸方面去综合考虑。
课程的内容方面,西安电子科技大学的陈怀琛等人编写的《工程线性代数(MATLAB版)》为我们提供了一个很好的参考,该书在将加强《线代》的工科特性及融入MATLAB方面做了很好的尝试。
在内容编排上,个人认为,设为“第一章 矩阵及其运算”、“第二章线性方程组与矩阵初等变换”,然后是“第三章向量组的线性相关性”、“第四章行列式”、“第五章相似矩阵及二次型”等会比较好。
从数据表很容易引出矩阵的定义,不一定非要从线性方程组引出,如可以从一般的数据表格、从图像、从加权图等引出矩阵。在介绍了矩阵及其运算后,可以很自然地引入MATLAB中矩阵的表示及其基本运算。
有了矩阵的知识后,可以很轻易第给出线性方程组的矩阵表示,有了矩阵表示后,容易将线性方程组的消元法求解自然地对应于矩阵的初等变换,进而由矩阵的初等行变换引出矩阵的秩、线性方程组解的有关判别定理等。这部分内容重点将MATLAB中化矩阵为行最简型的函数rref()、求矩阵的秩函数rank()、求齐次线性方程组的基础解系的函数null()、求矩阵的逆函数inv()、左除(“”)、右除(“/”)运算以及最小二乘法解超定方程的方法引入课堂教学。
“向量组的线性相关性”问题本质上是线性方程组问题,安排在“线性方程组与矩阵初等变换”之后也很自然,涉及到的MATLAB函数主要还是rank()、rref()等。在讲“特征值、特征向量”之前,需要用到行列式,将行列式的内容排在“相似矩阵及二次型”也是体现这种知识的逻辑关系。
行列式在《线代》中是根硬骨头,花时较少难以讲清楚,费时太多又容易引偏《线代》的重点。区别于教材[1],国外的教材一般对行列式的有关内容进行了适当的淡化处理。
采用以上这种内容编排,避免一开始就让学生面对行列式这样的硬骨头,符合先易后难、循序渐进的认知规律;可使MATLAB顺利融入《线代》课程;有利于把握主线、突出重点。
4 应注意的地方
(1)引入MATLAB进行科学计算的同时,不能忽视笔算题和理论证明题的作用。笔算题有助于学生对相关算法的掌握与理解,理论证明题有助于学生逻辑思维能力的培养。
(2)注意学时分配的合理性,不能花太多时间用于MATLAB的教学,强调通过考试杠杆作用让学生主动去学习掌握必要的MATLAB技能。
(3)加强对教师MATLAB的培训,提高数学教师应用数学软件的能力。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.工程数学—— 线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 陈怀琛,高淑萍,杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究,2009,12(3):23～26.
关键词:MATLAB线性代数
中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)06(a)-0154-01
1 当前主流线性代数教材存在的不足
《线性代数》(以下简称《线代》)同济版教材[1],书写简洁、体系完整,知识前后联系紧密,环环相扣。从数学角度而言,该书堪称经典,非常符合一般数学老师要求,而且配套的ppt课件也做的很好,也就不难解释该教材为何在全国采用率如此之高了。
但因为该书是给工科学生用的,对工科学生而言,其内容有些过于偏重理论,缺乏必要的应用实例,缺乏与工程实际及工科专业课的联系。如缺乏对工程实际中广泛涉及的超定方程的讨论,对工程应用中较少涉及的欠定方程组的通解问题花费较多笔墨。而且,由于过于强调内容体系的完整以及知识间的逻辑联系,第一章从古古怪怪的逆序数,引出古古怪怪的行列式的定义,到行列式的性质、克拉默法则,还有不少的习题,这需要花费较多的学时来讲授。但行列式不应该是《线代》的重点,《线代》的核心应该是矩阵、线性方程组等,主轴是矩阵的初等行变换。从行列式开始引入不符合先易后难的认知规律,容易使初学者误认为行列式是重点,不利于学生把握《线代》的重点和主轴。
另外,现在流行的教材仍然没有引入科学计算软件,导致学生学完了该课程也难以求解4阶或4阶以上的矩阵问题,无法实现该课程应有的对学生科学计算能力的培养以及该课程在后续课程中的应用。
2 引入MATLAB的必要性
2.1 更新教学内容,加强课程工科特性,需要引入MATLAB
工科《线代》是面向工科学生,内容必须具有工科特性。要使内容具有工科特性,必须适当地引入具体的应用实例。而一般的实际问题,靠手工计算是不现实的,必须借助必要的科学计算软件。而MATLAB是目前国内外最流行的标准的科学计算软件,借助MATLAB,许多工程应用问题都可以利用线性代数的有关知识进行建模求解,从而增强《线代》的工科特性。有了实际的应用背景,学生才会真正体会到线性代数“有用”,并掌握具体的应用技巧。
2.2 提高学生科学计算能力,需要引入MATLAB
科学计算能力是理工科学生理应具备的一种重要能力。那么,什么是科学计算能力？学生的科学计算能力从何而来？
科学计算能力是指的利用现代计算工具(包括硬件和软件)解决教学和科研中计算问题的能力[2]。既然科学计算能力要求学生掌握现代的计算工具,而MATLAB是目前国内外最流行的标准的科学计算软,那么我们就没有理由仍坚持传统偏重理论的以笔算为主的《线代》课程教学。应将MATLAB融入《线代》课程教学中去,让学生在掌握一般的原理方法的基础上,将学生从低级繁琐的初等行列变换中解脱出来,重点培养学生分析问题、应用知识、建立数学模型,并能应用数学软件进行求解的能力,通过理论与实践的结合,真正培养学生的科学计算能力。
2.3 改革教学手段,提高教学效率,需要引入MATLAB
《线代》中涉及大量的矩阵计算,然而目前的教学仍是以黑板粉笔推演为主。黑板粉笔推演适合一些定理、性质的阐释,适合二三阶矩阵的计算,但对一般《线代》问题的求解,笔算常常是令人生畏的。不借助软件工具,许多实际问题无法在课堂展开,无法将一些规模稍大的工程实际问题引入《线代》课程教学,导致传统的《线代》教学只能从理论到理论,无法体现《线代》的应用特性,学生也几乎兴趣索然。加强笔算与机算的结合,丰富课堂内容,提高教学效率。
3 如何融入MATLAB
如何合理地将MATLAB融入《线代》课程,是个复杂的系统的问题。需要从教材内容的选取、内容的编排,课程实验的设置等等诸方面去综合考虑。
课程的内容方面,西安电子科技大学的陈怀琛等人编写的《工程线性代数(MATLAB版)》为我们提供了一个很好的参考,该书在将加强《线代》的工科特性及融入MATLAB方面做了很好的尝试。
在内容编排上,个人认为,设为“第一章 矩阵及其运算”、“第二章线性方程组与矩阵初等变换”,然后是“第三章向量组的线性相关性”、“第四章行列式”、“第五章相似矩阵及二次型”等会比较好。
从数据表很容易引出矩阵的定义,不一定非要从线性方程组引出,如可以从一般的数据表格、从图像、从加权图等引出矩阵。在介绍了矩阵及其运算后,可以很自然地引入MATLAB中矩阵的表示及其基本运算。
有了矩阵的知识后,可以很轻易第给出线性方程组的矩阵表示,有了矩阵表示后,容易将线性方程组的消元法求解自然地对应于矩阵的初等变换,进而由矩阵的初等行变换引出矩阵的秩、线性方程组解的有关判别定理等。这部分内容重点将MATLAB中化矩阵为行最简型的函数rref()、求矩阵的秩函数rank()、求齐次线性方程组的基础解系的函数null()、求矩阵的逆函数inv()、左除(“”)、右除(“/”)运算以及最小二乘法解超定方程的方法引入课堂教学。
“向量组的线性相关性”问题本质上是线性方程组问题,安排在“线性方程组与矩阵初等变换”之后也很自然,涉及到的MATLAB函数主要还是rank()、rref()等。在讲“特征值、特征向量”之前,需要用到行列式,将行列式的内容排在“相似矩阵及二次型”也是体现这种知识的逻辑关系。
行列式在《线代》中是根硬骨头,花时较少难以讲清楚,费时太多又容易引偏《线代》的重点。区别于教材[1],国外的教材一般对行列式的有关内容进行了适当的淡化处理。
采用以上这种内容编排,避免一开始就让学生面对行列式这样的硬骨头,符合先易后难、循序渐进的认知规律;可使MATLAB顺利融入《线代》课程;有利于把握主线、突出重点。
4 应注意的地方
(1)引入MATLAB进行科学计算的同时,不能忽视笔算题和理论证明题的作用。笔算题有助于学生对相关算法的掌握与理解,理论证明题有助于学生逻辑思维能力的培养。
(2)注意学时分配的合理性,不能花太多时间用于MATLAB的教学,强调通过考试杠杆作用让学生主动去学习掌握必要的MATLAB技能。
(3)加强对教师MATLAB的培训,提高数学教师应用数学软件的能力。
参考文献
[1] 同济大学应用数学系.工程数学—— 线性代数(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 陈怀琛,高淑萍,杨威.科学计算能力的培养与线性代数改革[J].高等数学研究,2009,12(3):23～26.