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摘要：变形体系的虚功原理是最基本的变形体力学原理之一，对这部分较抽象的知识，学生理解虚位移、虚功等概念存在较大困难。本文重点探讨如何在教学中引导学生理解变形体虚功原理中的相关概念、内容和本质。
关键词：变形体虚功原理；相关概念，教学探讨
【中图分类号】G640
1.问题的提出
理论力学、材料力学、结构力学三大力学课程是高校工科专业的技术基础课程，其中结构力学既是理论力学、材料力学知识的总结和提升，又是后续专业课程学习的基础，起承上启下的作用。在教学实践中，我们发现高职院校学生学习结构力学的思维能力较弱，尤其是对虚功原理等较抽象的知识的学习存在较大困难，因此有必要对教材中一些重难点知识进行合理的教学设计和教学探讨。
本文讨论的变形体系的虚功原理为结构力学中“结构位移计算”一章的主要内容，变形体虚功原理作为结构位移计算的依据，大多数教材在本章首先介绍了变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算，但由于理论力学教材中对理想约束、虚位移、质点系虚功原理等内容已介绍过，因此在有些结构力学教材中对这部分只是简单提出，然后直接类比得出变形体虚功原理，再对其进行必要条件的证明，而实际上大多数理论力学教材将虚功原理设置为该课程的最后一部分内容，由于课时安排、专业需求等原因，这部分内容在理论力学的教学中只作简单介绍或为学生自学内容，因此，学生在学习变形体虚功原理时，对虚位移、虚功等概念并没有一定的熟悉度，对这部分理论性较强的知识，学生不太容易理解。如何根据这些教学现状有效进行这部分内容的教学，笔者结合自身教学实践，对结构力学中虚功原理的教学策略进行探讨。
2.相关概念的教学探讨
2.1虚位移
许多教材中虚位移的定义为“虚位移是指为约束条件所允许的任意微小位移”，[1]这一定义具有高度的概括性、抽象性，学生对概念的理解存在困难，对引入虚位移的作用，即虚位移的力学意义不清楚，这将直接影响对变形体虚功原理的学习。因此，教学中可以引导学生对这一概念从以下三点进行理解：（1）虚位移的“虚”的理解。“虚”表示它可以与受力结构产生的真实位移无关，而可能由于其它原因，如温度变化、支座移动等引起的；也可以是假想的，即位移状态和力状态无关，或者力在位移过程中是不变的，是保守力。[2]（2）“约束条件所允许”的理解。虚位移必须是结构支承条件所允许的，且满足变形连续条件和变形协调条件。（3）“微小位移”的理解。该条件要求变形体必须符合小变形条件，在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体系的力的作用大小和方向，即受力平衡状态不因产生虚位移而改变。在教学中，要求学生从以上三点理解虚位移的概念，明确变形体虚功原理中的虚位移指在变形体内部位移协调（光滑连续），是在边界上满足边界位移约束条件的微小位移。
2.2虚功
虚功从含义上指“力在虚位移上所完成的功”，对变形体来讲，当给体系一个虚位移时，除了外力（荷载、约束反力）在虚位移上作虚功外，内力在其相应的变形上也要做功，这个功即为变形虚功。在教学中，学生对功的概念以及质点、刚体做功并不陌生，但对外力虚功、变形虚功的理解较困难，尤其是变形虚功，这是由于在推导变形体虚功时，涉及到变形体微段上三种常见内力及其相应的变形，学生对微段上三种内力的变形不熟悉，对较复杂的虚功总和的表达式容易产生畏难情绪，而且一些教材中并没有将虚功、变形虚功的概念明确提出，因此实际教学中需重视虚功这一概念的理解对学生学习变形体虚功原理的影响。
3.虚功原理的教学探讨
3.1结构力学中的虚功原理
变形体系的虚功原理是结构位移计算和互等定理的基础，在结构力学中具有重要意义。它最重要的应用是利用单位荷载法求解位移状态中的位移，因此从应用的角度在结构力学中也将虚功原理称为虚力原理。
对于变形体系虚功原理的理论和建立方法，其基本原理是将构成变形体的微单元体视为质点，变形体成为质点系。应用分析力学中质点系的虚位移原理，即可得到变形体的虚功原理。基本原理将虚功原理推广用于变形体，至今最常见的方法是沿用变形体能量原理中的概念，相应引入虚内力功、虚外力功、虚应变能等概念.[2]在一些文献中对建立变形体各类虚功原理的基本依据有比较全面的分析和论述，这里重点讨论如何在教学中引导学生理解变形体虚功原理的内容和本质。
3.1.1内容表述
不同的结构力学教材对变形体的虚功原理的表述有所差异，如高等教育学出版社结构力学第5版中的表述为“变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，或者简单地说，外力虚功等于变形虚功”[1]。该表述是个充分必要性命题，该教材着重从物理概念上论证了其必要条件，未对其充分性进行证明。
对于变形体虚功原理的表述，有学者经过严密的论证认为虚功原理的科学表述为“变形体平衡的必要和充分条件是，当对任意微小虚位移，外力所作的总虚功等于变形体所接受的总虚变形功，也即恒有如下虚功方程成立：W外=W变.[4]
上述两种表述在本质上是一致的。在教学中，学生较容易理解外力虚功的概念，但容易混淆内力虚功与变形虚功，W内是指所有微段上内力在截面的总位移（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，它恒等于零；W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功的总和。
3.1.2实质
一般教材中对变形体虚功原理的实质讨论较少，但在一些其必要性的证明过程中反映了其实质，学生若能充分理解其实质，则能促进对虚功方程以及虚功原理适用条件等知识点的掌握。从虚功原理的简单表述，即W外=W变可知，虚功原理是以变形体处于平衡状态所发生的虚位移满足协调条件为前提的恒等关系，是虚功方程成立的必要性命题。这一恒等关系是由变形体的每个元体上的外力的平衡是由它们在该元体上的任意刚性位移上所作的功等于零来保证的。[4]因此，变形体系虚功原理实际上是刚体虚功原理在变形体上的巧妙运用，刚体的虚功原理只是变形体虚功原理的特殊情况（虚变形功等于零），即变形体系的虚功原理同样适用于刚体。学生理解了变形体的虚功原理的实质，再结合理论力学中刚体的虚功原理的理解，这样就将这两部分内容恰当地衔接起来，从而进一步把握了难点，突破了重点。
参考文献：
[1]李廉坤.结构力学（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2010（7）：90-91
[2]王焕定.再论变形体虚功原理力学与实践[J].力学与实践2011（33）
[3].毛坚强，丁桂彪，变形体的虚功原理及其求解接触问题中的应用[J].西南交通大学学报2002（6）
[4]孟昭礼，严宗达，王光远.关于变形连续体虚功原理的表述方式及其实质的讨论[J].天津大学学报，1978（1）
关键词：变形体虚功原理；相关概念，教学探讨
【中图分类号】G640
1.问题的提出
理论力学、材料力学、结构力学三大力学课程是高校工科专业的技术基础课程，其中结构力学既是理论力学、材料力学知识的总结和提升，又是后续专业课程学习的基础，起承上启下的作用。在教学实践中，我们发现高职院校学生学习结构力学的思维能力较弱，尤其是对虚功原理等较抽象的知识的学习存在较大困难，因此有必要对教材中一些重难点知识进行合理的教学设计和教学探讨。
本文讨论的变形体系的虚功原理为结构力学中“结构位移计算”一章的主要内容，变形体虚功原理作为结构位移计算的依据，大多数教材在本章首先介绍了变形体系的虚功原理，然后讨论静定结构的位移计算，但由于理论力学教材中对理想约束、虚位移、质点系虚功原理等内容已介绍过，因此在有些结构力学教材中对这部分只是简单提出，然后直接类比得出变形体虚功原理，再对其进行必要条件的证明，而实际上大多数理论力学教材将虚功原理设置为该课程的最后一部分内容，由于课时安排、专业需求等原因，这部分内容在理论力学的教学中只作简单介绍或为学生自学内容，因此，学生在学习变形体虚功原理时，对虚位移、虚功等概念并没有一定的熟悉度，对这部分理论性较强的知识，学生不太容易理解。如何根据这些教学现状有效进行这部分内容的教学，笔者结合自身教学实践，对结构力学中虚功原理的教学策略进行探讨。
2.相关概念的教学探讨
2.1虚位移
许多教材中虚位移的定义为“虚位移是指为约束条件所允许的任意微小位移”，[1]这一定义具有高度的概括性、抽象性，学生对概念的理解存在困难，对引入虚位移的作用，即虚位移的力学意义不清楚，这将直接影响对变形体虚功原理的学习。因此，教学中可以引导学生对这一概念从以下三点进行理解：（1）虚位移的“虚”的理解。“虚”表示它可以与受力结构产生的真实位移无关，而可能由于其它原因，如温度变化、支座移动等引起的；也可以是假想的，即位移状态和力状态无关，或者力在位移过程中是不变的，是保守力。[2]（2）“约束条件所允许”的理解。虚位移必须是结构支承条件所允许的，且满足变形连续条件和变形协调条件。（3）“微小位移”的理解。该条件要求变形体必须符合小变形条件，在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体系的力的作用大小和方向，即受力平衡状态不因产生虚位移而改变。在教学中，要求学生从以上三点理解虚位移的概念，明确变形体虚功原理中的虚位移指在变形体内部位移协调（光滑连续），是在边界上满足边界位移约束条件的微小位移。
2.2虚功
虚功从含义上指“力在虚位移上所完成的功”，对变形体来讲，当给体系一个虚位移时，除了外力（荷载、约束反力）在虚位移上作虚功外，内力在其相应的变形上也要做功，这个功即为变形虚功。在教学中，学生对功的概念以及质点、刚体做功并不陌生，但对外力虚功、变形虚功的理解较困难，尤其是变形虚功，这是由于在推导变形体虚功时，涉及到变形体微段上三种常见内力及其相应的变形，学生对微段上三种内力的变形不熟悉，对较复杂的虚功总和的表达式容易产生畏难情绪，而且一些教材中并没有将虚功、变形虚功的概念明确提出，因此实际教学中需重视虚功这一概念的理解对学生学习变形体虚功原理的影响。
3.虚功原理的教学探讨
3.1结构力学中的虚功原理
变形体系的虚功原理是结构位移计算和互等定理的基础，在结构力学中具有重要意义。它最重要的应用是利用单位荷载法求解位移状态中的位移，因此从应用的角度在结构力学中也将虚功原理称为虚力原理。
对于变形体系虚功原理的理论和建立方法，其基本原理是将构成变形体的微单元体视为质点，变形体成为质点系。应用分析力学中质点系的虚位移原理，即可得到变形体的虚功原理。基本原理将虚功原理推广用于变形体，至今最常见的方法是沿用变形体能量原理中的概念，相应引入虚内力功、虚外力功、虚应变能等概念.[2]在一些文献中对建立变形体各类虚功原理的基本依据有比较全面的分析和论述，这里重点讨论如何在教学中引导学生理解变形体虚功原理的内容和本质。
3.1.1内容表述
不同的结构力学教材对变形体的虚功原理的表述有所差异，如高等教育学出版社结构力学第5版中的表述为“变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，或者简单地说，外力虚功等于变形虚功”[1]。该表述是个充分必要性命题，该教材着重从物理概念上论证了其必要条件，未对其充分性进行证明。
对于变形体虚功原理的表述，有学者经过严密的论证认为虚功原理的科学表述为“变形体平衡的必要和充分条件是，当对任意微小虚位移，外力所作的总虚功等于变形体所接受的总虚变形功，也即恒有如下虚功方程成立：W外=W变.[4]
上述两种表述在本质上是一致的。在教学中，学生较容易理解外力虚功的概念，但容易混淆内力虚功与变形虚功，W内是指所有微段上内力在截面的总位移（包括刚体位移和变形位移两部分）上所做虚功的总和，它恒等于零；W变仅指所有微段上内力在截面的变形位移上所做虚功的总和。
3.1.2实质
一般教材中对变形体虚功原理的实质讨论较少，但在一些其必要性的证明过程中反映了其实质，学生若能充分理解其实质，则能促进对虚功方程以及虚功原理适用条件等知识点的掌握。从虚功原理的简单表述，即W外=W变可知，虚功原理是以变形体处于平衡状态所发生的虚位移满足协调条件为前提的恒等关系，是虚功方程成立的必要性命题。这一恒等关系是由变形体的每个元体上的外力的平衡是由它们在该元体上的任意刚性位移上所作的功等于零来保证的。[4]因此，变形体系虚功原理实际上是刚体虚功原理在变形体上的巧妙运用，刚体的虚功原理只是变形体虚功原理的特殊情况（虚变形功等于零），即变形体系的虚功原理同样适用于刚体。学生理解了变形体的虚功原理的实质，再结合理论力学中刚体的虚功原理的理解，这样就将这两部分内容恰当地衔接起来，从而进一步把握了难点，突破了重点。
参考文献：
[1]李廉坤.结构力学（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2010（7）：90-91
[2]王焕定.再论变形体虚功原理力学与实践[J].力学与实践2011（33）
[3].毛坚强，丁桂彪，变形体的虚功原理及其求解接触问题中的应用[J].西南交通大学学报2002（6）
[4]孟昭礼，严宗达，王光远.关于变形连续体虚功原理的表述方式及其实质的讨论[J].天津大学学报，1978（1）