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【摘要】期权定价依赖于敲定价格的变化，基于无套利原理，本文证明了欧式看跌期权价格是敲定价格的凸函数.
【关键词】欧式看跌期权；无套利原理
一、引 言
期权是指投资者拥有在特定时期以某种价格购买某种资产（包括投票）的权利.
期权价格是在期权合约中唯一一个随着市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题.期权可以执行，也可以不执行.仅由定义，我们可以看出期权是一种权力，而不用负担任何义务.但为了得到这种权利，就必须支付一定的费用，我们把这个费用称为期权的价格.
一般而言，按执行时间来看，期权市场上有两种期权形式，一种是能在到期日执行的欧式期权，一种是在到期日之前任何一天均能执行的美式期权.
按照合约中购入和销售原生资产来划分，一种是看涨期权，是按照确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的期权，另一种是看跌期权，是按照确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的期权.
我们设p为期权的价格，K为期权合同中的敲定价格，T为期权合同中的确定日期，ST表示原生资产在到期日t=T时的价格，VT是在到期日期权的收益，即期权价值，PT为期权到期日期权持有人的总收益.
看涨期权 看跌期权
PT=（ST-K）+-pPT=(K-ST)+-p
期权是风险管理的核心工具，对期权定价理论作出杰出贡献的Scholes和Merton曾因此荣获1997年诺贝尔经济学奖.
无套利原理（arbitragefree principle），是期权定价理论的基础原理.不承担风险就没有瞬间获取利益的机会.
金融市场上实施套利行为很便捷，一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中.因此，这种套利的便捷性迫使金融市场的套利机会的存在总是暂时性的，于是，无套利均衡得以在对金融产品进行定价的工作中得到广泛的应用.如果一个价格使得市场不存在无风险套利机会，那么这个价格就是金融产品在市场的合理价格.这就是无套利定价原理，也叫做无风险套利定价原理.
二、定理证明
期权定价不仅仅依赖于原生资产价格，还依赖于敲定价格的变化.基于无套利原理，它们之间存在着一些重要关系.本文中假设原生资产——股票是不支付红利的.
定义1 一个自融资投资策略Φ称为在［0，T］内存在套利机会（arbitrage opportunity），如果存在t*∈［0，T)，使得当Vt*(Φ)=0，有VT(Φ)≥0，且Prob{VT(Φ)>0}>0，这里Prob{w}表示事件w发生的概率（probability）.
定义2 若对于任意自融资投资策略Φ在任意时间段［t1，t2］［0，T］内都不存在套利机会，那么称市场在时段［0，T］内是无套利的（arbitragefree）.
引理 若市场在时段［0，T］内是无套利的，则对于任何两个投资组合Φ1和Φ2，如果VT(Φ1)≥VT(Φ2)以及Prob{VT(Φ1)>VT(Φ2)}>0成立，那么对于任意t∈［0，T)，必有VT(Φ1)>VT(Φ2).
定理 欧式看跌期权的价格pt(K)是K的凸函数，即设K1 证明 在t时刻(t Φ1=λp(K1)+(1-λ)p(K2)，Φ2=p(Kλ).
在期权到期日t=T，VT(Φ1)=λ(K1-ST)++(1-λ)•(K2-ST)+，VT(Φ2)=(Kλ-ST)+.
分四种情况讨论：
故由无套利原理及引理立得Vt(Φ1)>Vt(Φ2)，即定理得证.
三、总 结
本文假设市场是无套利的，利用无套利原理，证明了欧式看跌期权是敲定价格的凸函数.
【参考文献】
［1］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法（第二版）.北京：高等教育出版社，2008.
［2］周圣武.基于跳扩散的欧式股票期权定价与风险度量研究，2009.
［3］Bachelier Louis. Théorie de la spéculation［J］.Annales de lEcole Normale Supérieure，1900(17):21-86.
［4］叶中行，林建忠.数理金融—资产定价与金融决策理论［M］.北京:科学出版社，1998.
［5］张波，张景肖.应用随机过程［M］.北京:清华大学出版社，2006.
［6］陈祖墀.偏微分方程（第二版）.北京：中国科学技术大学出版社，2002.
［7］姜礼尚，徐承龙，任学敏，李少华.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析.北京：高等教育出版社，2008.
［8］李荣华.偏微分方程数值解法.北京：高等教育出版社，2005.
［9］John C.Hull.Option，Furures，And Other Derivatives.2009.
［10］Paul Wilmott. Introduces Quantitative Finance.2007.
［11］陈良均，朱庆棠.随机过程及其应用［M］.北京:高等教育出版社，2003.
［12］田新时.金融风险管理的理论与实践［M］.北京:科学出版社，2006.
［13］张兴永.高等数学［M］.北京:煤炭工业出版社，2008.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】欧式看跌期权；无套利原理
一、引 言
期权是指投资者拥有在特定时期以某种价格购买某种资产（包括投票）的权利.
期权价格是在期权合约中唯一一个随着市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的核心问题.期权可以执行，也可以不执行.仅由定义，我们可以看出期权是一种权力，而不用负担任何义务.但为了得到这种权利，就必须支付一定的费用，我们把这个费用称为期权的价格.
一般而言，按执行时间来看，期权市场上有两种期权形式，一种是能在到期日执行的欧式期权，一种是在到期日之前任何一天均能执行的美式期权.
按照合约中购入和销售原生资产来划分，一种是看涨期权，是按照确定价格有权购入一定数量和质量的原生资产的期权，另一种是看跌期权，是按照确定价格有权出售一定数量和质量的原生资产的期权.
我们设p为期权的价格，K为期权合同中的敲定价格，T为期权合同中的确定日期，ST表示原生资产在到期日t=T时的价格，VT是在到期日期权的收益，即期权价值，PT为期权到期日期权持有人的总收益.
看涨期权 看跌期权
PT=（ST-K）+-pPT=(K-ST)+-p
期权是风险管理的核心工具，对期权定价理论作出杰出贡献的Scholes和Merton曾因此荣获1997年诺贝尔经济学奖.
无套利原理（arbitragefree principle），是期权定价理论的基础原理.不承担风险就没有瞬间获取利益的机会.
金融市场上实施套利行为很便捷，一旦有套利机会，投资者就会很快实施套利而使得市场又回到无套利机会的均衡中.因此，这种套利的便捷性迫使金融市场的套利机会的存在总是暂时性的，于是，无套利均衡得以在对金融产品进行定价的工作中得到广泛的应用.如果一个价格使得市场不存在无风险套利机会，那么这个价格就是金融产品在市场的合理价格.这就是无套利定价原理，也叫做无风险套利定价原理.
二、定理证明
期权定价不仅仅依赖于原生资产价格，还依赖于敲定价格的变化.基于无套利原理，它们之间存在着一些重要关系.本文中假设原生资产——股票是不支付红利的.
定义1 一个自融资投资策略Φ称为在［0，T］内存在套利机会（arbitrage opportunity），如果存在t*∈［0，T)，使得当Vt*(Φ)=0，有VT(Φ)≥0，且Prob{VT(Φ)>0}>0，这里Prob{w}表示事件w发生的概率（probability）.
定义2 若对于任意自融资投资策略Φ在任意时间段［t1，t2］［0，T］内都不存在套利机会，那么称市场在时段［0，T］内是无套利的（arbitragefree）.
引理 若市场在时段［0，T］内是无套利的，则对于任何两个投资组合Φ1和Φ2，如果VT(Φ1)≥VT(Φ2)以及Prob{VT(Φ1)>VT(Φ2)}>0成立，那么对于任意t∈［0，T)，必有VT(Φ1)>VT(Φ2).
定理 欧式看跌期权的价格pt(K)是K的凸函数，即设K1
在期权到期日t=T，VT(Φ1)=λ(K1-ST)++(1-λ)•(K2-ST)+，VT(Φ2)=(Kλ-ST)+.
分四种情况讨论：
故由无套利原理及引理立得Vt(Φ1)>Vt(Φ2)，即定理得证.
三、总 结
本文假设市场是无套利的，利用无套利原理，证明了欧式看跌期权是敲定价格的凸函数.
【参考文献】
［1］姜礼尚.期权定价的数学模型和方法（第二版）.北京：高等教育出版社，2008.
［2］周圣武.基于跳扩散的欧式股票期权定价与风险度量研究，2009.
［3］Bachelier Louis. Théorie de la spéculation［J］.Annales de lEcole Normale Supérieure，1900(17):21-86.
［4］叶中行，林建忠.数理金融—资产定价与金融决策理论［M］.北京:科学出版社，1998.
［5］张波，张景肖.应用随机过程［M］.北京:清华大学出版社，2006.
［6］陈祖墀.偏微分方程（第二版）.北京：中国科学技术大学出版社，2002.
［7］姜礼尚，徐承龙，任学敏，李少华.金融衍生产品定价的数学模型与案例分析.北京：高等教育出版社，2008.
［8］李荣华.偏微分方程数值解法.北京：高等教育出版社，2005.
［9］John C.Hull.Option，Furures，And Other Derivatives.2009.
［10］Paul Wilmott. Introduces Quantitative Finance.2007.
［11］陈良均，朱庆棠.随机过程及其应用［M］.北京:高等教育出版社，2003.
［12］田新时.金融风险管理的理论与实践［M］.北京:科学出版社，2006.
［13］张兴永.高等数学［M］.北京:煤炭工业出版社，2008.
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