摘 要：已知三角形三点求三角形面积，用割补法，从一个矩形中减去三个直角三角形比较简单，并且方法一般化以后还可以得到高等数学中常用的已知三点求三角形面积的公式．
　　关键词：割补法；一般化；三角形面积
　　
　　人教版《数学2》（必修）“点到直线的距离”一节中，例6：已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求△ABC的面积． 课本给出如下解答：
　　解：设AB边上的高为h，则S△ABC=AB•h．
　　AB==2，
　　AB边上的高h就是点C到AB的距离．
　　AB边所在直线的方程为
　　=，
　　
　　图1
　　即x+y－4=0，点C（-1，0）到AB的距离
　　h==，
　　因此，S△ABC=×2×．
　　例后，教科书提出“例6还可以有其他解法吗”，这是一个非常好的教学处理方法，一节课有一节课的知识点，例题主要是为了巩固相应的知识点，如上面的解法用到两点间的距离公式和点到直线的距离公式． 如没有这一问就有可能使学生只会套用模式，思路限制于点到直线的距离和两点间的距离公式，对学生突破思维的框框、培养创新能力将非常不利．
　　教参给出的解法用到割补法：如图1，延长AB交x轴于D，因为AB方程为x+y-4=0，所以D（4，0）在△ACD中，底CD及其上的高易求，另外在△BCD中，底CD及其上的高也易求，△ABC的面积，即为两个三角形面积之差．
　　此方法中，底CD易求，高可直接看出，当然比原方法要简单得多，但还是需要求出AB的方程，才能求D的坐标．
　　其实用割补法，还可以有更简单、更原始的方法，化到直角三角形和矩形，问题的答案可直接看出． 如图2中，S矩形CDEF=12，
　　
　　图2
　　S△ABE=2，S△ACF=3，S△BCD=2，则S△ABC=5．
　　最后一种方法是可以一般化的：
　　
　　图3
　　如图3，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），仿照上面第三种解法：
　　S矩形BDEF=（x2－x1）（y3－y2），S△BDC=（x2－x3）（y3－y2），S△ABF=（x2－x1）（y1－y2），S△ACE=（x3－x1）（y3－y1），
　　则S△ABC=（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）．
　　笔者通过探究，无论何种形状的三角形，三角形的面积与上式最多只相差一个符号，所以S△ABC=（x2－x1）（y3－y1）－（y2－y1）（x3－x1）
　　用行列式表示为
　　S△ABC=x1 y1 1x2 y2 1x3 y3 1，行列式外面再加一个绝对值，以保证面积为正．
　　这是高等数学中常见的已知三角形的三顶点，求三角形面积的公式．
　　例1 已知△ABC的顶点坐标为A（1，1），B（m，），C（4，2）（1　　解：
　　S△ABC=－（m－1）－（2－）= －m+－1，
　　所以m=，所以Smax=．